Definition. Prisma ist ein Polyeder, dessen Eckpunkte alle in zwei parallelen Ebenen liegen, und in diesen beiden Ebenen liegen zwei Flächen des Prismas, die gleiche Polygone mit entsprechend parallelen Seiten sind, und alle Kanten, die nicht in diesen Ebenen liegen, sind parallel.

Es werden zwei gleiche Gesichter aufgerufen Prismenbasen(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Alle anderen Flächen des Prismas werden aufgerufen Seitenflächen(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Alle Seitenflächen bilden sich Seitenfläche des Prismas .

Alle Seitenflächen des Prismas sind Parallelogramme .

Die Kanten, die nicht an den Basen liegen, werden Seitenkanten des Prismas genannt ( AA 1, BB 1, CC 1, TT 1, EE 1).

Prismendiagonale ist ein Segment, dessen Enden zwei Eckpunkte eines Prismas sind, die nicht auf derselben Fläche liegen (AD 1).

Die Länge des Segments, das die Basen des Prismas verbindet und gleichzeitig senkrecht zu beiden Basen steht, wird als bezeichnet Prismenhöhe .

Bezeichnung:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Zuerst werden in der Reihenfolge der Durchquerung die Scheitelpunkte einer Basis angegeben und dann in derselben Reihenfolge die Scheitelpunkte einer anderen; die Enden jeder Seitenkante werden mit denselben Buchstaben bezeichnet, nur die Scheitelpunkte liegen in einer Basis werden mit Buchstaben ohne Index bezeichnet, im anderen Fall mit Index)

Der Name des Prismas ist mit der Anzahl der Winkel in der Figur verbunden, die an seiner Basis liegen. In Abbildung 1 befindet sich beispielsweise ein Fünfeck an der Basis, daher wird das Prisma genannt fünfeckiges Prisma. Aber weil Ein solches Prisma hat also 7 Flächen Heptaeder(2 Flächen – die Basen des Prismas, 5 Flächen – Parallelogramme, – seine Seitenflächen)

Unter den geraden Prismen sticht ein besonderer Typ hervor: regelmäßige Prismen.

Ein gerades Prisma heißt richtig, wenn seine Basen regelmäßige Vielecke sind.

Parallelepiped

Rechteckiges Parallelepiped - ein rechtwinkliges Parallelepiped, dessen Grundfläche ein Rechteck ist.

Eigenschaften und Theoreme:

,

wobei d die Diagonale des Quadrats ist;
a ist die Seite des Quadrats.

Eine Vorstellung von einem Prisma ergibt sich aus:

• verschiedene architektonische Strukturen;
• Kinderspielzeug;
• Verpackungskartons;
• Designerartikel usw.

Die Fläche der Gesamt- und Seitenfläche des Prismas

S voll = S Seite + 2S Haupt,

Wo S voll- Gesamtfläche, S-Seite-Seitenfläche, S-Basis- Grundfläche

Die Mantelfläche eines geraden Prismas ist gleich dem Produkt aus dem Umfang der Basis und der Höhe des Prismas.

S-Seite= P basisch * h,

Wo S-Seite-Fläche der Seitenfläche eines geraden Prismas,

P main - Umfang der Basis eines geraden Prismas,

h ist die Höhe des geraden Prismas, gleich der Seitenkante.

Prismenvolumen

Das Volumen eines Prismas ist gleich dem Produkt aus Grundfläche und Höhe.

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Allgemeine Informationen zum geraden Prisma

Die Mantelfläche eines Prismas (genauer gesagt die Mantelfläche) nennt man Summe Bereiche der Seitenflächen. Die Gesamtfläche des Prismas ist gleich der Summe der Seitenfläche und der Flächen der Grundflächen.

Satz 19.1. Seitenfläche Die Gerade des Prismas ist gleich dem Produkt aus dem Umfang der Grundfläche und der Höhe des Prismas, also der Länge der Seitenkante.

Nachweisen. Die Seitenflächen eines geraden Prismas sind Rechtecke. Die Basis dieser Rechtecke sind die Seiten des Polygons, die an der Basis des Prismas liegen, und die Höhen entsprechen der Länge der Seitenkanten. Daraus folgt, dass die Seitenfläche des Prismas gleich ist

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

Dabei sind a 1 und n die Längen der Basiskanten, p der Umfang der Basis des Prismas und I die Länge der Seitenkanten. Der Satz ist bewiesen.

Praktische Aufgabe

Problem (22) . In einem geneigten Prisma wird es durchgeführt Abschnitt, senkrecht zu den Seitenrippen und alle Seitenrippen schneidend. Finden Sie die Seitenfläche des Prismas, wenn der Umfang des Abschnitts gleich p und die Seitenkanten gleich l sind.

Lösung. Die Ebene des gezeichneten Schnitts teilt das Prisma in zwei Teile (Abb. 411). Lassen Sie uns einen von ihnen einer Parallelverschiebung unterziehen und dabei die Basen des Prismas kombinieren. In diesem Fall erhalten wir ein gerades Prisma, dessen Basis der Querschnitt des ursprünglichen Prismas ist und dessen Seitenkanten gleich l sind. Dieses Prisma hat die gleiche Seitenfläche wie das Original. Somit ist die Seitenfläche des ursprünglichen Prismas gleich pl.

Zusammenfassung des behandelten Themas

Versuchen wir nun, das von uns behandelte Thema über Prismen zusammenzufassen und uns daran zu erinnern, welche Eigenschaften ein Prisma hat.

Prismeneigenschaften

Erstens hat ein Prisma alle Grundflächen als gleiche Polygone;
Zweitens sind bei einem Prisma alle seine Seitenflächen Parallelogramme;
Drittens sind bei einer so facettenreichen Figur wie einem Prisma alle Seitenkanten gleich;

Außerdem ist zu bedenken, dass Polyeder wie Prismen gerade oder geneigt sein können.

Welches Prisma wird als gerades Prisma bezeichnet?

Wenn die Seitenkante eines Prismas senkrecht zur Ebene seiner Grundfläche steht, wird ein solches Prisma als gerades Prisma bezeichnet.

Es wäre nicht überflüssig, sich daran zu erinnern, dass die Seitenflächen eines geraden Prismas Rechtecke sind.

Welche Art von Prisma wird als Schrägprisma bezeichnet?

Wenn die Seitenkante eines Prismas jedoch nicht senkrecht zur Ebene seiner Grundfläche steht, können wir mit Sicherheit sagen, dass es sich um ein geneigtes Prisma handelt.

Welches Prisma heißt richtig?

Wenn an der Basis ein gerades Prisma liegt regelmäßiges Polygon, dann ist ein solches Prisma richtig.

Erinnern wir uns nun an die Eigenschaften eines regelmäßigen Prismas.

Eigenschaften eines regelmäßigen Prismas

Erstens dienen regelmäßige Vielecke immer als Grundflächen eines regelmäßigen Prismas;
Zweitens, wenn wir die Seitenflächen eines regelmäßigen Prismas betrachten, sind sie immer gleiche Rechtecke;
Drittens, wenn man die Größen der Seitenrippen vergleicht, dann sind sie in einem regelmäßigen Prisma immer gleich.
Viertens ist ein korrektes Prisma immer gerade;
Fünftens: Wenn bei einem regelmäßigen Prisma die Seitenflächen die Form von Quadraten haben, wird eine solche Figur üblicherweise als halbregelmäßiges Polygon bezeichnet.

Prismenquerschnitt

Schauen wir uns nun den Querschnitt des Prismas an:

Hausaufgaben

Versuchen wir nun, das gelernte Thema durch das Lösen von Problemen zu festigen.

Zeichnen wir ein geneigtes dreieckiges Prisma, der Abstand zwischen seinen Kanten beträgt 3 cm, 4 cm und 5 cm und die Seitenfläche dieses Prismas beträgt 60 cm2. Finden Sie anhand dieser Parameter die Seitenkante dieses Prismas.

Weißt du das? geometrische Formen umgeben uns ständig nicht nur im Geometrieunterricht, sondern auch in Alltag Es gibt Objekte, die der einen oder anderen geometrischen Figur ähneln.

Jeder zu Hause, in der Schule oder am Arbeitsplatz hat einen Computer, dessen Systemeinheit die Form eines geraden Prismas hat.

Wenn Sie einen einfachen Bleistift in die Hand nehmen, werden Sie feststellen, dass der Hauptteil des Bleistifts ein Prisma ist.

Als wir die Hauptstraße der Stadt entlanggehen, sehen wir, dass unter unseren Füßen eine Fliese liegt, die die Form eines sechseckigen Prismas hat.

A. V. Pogorelov, Geometrie für die Klassen 7-11, Lehrbuch für Bildungseinrichtungen

Definition.

Dies ist ein Sechseck, dessen Grundflächen zwei gleiche Quadrate und dessen Seitenflächen gleiche Rechtecke sind

Seitliche Rippe- ist die gemeinsame Seite zweier benachbarter Seitenflächen

Prismenhöhe- Dies ist ein Segment senkrecht zur Basis des Prismas

Prismendiagonale- ein Segment, das zwei Eckpunkte der Basen verbindet, die nicht zur gleichen Fläche gehören

Diagonale Ebene- eine Ebene, die durch die Diagonale des Prismas und seine Seitenkanten verläuft

Diagonaler Abschnitt- die Grenzen des Schnittpunkts des Prismas und der Diagonalebene. Der diagonale Querschnitt eines regelmäßigen viereckigen Prismas ist ein Rechteck

Senkrechter Schnitt (orthogonaler Schnitt)- Dies ist der Schnittpunkt eines Prismas und einer senkrecht zu seinen Seitenkanten gezeichneten Ebene

Elemente eines regelmäßigen viereckigen Prismas

Die Abbildung zeigt zwei regelmäßige viereckige Prismen, die durch die entsprechenden Buchstaben gekennzeichnet sind:

• Die Basen ABCD und A 1 B 1 C 1 D 1 sind gleich und parallel zueinander
• Seitenflächen AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C und CC 1 D 1 D, die jeweils ein Rechteck sind
• Seitenfläche – die Summe der Flächen aller Seitenflächen des Prismas
• Gesamtfläche – die Summe der Flächen aller Grundflächen und Seitenflächen (Summe der Fläche der Seitenfläche und Grundflächen)
• Seitenrippen AA 1, BB 1, CC 1 und DD 1.
• Diagonale B 1 D
• Basisdiagonale BD
• Diagonalschnitt BB 1 D 1 D
• Senkrechter Abschnitt A 2 B 2 C 2 D 2.

Eigenschaften eines regelmäßigen viereckigen Prismas

• Die Grundflächen sind zwei gleiche Quadrate
• Die Basen sind parallel zueinander
• Die Seitenflächen sind Rechtecke
• Die Seitenkanten sind einander gleich
• Seitenflächen stehen senkrecht zu den Basen
• Die seitlichen Rippen sind parallel zueinander und gleich
• Senkrechter Schnitt senkrecht zu allen Seitenrippen und parallel zu den Basen
• Winkel des senkrechten Abschnitts - gerade
• Der diagonale Querschnitt eines regelmäßigen viereckigen Prismas ist ein Rechteck
• Senkrecht (orthogonaler Schnitt) parallel zu den Basen

Formeln für ein regelmäßiges viereckiges Prisma

Anleitung zur Lösung von Problemen

Richtiges Prisma- ein Prisma, an dessen Basis ein regelmäßiges Vieleck liegt und dessen Seitenkanten senkrecht zu den Ebenen der Basis stehen. Das heißt, ein regelmäßiges viereckiges Prisma enthält an seiner Basis Quadrat. (siehe Eigenschaften eines regelmäßigen viereckigen Prismas oben) Notiz. Dies ist Teil einer Lektion mit Geometrieproblemen (Abschnitt Stereometrie – Prisma). Hier gibt es Probleme, die schwer zu lösen sind. Wenn Sie ein Geometrieproblem lösen müssen, das hier nicht aufgeführt ist, schreiben Sie im Forum darüber. Um die Aktion des Abrufens anzuzeigen Quadratwurzel Das Symbol wird zur Lösung von Problemen verwendet√ .

Aufgabe.

Die Diagonale eines regelmäßigen Prismas bildet sich aus der Diagonale der Grundfläche und der Höhe des Prismas rechtwinkliges Dreieck. Dementsprechend ist nach dem Satz des Pythagoras die Diagonale eines gegebenen regelmäßigen viereckigen Prismas gleich:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Antwort: 22 cm

Aufgabe

Lösung.
Da die Grundfläche eines regelmäßigen viereckigen Prismas ein Quadrat ist, ermitteln wir die Seite der Grundfläche (bezeichnet als a) mithilfe des Satzes des Pythagoras:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Die Höhe der Seitenfläche (bezeichnet als h) ist dann gleich:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h2 = 3,5
h = √3,5

Die Gesamtoberfläche entspricht der Summe aus der Seitenoberfläche und dem Doppelten der Grundfläche

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Antwort: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.