مثال 1

مرجع: الطرق التالية لتدوين الدالة متكافئة: في بعض المهام ، من الملائم تعيين الوظيفة على أنها "لاعب" ، وفي بعض المهام على أنها "ef من x".

أولاً نجد المشتق:

مثال 2

احسب مشتق دالة عند نقطة

, , دراسة كاملة الوظائفوإلخ.

مثال 3

احسب مشتق الدالة عند النقطة. لنجد المشتق أولاً:

حسنًا ، هذه مسألة مختلفة تمامًا. احسب قيمة المشتق عند النقطة:

في حالة عدم فهمك لكيفية العثور على المشتق ، ارجع إلى أول درسين من الموضوع. إذا كانت هناك صعوبات (سوء فهم) مع قوس الظل ومعانيه ، بالضرورة دراسة المواد المنهجية الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائية- الفقرة الأخيرة. لأنه لا يزال هناك أقواس كافية لعمر الطالب.

مثال 4

احسب مشتق الدالة عند النقطة.

معادلة المماس للرسم البياني للدالة

لتوحيد الفقرة السابقة ، ضع في اعتبارك مشكلة إيجاد الظل لـ وظيفة الرسوماتعند هذه النقطة. لقد التقينا بهذه المهمة في المدرسة ، وهي موجودة أيضًا في سياق الرياضيات العليا.

ضع في اعتبارك مثالًا أوليًا "مظاهرة".

اكتب معادلة لمماس الرسم البياني للدالة عند النقطة التي بها حدود الإحداثية. سأقدم على الفور حلاً رسوميًا جاهزًا للمشكلة (عمليًا ، هذا ليس ضروريًا في معظم الحالات):

يتم تقديم تعريف صارم للماس بواسطة تعريفات مشتقة الوظيفة، ولكن في الوقت الحالي سنتقن الجزء الفني من المشكلة. من المؤكد أن كل شخص تقريبًا يفهم بشكل حدسي ما هو الظل. إذا قمت بشرح "على الأصابع" ، فإن مماس الرسم البياني للوظيفة هو مستقيم، والتي تتعلق بالرسم البياني للدالة في الوحيدنقطة. في هذه الحالة ، تقع جميع النقاط القريبة من الخط المستقيم في أقرب مكان ممكن من الرسم البياني للوظيفة.

كما هو مطبق على حالتنا: عند ، يلامس الظل (الترميز القياسي) الرسم البياني للوظيفة عند نقطة واحدة.

ومهمتنا هي إيجاد معادلة الخط المستقيم.

مشتق دالة عند نقطة

كيف تجد مشتق دالة عند نقطة؟ تنبع نقطتان واضحتان في هذه المهمة من الصياغة:

1) من الضروري إيجاد المشتق.

2) من الضروري حساب قيمة المشتق عند نقطة معينة.

مثال 1

احسب مشتق دالة عند نقطة

المساعدة: الطرق التالية لتدوين الدالة متكافئة:


في بعض المهام ، من الملائم تعيين الوظيفة على أنها "لاعب" ، وفي بعض المهام على أنها "ef من x".

أولاً نجد المشتق:

آمل أن يكون الكثير قد تكيف بالفعل للعثور على هذه المشتقات شفويا.

في الخطوة الثانية ، نحسب قيمة المشتق عند النقطة:

مثال إحماء صغير لحل مستقل:

مثال 2

احسب مشتق دالة عند نقطة

الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

تظهر الحاجة إلى إيجاد المشتق عند نقطة ما في المهام التالية: إنشاء مماس للرسم البياني للدالة (الفقرة التالية) ، دراسة وظيفة لأقصى , دراسة وظيفة انقلاب الرسم البياني , دراسة كاملة الوظائف وإلخ.

لكن المهمة قيد النظر موجودة في أوراق التحكم وفي حد ذاتها. وكقاعدة عامة ، في مثل هذه الحالات ، تكون الوظيفة معقدة للغاية. في هذا الصدد ، ضع في اعتبارك مثالين آخرين.

مثال 3

احسب مشتق دالة عند نقطة .
لنجد المشتق أولاً:

تم العثور على المشتق ، من حيث المبدأ ، ويمكن استبدال القيمة المطلوبة. لكنني لا أريد فعل أي شيء حقًا. التعبير طويل جدًا وقيمة "x" كسرية. لذلك ، نحاول تبسيط المشتقة قدر الإمكان. في هذه الحالة ، دعنا نحاول اختزال الحدود الثلاثة الأخيرة إلى قاسم مشترك: عند نقطة .

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك".

كيف تجد قيمة مشتق الدالة F (x) عند النقطة Ho؟ كيف تحلها بشكل عام؟

إذا كانت الصيغة معطاة ، فأوجد المشتق واستبدل X-0 بدلاً من X. عدد
إذا كنا نتحدث عن b-8 USE ، الرسم البياني ، فأنت بحاجة إلى إيجاد ظل الزاوية (الحاد أو المنفرج) ، والذي يشكل مماسًا للمحور X (باستخدام البناء العقلي لمثلث قائم الزاوية وتحديد ظل الزاوية) الزاوية)

Timur adilkhodzhaev

أولاً ، عليك أن تقرر العلامة. إذا كانت النقطة x0 في الجزء السفلي من المستوى الإحداثي ، فإن الإشارة في الإجابة ستكون سالب ، وإذا كانت أعلى ، فستكون +.
ثانيًا ، عليك أن تعرف ما هو التشابك في مستطيل مستطيل. وهذه هي نسبة الضلع المقابل (الضلع) إلى الضلع المجاور (الضلع أيضًا). عادة ما تكون هناك بعض العلامات السوداء على اللوحة. من هذه العلامات تقوم بعمل مثلث قائم الزاوية وتجد التشابك.

كيفية إيجاد قيمة مشتقة الدالة f x عند النقطة x0؟

لا يوجد سؤال محدد - منذ 3 سنوات

في الحالة العامة ، من أجل إيجاد قيمة مشتق دالة فيما يتعلق ببعض المتغيرات في أي نقطة ، من الضروري التفريق بين الوظيفة المعينة فيما يتعلق بهذا المتغير. في حالتك ، باستخدام المتغير X. في التعبير الناتج ، بدلاً من X ، ضع قيمة x عند النقطة التي تحتاج إلى إيجاد قيمة المشتق لها ، أي في حالتك ، استبدل صفر X واحسب التعبير الناتج.

حسنًا ، رغبتك في فهم هذه المسألة ، في رأيي ، تستحق بلا شك + ، التي أضعها بضمير مرتاح.

غالبًا ما يتم طرح مثل هذه الصيغة لمشكلة إيجاد المشتق لإصلاح المادة على المعنى الهندسي للمشتق. تم اقتراح رسم بياني لوظيفة معينة ، بشكل تعسفي تمامًا ولم يتم تقديمه بواسطة معادلة ، وهو مطلوب للعثور على قيمة المشتق (وليس المشتق نفسه!) عند النقطة المحددة X0. للقيام بذلك ، يتم إنشاء ظل للدالة المعينة وإيجاد نقاط تقاطعها مع محاور الإحداثيات. ثم يتم وضع معادلة الظل بالصيغة y = kx + b.

في هذه المعادلة ، سيكون المعامل k وقيمة المشتق. يبقى فقط للعثور على قيمة المعامل ب. للقيام بذلك ، نجد قيمة y عند x \ u003d o ، دعها تساوي 3 - هذه هي قيمة المعامل b. نعوض بقيمتي X0 و Y0 في المعادلة الأصلية ونوجد k - قيمة المشتق عند هذه النقطة.

في المسألة B9 ، يتم إعطاء رسم بياني لوظيفة أو مشتق ، والذي يتطلب منه تحديد إحدى الكميات التالية:

1. قيمة المشتق عند نقطة ما × 0 ،
2. النقاط العالية أو المنخفضة (النقاط القصوى) ،
3. فترات من وظائف الزيادة والنقصان (فترات الرتابة).

دائمًا ما تكون الدوال والمشتقات المقدمة في هذه المسألة مستمرة ، مما يبسط الحل بشكل كبير. على الرغم من حقيقة أن المهمة تنتمي إلى قسم التحليل الرياضي ، إلا أنها تقع في نطاق سلطة حتى أضعف الطلاب ، حيث لا يلزم معرفة نظرية عميقة هنا.

للعثور على قيمة المشتق والنقاط القصوى وفترات الرتابة ، توجد خوارزميات بسيطة وعالمية - ستتم مناقشتها جميعًا أدناه.

اقرأ بعناية حالة المشكلة B9 حتى لا ترتكب أخطاء غبية: أحيانًا تظهر نصوص ضخمة جدًا ، لكن هناك بعض الشروط المهمة التي تؤثر على مسار الحل.

حساب قيمة المشتق. طريقة نقطتين

إذا أعطيت المشكلة رسمًا بيانيًا للدالة f (x) ، مماس هذا الرسم البياني عند نقطة ما x 0 ، وكان مطلوبًا إيجاد قيمة المشتق عند هذه النقطة ، فسيتم تطبيق الخوارزمية التالية:

1. ابحث عن نقطتين "مناسبتين" على الرسم البياني للماس: يجب أن تكون إحداثياتهما عددًا صحيحًا. دعنا نشير إلى هذه النقاط كـ A (x 1 ؛ y 1) و B (x 2 ؛ y 2). اكتب الإحداثيات بشكل صحيح - هذه هي النقطة الأساسية للحل ، وأي خطأ هنا يؤدي إلى إجابة خاطئة.
2. بمعرفة الإحداثيات ، من السهل حساب زيادة الوسيطة Δx = x 2 - x 1 وزيادة الدالة Δy = y 2 - y 1.
3. أخيرًا ، نجد قيمة المشتق D = Δy / Δx. بمعنى آخر ، تحتاج إلى قسمة زيادة الدالة على زيادة الوسيطة - وستكون هذه هي الإجابة.

مرة أخرى ، نلاحظ: يجب البحث عن النقطتين A و B بدقة على الظل ، وليس على الرسم البياني للوظيفة f (x) ، كما هو الحال غالبًا. سيحتوي الظل بالضرورة على نقطتين من هذه النقطتين على الأقل ، وإلا تمت صياغة المشكلة بشكل غير صحيح.

ضع في اعتبارك النقطتين A (−3 ؛ 2) و B (1 ؛ 6) وابحث عن الزيادات:
Δx \ u003d × 2 - × 1 \ u003d -1 - (-3) \ u003d 2 ؛ Δy \ u003d y 2 - y 1 \ u003d 6-2 \ u003d 4.

لنجد قيمة المشتق: D = Δy / Δx = 4/2 = 2.

مهمة. يوضح الشكل الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) والماس لها عند النقطة مع الإحداثي x 0. أوجد قيمة مشتق الدالة f (x) عند النقطة x 0.

ضع في اعتبارك النقاط أ (0 ؛ 3) وب (3 ؛ 0) ، ابحث عن الزيادات:
Δx \ u003d × 2 - × 1 \ u003d 3-0 \ u003d 3 ؛ Δy \ u003d y 2 - y 1 \ u003d 0-3 \ u003d -3.

الآن نجد قيمة المشتق: D = Δy / Δx = −3/3 = −1.

مهمة. يوضح الشكل الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) والماس لها عند النقطة مع الإحداثي x 0. أوجد قيمة مشتق الدالة f (x) عند النقطة x 0.

ضع في اعتبارك النقاط أ (0 ؛ 2) وب (5 ؛ 2) وابحث عن الزيادات:
Δx \ u003d × 2 - × 1 \ u003d 5-0 \ u003d 5 ؛ Δy = ص 2 - ص 1 = 2-2 = 0.

يبقى إيجاد قيمة المشتق: D = Δy / Δx = 0/5 = 0.

من المثال الأخير ، يمكننا صياغة القاعدة: إذا كان الظل موازيًا لمحور OX ، فإن مشتق الوظيفة عند نقطة الاتصال يساوي صفرًا. في هذه الحالة ، لا تحتاج حتى إلى حساب أي شيء - ما عليك سوى إلقاء نظرة على الرسم البياني.

حساب النقاط العالية والمنخفضة

في بعض الأحيان ، بدلاً من رسم بياني لوظيفة في المسألة B9 ، يتم إعطاء رسم بياني مشتق ومطلوب إيجاد الحد الأقصى أو الحد الأدنى للدالة. في هذا السيناريو ، طريقة النقطتين عديمة الفائدة ، ولكن هناك خوارزمية أخرى أبسط. أولاً ، دعنا نحدد المصطلحات:

1. تسمى النقطة x 0 بالنقطة القصوى للدالة f (x) إذا كانت المتباينة التالية موجودة في بعض المناطق المجاورة لهذه النقطة: f (x 0) ≥ f (x).
2. تسمى النقطة x 0 النقطة الدنيا للدالة f (x) إذا كانت المتباينة التالية موجودة في بعض المناطق المجاورة لهذه النقطة: f (x 0) ≤ f (x).

من أجل إيجاد الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط على الرسم البياني للمشتق ، يكفي القيام بالخطوات التالية:

1. أعد رسم الرسم البياني للمشتق ، وإزالة جميع المعلومات غير الضرورية. كما تظهر الممارسة ، تتداخل البيانات الإضافية مع الحل فقط. لذلك ، نحدد أصفار المشتق على محور الإحداثيات - وهذا كل شيء.
2. اكتشف علامات المشتق على الفترات بين الأصفار. إذا كان من المعروف في نقطة ما x 0 أن f '(x 0) ≠ 0 ، فعندئذ يكون هناك خياران فقط ممكنان: f' (x 0) ≥ 0 أو f '(x 0) ≤ 0. علامة المشتق هي من السهل تحديده من الرسم الأصلي: إذا كان الرسم البياني المشتق يقع فوق محور OX ، فعندئذٍ f '(x) ≥ 0. وعلى العكس ، إذا كان الرسم البياني المشتق يقع أسفل محور OX ، فعندئذٍ f' (x) ≤ 0.
3. نتحقق مرة أخرى من أصفار وعلامات المشتق. عندما تتغير العلامة من سالب إلى زائد ، يكون هناك حد أدنى للنقطة. على العكس من ذلك ، إذا تغيرت علامة المشتق من موجب إلى سالب ، فهذه هي النقطة القصوى. يتم العد دائمًا من اليسار إلى اليمين.

يعمل هذا المخطط فقط للوظائف المستمرة - لا توجد مشاكل أخرى في المشكلة B9.

مهمة. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتق الوظيفة f (x) المحددة في المقطع [−5 ؛ خمسة]. أوجد النقطة الدنيا للدالة f (x) في هذا المقطع.

دعونا نتخلص من المعلومات غير الضرورية - سنترك فقط الحدود [−5 ؛ 5] وأصفار المشتق x = −3 و x = 2.5. لاحظ أيضًا العلامات:

من الواضح أنه عند النقطة x = −3 ، تتغير إشارة المشتق من سالب إلى موجب. هذه هي النقطة الدنيا.

مهمة. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتق الوظيفة f (x) المحددة في المقطع [−3 ؛ 7]. أوجد النقطة العظمى للدالة f (x) في هذا المقطع.

دعونا نعيد رسم الرسم البياني ، مع ترك الحدود فقط [−3 ؛ 7] وأصفار المشتق x = 1.7 و x = 5. لاحظ إشارات المشتق على الرسم البياني الناتج. لدينا:

من الواضح أنه عند النقطة x = 5 ، تتغير علامة المشتق من موجب إلى سالب - وهذه هي النقطة العظمى.

مهمة. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتق الوظيفة f (x) المحددة في المقطع [6 ؛ 4]. أوجد عدد النقاط القصوى للدالة f (x) التي تنتمي إلى الفترة [−4 ؛ 3].

ويترتب على ظروف المشكلة أنه يكفي اعتبار جزء الرسم البياني الذي يحده المقطع [−4 ؛ 3]. لذلك ، نبني رسمًا بيانيًا جديدًا ، نضع عليه علامات فقط الحدود [−4 ؛ 3] وأصفار المشتق بداخله. وهي النقاط x = −3.5 و x = 2. نحصل على:

في هذا الرسم البياني ، توجد نقطة عظمى واحدة فقط x = 2. حيث تتغير إشارة المشتق من موجب إلى سالب.

ملاحظة صغيرة حول النقاط ذات الإحداثيات غير الصحيحة. على سبيل المثال ، في المسألة الأخيرة ، تم أخذ النقطة x = −3.5 في الاعتبار ، ولكن بنفس النجاح يمكننا أخذ x = −3.4. إذا تمت صياغة المشكلة بشكل صحيح ، فلا ينبغي أن تؤثر هذه التغييرات على الإجابة ، لأن النقاط "بدون مكان إقامة ثابت" لا تشارك بشكل مباشر في حل المشكلة. بالطبع ، مع نقاط صحيحة لن تنجح هذه الحيلة.

إيجاد فترات الزيادة والنقصان لدالة

في مثل هذه المشكلة ، مثل نقاط الحد الأقصى والحد الأدنى ، يُقترح العثور على المناطق التي تزيد أو تنقص فيها الوظيفة نفسها من الرسم البياني للمشتق. أولاً ، دعنا نحدد ما هو تصاعدي وتنازلي:

1. تسمى الدالة f (x) زيادة على مقطع إذا كانت العبارة صحيحة لأي نقطتين x 1 و x 2 من هذا المقطع: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≤ f (x 2). بمعنى آخر ، كلما زادت قيمة الوسيطة ، زادت قيمة الدالة.
2. تسمى الدالة f (x) بالتناقص على مقطع إذا كانت العبارة صحيحة لأي نقطتين x 1 و x 2 من هذا المقطع: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≥ f (x 2). أولئك. تتوافق القيمة الأكبر للوسيطة مع قيمة أصغر للدالة.

نصوغ شروطًا كافية للزيادة والنقصان:

1. لكي تزداد الدالة المستمرة f (x) في المقطع ، يكفي أن يكون مشتقها داخل المقطع موجبًا ، أي و '(س) ≥ 0.
2. لكي تنخفض الدالة المستمرة f (x) في المقطع ، يكفي أن يكون مشتقها داخل المقطع سالبًا ، أي و '(س) ≤ 0.

نحن نقبل هذه التأكيدات دون دليل. وبالتالي ، نحصل على مخطط لإيجاد فترات الزيادة والنقصان ، والتي تشبه من نواح كثيرة خوارزمية حساب النقاط القصوى:

1. إزالة كافة المعلومات الزائدة عن الحاجة. في الرسم البياني الأصلي للمشتقة ، نحن مهتمون أساسًا بأصفار الدالة ، لذلك نتركها فقط.
2. قم بتمييز علامات المشتق على فترات بين الأصفار. حيث f '(x) ≥ 0 ، تزداد الوظيفة ، وحيث تتناقص f' (x) ≤ 0. إذا كانت المشكلة لها قيود على المتغير x ، فإننا نضعها أيضًا على الرسم البياني الجديد.
3. الآن بعد أن عرفنا سلوك الوظيفة والقيد ، يبقى حساب القيمة المطلوبة في المشكلة.

مهمة. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتق الوظيفة f (x) المحددة في المقطع [−3 ؛ 7.5]. أوجد فترات تناقص الدالة f (x). في إجابتك ، اكتب مجموع الأعداد الصحيحة المضمنة في هذه الفواصل الزمنية.

كالعادة ، نعيد رسم الرسم البياني ونضع علامة على الحدود [−3 ؛ 7.5] ، وكذلك أصفار مشتق x = 1.5 و x = 5.3. ثم نحتفل بعلامات المشتق. لدينا:

بما أن المشتق سالب في الفترة (- 1.5) ، فهذه هي فترة دالة التناقص. يبقى جمع كل الأعداد الصحيحة الموجودة داخل هذه الفترة الزمنية:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

مهمة. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتق الوظيفة f (x) المحددة في المقطع [10 ؛ 4]. أوجد فترات دالة الزيادة f (x). اكتب في إجابتك طول أكبرهما.

دعنا نتخلص من المعلومات الزائدة عن الحاجة. نترك فقط الحدود [−10؛ 4] وأصفار المشتق ، والتي تحولت هذه المرة إلى أربعة: x = −8 ، x = −6 ، x = −3 ، x = 2. لاحظ علامات المشتق واحصل على الصورة التالية:

نحن مهتمون بفترات زيادة الوظيفة ، أي حيث f '(x) ≥ 0. هناك فترتان من هذا القبيل على الرسم البياني: (−8 ؛ −6) و (3 ؛ 2). دعونا نحسب أطوالهم:
ل 1 = - 6 - (8) = 2 ؛
ل 2 = 2 - (−3) = 5.

نظرًا لأنه مطلوب إيجاد طول أكبر الفترات ، نكتب القيمة l 2 = 5 استجابةً لذلك.