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Die n-te Wurzel von reelle Zahl a ist eine Zahl b, für die die Gleichheit b^n = a gilt. Wurzeln Wurzeln ungeraden Grades existieren für negative und positive Zahlen, und Wurzeln geraden Grades existieren nur für positive Zahlen. Die Bedeutung der Wurzel ist oft unbegrenzt dezimal, was eine genaue Berechnung erschwert. Daher besteht die Hauptsache darin, die Wurzeln vergleichen zu können.
Anweisungen
1. Nehmen wir an, wir müssen zwei irrationale Zahlen vergleichen. Das erste, worauf Sie achten sollten, sind die Exponenten der Wurzeln der verglichenen Zahlen. Wenn die Indikatoren identisch sind, werden die Wurzelausdrücke verglichen. Offensichtlich ist bei gleichen Exponenten der Wert der Wurzel umso größer, je größer die Wurzelzahl ist. Nehmen wir an, wir müssen die Kubikwurzel von 2 und die Kubikwurzel von acht vergleichen. Die Indikatoren sind identisch und gleich 3, die Grundausdrücke sind 2 und 8 und 2< 8. Следственно, и кубический корень из 2-х поменьше кубического корня из восьми.
2. Andernfalls können die Exponenten unterschiedlich sein, aber die Wurzelausdrücke können identisch sein. Es ist auch völlig klar, dass man beim Ziehen einer Wurzel größeren Grades eine kleinere Zahl erhält. Nehmen wir zum Beispiel die Kubikwurzel aus acht und die sechste Wurzel aus acht. Wenn wir den Wert der ersten Wurzel als a bezeichnen und den Wert der zweiten als b, dann ist a^3 = 8 und b^6 = 8. Es ist leicht zu erkennen, dass a größer als b sein muss, also die Kubikwurzel von acht ist größer als die sechste Wurzel von acht.
3. Die Situation mit verschiedene Indikatoren Grade der Wurzel und verschiedene Wurzelausdrücke. In diesem Fall müssen Sie das kleinste universelle Vielfache für die Exponenten der Wurzeln finden und beide Ausdrücke zu einer Potenz bilden, die dem kleinsten universellen Vielfachen entspricht. Beispiel: Sie müssen 3^1/3 und 2^1/2 vergleichen. die mathematische Notation der Wurzeln finden Sie in der Abbildung). Das kleinste universelle Vielfache von 2 und 3 ist 6. Erhöhen Sie beide Wurzeln in die sechste Potenz. Hier stellt sich heraus, dass 3^2 = 9 und 2^3 = 8, 9 > 8. Folglich ist 3^1/3 > 2^1/2.
Nützlicher Rat
Um arithmetische Ausdrücke, die aus mehreren Wurzeln bestehen, vergleichen zu können, müssen diese auf eine gemeinsame Wurzel zurückgeführt werden. Dies kann mithilfe abgekürzter Multiplikationsformeln, der Newtonschen Binomialformel und anderen Techniken erfolgen.
Einstiegsniveau
Zahlenvergleich. Umfassender Leitfaden (2019)
Beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen sowie Modulproblemen müssen Sie die gefundenen Wurzeln auf den Zahlenstrahl legen. Wie Sie wissen, können die gefundenen Wurzeln unterschiedlich sein. Sie können so aussehen: , oder sie können so sein: , .
Dementsprechend gilt, wenn die Zahlen nicht rational, sondern irrational sind (wenn Sie vergessen haben, was sie sind, schauen Sie im Thema nach) oder komplex sind mathematische Ausdrücke, dann ist es sehr problematisch, sie auf dem Zahlenstrahl zu platzieren. Darüber hinaus können Sie während der Prüfung keine Taschenrechner verwenden und Näherungsberechnungen bieten keine hundertprozentige Garantie dafür, dass eine Zahl kleiner als eine andere ist (was passiert, wenn zwischen den verglichenen Zahlen ein Unterschied besteht?).
Natürlich wissen Sie, dass positive Zahlen immer größer sind als negative, und dass, wenn wir uns eine Zahlenachse vorstellen, beim Vergleich die größten Zahlen rechts liegen als die kleinsten: ; ; usw.
Aber ist alles immer so einfach? Wo wir auf dem Zahlenstrahl markieren, .
Wie können sie beispielsweise mit einer Zahl verglichen werden? Das ist das Problem...)
Lassen Sie uns zunächst miteinander reden allgemeiner Überblick wie und was zu vergleichen ist.
Wichtig: Es empfiehlt sich, Transformationen so vorzunehmen, dass sich das Ungleichheitszeichen nicht ändert! Das heißt, bei Transformationen ist eine Multiplikation mit unerwünscht negative Zahl, Und es ist verboten Quadrat, wenn einer der Teile negativ ist.
Vergleich von Brüchen
Wir müssen also zwei Brüche vergleichen: und.
Es gibt mehrere Möglichkeiten, dies zu tun.
Option 1. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren.
Schreiben wir es in Form eines gewöhnlichen Bruchs:
- (wie Sie sehen können, habe ich auch Zähler und Nenner reduziert).
Jetzt müssen wir Brüche vergleichen:
Jetzt können wir den Vergleich auf zwei Arten fortsetzen. Wir können:
- Bringen Sie einfach alles auf einen gemeinsamen Nenner und stellen Sie beide Brüche als unechte Brüche dar (der Zähler ist größer als der Nenner):
Welche Zahl ist größer? Richtig, der mit dem größeren Zähler, also der erste.
- „Lass uns verwerfen“ (denken Sie daran, dass wir von jedem Bruch eins abgezogen haben und sich das Verhältnis der Brüche zueinander dementsprechend nicht geändert hat) und vergleichen Sie die Brüche:
Wir bringen sie auch auf einen gemeinsamen Nenner:
Wir haben genau das gleiche Ergebnis wie im vorherigen Fall erhalten – die erste Zahl ist größer als die zweite:
Überprüfen wir auch, ob wir eins richtig subtrahiert haben? Berechnen wir die Differenz im Zähler in der ersten und der zweiten Berechnung:
1)
2)
Also haben wir uns angeschaut, wie man Brüche vergleicht und sie auf einen gemeinsamen Nenner bringt. Kommen wir zu einer anderen Methode: Brüche vergleichen und auf einen gemeinsamen ... Zähler bringen.
Option 2. Vergleichen von Brüchen durch Reduzieren auf einen gemeinsamen Zähler.
Ja, ja. Das ist kein Tippfehler. Diese Methode wird in der Schule selten jemandem beigebracht, ist aber sehr oft sehr praktisch. Damit Sie das Wesentliche schnell verstehen, stelle ich Ihnen nur eine Frage: „In welchen Fällen ist der Wert eines Bruchs am größten?“ Natürlich werden Sie sagen: „Wenn der Zähler so groß wie möglich und der Nenner so klein wie möglich ist.“
Kann man zum Beispiel definitiv sagen, dass es wahr ist? Was ist, wenn wir die folgenden Brüche vergleichen müssen: ? Ich denke, Sie werden das Zeichen auch sofort richtig setzen, denn im ersten Fall sind sie in Teile geteilt, im zweiten in ganze, was bedeutet, dass im zweiten Fall die Stücke sehr klein ausfallen, und dementsprechend: . Wie Sie sehen, sind hier die Nenner unterschiedlich, die Zähler jedoch gleich. Um diese beiden Brüche zu vergleichen, muss man jedoch nicht nach einem gemeinsamen Nenner suchen. Obwohl ... finden Sie es und sehen Sie, ob das Vergleichszeichen immer noch falsch ist?
Aber das Zeichen ist dasselbe.
Kehren wir zu unserer ursprünglichen Aufgabe zurück – vergleichen und... Wir vergleichen und... Reduzieren wir diese Brüche nicht auf einen gemeinsamen Nenner, sondern auf einen gemeinsamen Zähler. Um dies einfach zu tun Zähler und Nenner Multipliziere den ersten Bruch mit. Wir bekommen:
Und. Welcher Bruch ist größer? Genau, das erste.
Option 3: Brüche durch Subtraktion vergleichen.
Wie vergleiche ich Brüche durch Subtraktion? Ja, ganz einfach. Wir subtrahieren einen anderen von einem Bruch. Wenn das Ergebnis positiv ist, dann wird der erste Bruch (Minuend) mehr als die Sekunde(Subtrahend), und wenn negativ, dann umgekehrt.
Versuchen wir in unserem Fall, den ersten Bruch vom zweiten zu subtrahieren: .
Wie Sie bereits verstehen, konvertieren wir auch in einen gewöhnlichen Bruch und erhalten das gleiche Ergebnis – . Unser Ausdruck hat die Form:
Als nächstes müssen wir noch zur Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner greifen. Die Frage ist: Auf die erste Art und Weise Brüche in unechte Brüche umwandeln, oder auf die zweite Art und Weise, als würde man die Einheit „entfernen“? Diese Aktion hat übrigens eine völlig mathematische Begründung. Sehen:
Die zweite Option gefällt mir besser, da die Multiplikation im Zähler viel einfacher ist, wenn man sie auf einen gemeinsamen Nenner reduziert.
Bringen wir es auf einen gemeinsamen Nenner:
Hier geht es vor allem darum, nicht verwirrt darüber zu sein, von welcher Zahl wir wo subtrahiert haben. Beobachten Sie den Fortschritt der Lösung sorgfältig und verwechseln Sie die Zeichen nicht versehentlich. Wir haben die erste Zahl von der zweiten Zahl subtrahiert und ein negatives Ergebnis erhalten, also? Das stimmt, die erste Zahl ist größer als die zweite.
Habe es? Versuchen Sie, Brüche zu vergleichen:
Stopp, stopp. Beeilen Sie sich nicht, die Zahlen auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen oder zu subtrahieren. Schauen Sie: Sie können es leicht in einen Dezimalbruch umwandeln. Wie lange wird es dauern? Rechts. Was ist am Ende mehr?
Dies ist eine weitere Option – der Vergleich von Brüchen durch Umwandlung in eine Dezimalzahl.
Option 4: Brüche durch Division vergleichen.
Ja, ja. Und das ist auch möglich. Die Logik ist einfach: Wenn wir eine größere Zahl durch eine kleinere Zahl dividieren, erhalten wir als Antwort eine Zahl größer als eins, und wenn wir eine kleinere Zahl durch eine größere Zahl dividieren, fällt die Antwort auf das Intervall von bis.
Um sich an diese Regel zu erinnern, vergleichen Sie zwei beliebige Primzahlen, zum Beispiel, und. Weißt du, was noch mehr ist? Teilen wir nun durch. Unsere Antwort ist. Dementsprechend ist die Theorie richtig. Wenn wir durch dividieren, erhalten wir weniger als eins, was wiederum bestätigt, dass es tatsächlich weniger ist.
Versuchen wir, diese Regel anzuwenden gewöhnliche Brüche. Vergleichen wir:
Teilen Sie den ersten Bruch durch den zweiten:
Lassen Sie uns nach und nach kürzen.
Das erhaltene Ergebnis ist kleiner, was bedeutet, dass die Dividende kleiner als der Divisor ist, d. h.:
Wir haben alles geklärt mögliche Optionen Brüche vergleichen. Wie siehst du sie 5:
- Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner;
- Reduktion auf einen gemeinsamen Zähler;
- Reduktion auf die Form eines Dezimalbruchs;
- Subtraktion;
- Division.
Bereit zum Training? Brüche optimal vergleichen:
Vergleichen wir die Antworten:
- (- in Dezimalzahl umwandeln)
- (Dividieren Sie einen Bruch durch einen anderen und reduzieren Sie ihn durch Zähler und Nenner.)
- (Wählen Sie den ganzen Teil aus und vergleichen Sie Brüche nach dem Prinzip des gleichen Zählers.)
- (Teilen Sie einen Bruch durch einen anderen und reduzieren Sie ihn durch Zähler und Nenner).
2. Vergleich der Abschlüsse
Stellen Sie sich nun vor, dass wir nicht nur Zahlen vergleichen müssen, sondern auch Ausdrücke, bei denen es einen Grad () gibt.
Natürlich können Sie ganz einfach ein Schild anbringen:
Wenn wir schließlich den Grad durch Multiplikation ersetzen, erhalten wir:
Aus diesem kleinen und primitiven Beispiel folgt die Regel:
Versuchen Sie nun, Folgendes zu vergleichen: . Sie können auch ganz einfach ein Schild anbringen:
Denn wenn wir Potenzierung durch Multiplikation ersetzen ...
Im Allgemeinen versteht man alles und es ist überhaupt nicht schwierig.
Schwierigkeiten ergeben sich nur dann, wenn beim Vergleich der Abschlüsse unterschiedliche Grundlagen und Indikatoren vorliegen. In diesem Fall müssen Sie versuchen, zu führen Gemeinsamkeit. Zum Beispiel:
Natürlich wissen Sie, dass dieser Ausdruck dementsprechend die Form annimmt:
Öffnen wir die Klammern und vergleichen wir, was wir erhalten:
Ein etwas besonderer Fall ist, wenn die Basis des Grades () kleiner als eins ist.
Wenn, dann ist von zwei Grad und der größere derjenige, dessen Index kleiner ist.
Versuchen wir, diese Regel zu beweisen. Lass es sein.
Lassen Sie uns einige vorstellen natürliche Zahl, wie der Unterschied zwischen und.
Logisch, nicht wahr?
Und nun achten wir noch einmal auf den Zustand – .
Jeweils: . Somit, .
Zum Beispiel:
Wie Sie wissen, haben wir den Fall betrachtet, dass die Grundlagen der Grade gleich sind. Schauen wir uns nun an, wann die Basis im Intervall von bis liegt, die Exponenten aber gleich sind. Hier ist alles ganz einfach.
Erinnern wir uns anhand eines Beispiels daran, wie man dies vergleicht:
Natürlich hast du schnell nachgerechnet:
Wenn Sie also zum Vergleich auf ähnliche Probleme stoßen, denken Sie an ein einfaches ähnliches Beispiel, das Sie schnell berechnen können, und setzen Sie anhand dieses Beispiels Zeichen in ein komplexeres.
Denken Sie bei der Durchführung von Transformationen daran, dass beim Multiplizieren, Addieren, Subtrahieren oder Dividieren alle Aktionen sowohl mit der linken als auch mit der rechten Seite ausgeführt werden müssen rechte Seite(Wenn Sie mit multiplizieren, müssen Sie beide multiplizieren).
Darüber hinaus gibt es Fälle, in denen Manipulationen einfach unrentabel sind. Zum Beispiel müssen Sie vergleichen. IN in diesem Fall, es ist nicht so schwierig, es zu potenzieren und das Zeichen darauf basierend anzuordnen:
Lasst uns üben. Abschlüsse vergleichen:
Sind Sie bereit, Antworten zu vergleichen? Folgendes habe ich bekommen:
- - das gleiche wie
- - das gleiche wie
- - das gleiche wie
- - das gleiche wie
3. Zahlen mit Wurzeln vergleichen
Erinnern wir uns zunächst daran, was Wurzeln sind? Erinnern Sie sich an diese Aufnahme?
Die Wurzel einer Potenz einer reellen Zahl ist eine Zahl, für die die Gleichheit gilt.
Wurzeln ungeraden Grades gibt es für negative und positive Zahlen, und sogar Wurzeln- nur für positive.
Der Wurzelwert ist oft eine unendliche Dezimalzahl, was eine genaue Berechnung erschwert. Daher ist es wichtig, Wurzeln vergleichen zu können.
Wenn Sie vergessen haben, was es ist und wozu es gegessen wird – . Wenn Sie sich an alles erinnern, lernen wir Schritt für Schritt, Wurzeln zu vergleichen.
Nehmen wir an, wir müssen Folgendes vergleichen:
Um diese beiden Wurzeln zu vergleichen, müssen Sie keine Berechnungen durchführen, sondern lediglich das Konzept der „Wurzel“ selbst analysieren. Verstehen Sie, wovon ich rede? Ja, dazu: Ansonsten kann es als dritte Potenz einer Zahl geschrieben werden, gleich dem Wurzelausdruck.
Was gibt es noch? oder? Natürlich können Sie dies problemlos vergleichen. Je größer die Zahl ist, die wir potenzieren, desto größer ist der Wert.
Also. Lassen Sie uns eine Regel ableiten.
Wenn die Exponenten der Wurzeln gleich sind (in unserem Fall ist dies der Fall), müssen die Wurzelausdrücke (und) verglichen werden – je größer die Wurzelzahl, desto größer mehr Wert Wurzeln zu gleichen Teilen.
Schwer zu merken? Dann behalten Sie einfach ein Beispiel im Kopf und... Was gibt es noch?
Die Exponenten der Wurzeln sind gleich, da die Wurzel quadratisch ist. Der radikale Ausdruck einer Zahl () ist größer als eine andere (), was bedeutet, dass die Regel wirklich wahr ist.
Was ist, wenn die Wurzelausdrücke gleich sind, die Grade der Wurzeln jedoch unterschiedlich sind? Zum Beispiel: .
Es ist auch ganz klar, dass man beim Ziehen einer Wurzel höheren Grades eine kleinere Zahl erhält. Nehmen wir zum Beispiel:
Bezeichnen wir den Wert der ersten Wurzel als und der zweiten als, dann:
Sie können leicht erkennen, dass in diesen Gleichungen mehr enthalten sein muss, daher:
Wenn die Wurzelausdrücke gleich sind(in unserem Fall), und die Exponenten der Wurzeln sind unterschiedlich(in unserem Fall ist das und), dann ist es notwendig, die Exponenten zu vergleichen(Und) - je höher der Indikator, desto kleiner ist dieser Ausdruck.
Versuchen Sie, die folgenden Wurzeln zu vergleichen:
Vergleichen wir die Ergebnisse?
Wir haben das erfolgreich geklärt :). Es stellt sich eine weitere Frage: Was wäre, wenn wir alle unterschiedlich wären? Sowohl Grad als auch radikaler Ausdruck? Nicht alles ist so kompliziert, wir müssen nur... die Wurzel „loswerden“. Ja, ja. Werde es einfach los)
Wenn wir unterschiedliche Grade und Wurzelausdrücke haben, müssen wir das kleinste gemeinsame Vielfache (lesen Sie den Abschnitt darüber) für die Exponenten der Wurzeln finden und beide Ausdrücke auf eine Potenz erhöhen, die dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen entspricht.
Dass wir alle in Worten und Worten sind. Hier ist ein Beispiel:
- Wir schauen uns die Indikatoren der Wurzeln an – und. Ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches ist.
- Potenzieren wir beide Ausdrücke:
- Lassen Sie uns den Ausdruck transformieren und die Klammern öffnen (weitere Details im Kapitel):
- Zählen wir, was wir getan haben, und setzen wir ein Zeichen:
4. Vergleich von Logarithmen
So kamen wir langsam aber sicher zu der Frage, wie man Logarithmen vergleicht. Wenn Sie sich nicht erinnern, um welche Art von Tier es sich handelt, empfehle ich Ihnen, zunächst die Theorie aus dem Abschnitt zu lesen. Hast du es gelesen? Dann beantworten Sie ein paar wichtige Fragen:
- Was ist das Argument eines Logarithmus und was ist seine Basis?
- Was bestimmt, ob eine Funktion zunimmt oder abnimmt?
Wenn Sie sich an alles erinnern und es perfekt beherrschen, legen wir los!
Um Logarithmen miteinander zu vergleichen, müssen Sie nur drei Techniken kennen:
- führt dazu gleiche Grundlage;
- Reduktion auf dasselbe Argument;
- Vergleich mit der dritten Zahl.
Achten Sie zunächst auf die Basis des Logarithmus. Erinnern Sie sich daran, dass die Funktion abnimmt, wenn sie kleiner ist, und wenn sie größer ist, nimmt sie zu. Darauf werden unsere Urteile basieren.
Betrachten wir einen Vergleich von Logarithmen, die bereits auf dieselbe Basis oder dasselbe Argument reduziert wurden.
Vereinfachen wir zunächst das Problem: Geben wir die verglichenen Logarithmen ein gleiche Gründe. Dann:
- Die Funktion wächst z. B. im Intervall von, was per Definition dann bedeutet („direkter Vergleich“).
- Beispiel:- Die Gründe sind die gleichen, wir vergleichen die Argumente entsprechend: , also:
- Die Funktion at nimmt im Intervall von ab, was per Definition dann bedeutet („umgekehrter Vergleich“). - Die Basen sind gleich, wir vergleichen die Argumente entsprechend: , allerdings wird das Vorzeichen der Logarithmen „umgekehrt“ sein, da die Funktion abnehmend ist: .
Betrachten Sie nun Fälle, in denen die Gründe unterschiedlich, die Argumente jedoch gleich sind.
- Die Basis ist größer.
- . In diesem Fall verwenden wir den „umgekehrten Vergleich“. Zum Beispiel: - Die Argumente sind die gleichen und. Vergleichen wir die Grundlagen: Allerdings wird das Vorzeichen der Logarithmen „umgekehrt“ sein:
- Die Basis a liegt in der Lücke.
- . In diesem Fall verwenden wir den „direkten Vergleich“. Zum Beispiel:
- . In diesem Fall verwenden wir den „umgekehrten Vergleich“. Zum Beispiel:
Schreiben wir alles in allgemeiner tabellarischer Form auf:
| , während | , während | |
Wie Sie bereits verstanden haben, müssen wir beim Vergleich von Logarithmen zur gleichen Basis oder zum gleichen Argument gelangen. Wir gelangen zu derselben Basis, indem wir die Formel für den Übergang von einer Basis zur anderen verwenden.
Sie können Logarithmen auch mit der dritten Zahl vergleichen und daraus schließen, was weniger und was mehr ist. Überlegen Sie beispielsweise, wie Sie diese beiden Logarithmen vergleichen können.
Ein kleiner Hinweis: Zum Vergleich hilft Ihnen ein Logarithmus sehr, dessen Argument gleich ist.
Gedanke? Lassen Sie uns gemeinsam entscheiden.
Diese beiden Logarithmen können wir ganz einfach mit Ihnen vergleichen:
Sie wissen nicht wie? Siehe oben. Wir haben das gerade geklärt. Welches Zeichen wird es geben? Rechts:
Zustimmen?
Vergleichen wir miteinander:
Sie sollten Folgendes erhalten:
Fassen Sie nun alle unsere Schlussfolgerungen zu einem zusammen. Hat es funktioniert?
5. Vergleich trigonometrischer Ausdrücke.
Was ist Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens? Wozu dient der Einheitskreis und wie findet man den Wert darauf? trigonometrische Funktionen? Wenn Sie die Antworten auf diese Fragen nicht kennen, empfehle ich Ihnen dringend, die Theorie zu diesem Thema zu lesen. Und wenn Sie es wissen, fällt es Ihnen nicht schwer, trigonometrische Ausdrücke miteinander zu vergleichen!
Frischen wir unser Gedächtnis ein wenig auf. Zeichnen wir einen trigonometrischen Einheitskreis und ein darin eingeschriebenes Dreieck. Hast du es geschafft? Markieren Sie nun anhand der Seiten des Dreiecks, auf welcher Seite wir den Kosinus und auf welcher Seite den Sinus eintragen. (Sie erinnern sich natürlich daran, dass der Sinus das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse und der Kosinus die Ankathete ist?). Hast du es gezeichnet? Großartig! Der letzte Schliff besteht darin, festzulegen, wo wir es haben werden, wo und so weiter. Hast du es abgelegt? Puh) Lass uns vergleichen, was dir und mir passiert ist.
Puh! Jetzt fangen wir mit dem Vergleich an!
Nehmen wir an, wir müssen vergleichen und. Zeichnen Sie diese Winkel mithilfe der Eingabeaufforderungen in den Feldern (wo wir markiert haben, wo) und platzieren Sie Punkte auf dem Einheitskreis. Hast du es geschafft? Hier ist, was ich habe.
Lassen Sie uns nun eine Senkrechte von den Punkten, die wir auf dem Kreis markiert haben, auf die Achse fallen lassen ... Welche? Welche Achse zeigt den Wert der Sinuswerte? Rechts, . Das sollten Sie bekommen:
Wenn Sie sich dieses Bild ansehen, welches ist größer: oder? Natürlich, weil der Punkt über dem Punkt liegt.
Auf ähnliche Weise vergleichen wir den Wert von Kosinuswerten. Wir senken nur die Senkrechte zur Achse... Das ist richtig, . Schauen wir uns dementsprechend an, welcher Punkt rechts (oder höher, wie bei Sinus) liegt, dann ist der Wert größer.
Sie wissen wahrscheinlich schon, wie man Tangenten vergleicht, oder? Sie müssen lediglich wissen, was eine Tangente ist. Was ist also ein Tangens?) Richtig, das Verhältnis von Sinus zu Cosinus.
Um Tangenten zu vergleichen, zeichnen wir einen Winkel auf die gleiche Weise wie im vorherigen Fall. Nehmen wir an, wir müssen Folgendes vergleichen:
Hast du es gezeichnet? Jetzt markieren wir auch die Werte des Sinus Koordinatenachse. Hast du es bemerkt? Geben Sie nun die Werte des Kosinus auf der Koordinatenlinie an. Hat es funktioniert? Vergleichen wir:
Analysieren Sie nun, was Sie geschrieben haben. - Wir teilen ein großes Segment in ein kleines. Die Antwort wird einen Wert enthalten, der definitiv größer als eins ist. Rechts?
Und wenn wir das Kleine durch das Große teilen. Die Antwort wird eine Zahl sein, die genau kleiner als eins ist.
Welcher trigonometrische Ausdruck hat also den größeren Wert?
Rechts:
Wie Sie jetzt verstehen, ist der Vergleich von Kotangenten dasselbe, nur umgekehrt: Wir betrachten, wie die Segmente, die Kosinus und Sinus definieren, zueinander in Beziehung stehen.
Versuchen Sie, die folgenden trigonometrischen Ausdrücke selbst zu vergleichen:
Beispiele.
Antworten.
ZAHLENVERGLEICH. MITTLERES NIVEAU.
Welche Zahl ist größer: oder? Die Antwort liegt auf der Hand. Und jetzt: oder? Nicht mehr so offensichtlich, oder? Also: oder?
Oft muss man wissen, welche numerische Ausdrücke mehr. Zum Beispiel, um beim Lösen einer Ungleichung die Punkte auf der Achse in die richtige Reihenfolge zu bringen.
Jetzt werde ich Ihnen beibringen, wie man solche Zahlen vergleicht.
Wenn Sie Zahlen vergleichen müssen, setzen wir ein Zeichen dazwischen (kommt von Lateinisches Wort Versus oder abgekürzt vs. - gegen): . Dieses Zeichen ersetzt das unbekannte Ungleichheitszeichen (). Als nächstes führen wir identische Transformationen durch, bis klar ist, welches Vorzeichen zwischen den Zahlen gesetzt werden muss.
Der Kern des Zahlenvergleichs besteht darin, dass wir das Zeichen so behandeln, als wäre es eine Art Ungleichheitszeichen. Und mit dem Ausdruck können wir alles machen, was wir normalerweise mit Ungleichungen machen:
- Addiere auf beiden Seiten eine beliebige Zahl (und wir können natürlich auch subtrahieren)
- „Alles zur Seite verschieben“, also einen der verglichenen Ausdrücke von beiden Teilen subtrahieren. Anstelle des subtrahierten Ausdrucks bleibt: .
- mit derselben Zahl multiplizieren oder dividieren. Ist diese Zahl negativ, wird das Ungleichheitszeichen umgekehrt: .
- Erhöhen Sie beide Seiten auf die gleiche Potenz. Wenn diese Potenz gerade ist, müssen Sie sicherstellen, dass beide Teile das gleiche Vorzeichen haben; Wenn beide Teile positiv sind, ändert sich das Vorzeichen bei der Potenzierung nicht, sind sie jedoch negativ, dann ändert es sich ins Gegenteil.
- Extrahieren Sie die Wurzel im gleichen Maße aus beiden Teilen. Wenn wir eine Wurzel geraden Grades ziehen, müssen wir zunächst sicherstellen, dass beide Ausdrücke nicht negativ sind.
- alle anderen äquivalenten Transformationen.
Wichtig: Es empfiehlt sich, Transformationen so vorzunehmen, dass sich das Ungleichheitszeichen nicht ändert! Das heißt, bei Transformationen ist es unerwünscht, mit einer negativen Zahl zu multiplizieren, und Sie können sie nicht quadrieren, wenn einer der Teile negativ ist.
Schauen wir uns einige typische Situationen an.
1. Potenzierung.
Beispiel.
Was ist mehr: oder?
Lösung.
Da beide Seiten der Ungleichung positiv sind, können wir sie quadrieren, um die Wurzel zu entfernen:
Beispiel.
Was ist mehr: oder?
Lösung.
Hier können wir es auch quadrieren, aber das hilft uns nur, die Quadratwurzel loszuwerden. Hier ist es notwendig, ihn so weit anzuheben, dass beide Wurzeln verschwinden. Das bedeutet, dass der Exponent dieses Grades sowohl durch (Grad der ersten Wurzel) als auch durch teilbar sein muss. Diese Zahl wird daher auf die te Potenz erhöht:
2. Multiplikation mit seinem Konjugat.
Beispiel.
Was ist mehr: oder?
Lösung.
Lassen Sie uns jede Differenz multiplizieren und durch die konjugierte Summe dividieren:
Offensichtlich ist der Nenner auf der rechten Seite größer als der Nenner auf der linken Seite. Daher ist der rechte Bruch kleiner als der linke:
3. Subtraktion
Erinnern wir uns daran.
Beispiel.
Was ist mehr: oder?
Lösung.
Natürlich könnten wir alles in Einklang bringen, neu gruppieren und es erneut in Einklang bringen. Aber Sie können etwas Intelligenteres tun:
Es ist ersichtlich, dass auf der linken Seite jeder Term kleiner ist als jeder Term auf der rechten Seite.
Dementsprechend ist die Summe aller Terme auf der linken Seite kleiner als die Summe aller Terme auf der rechten Seite.
Aber seien Sie vorsichtig! Wir wurden gefragt, was noch...
Die rechte Seite ist größer.
Beispiel.
Vergleichen Sie die Zahlen und...
Lösung.
Erinnern wir uns an die Trigonometrieformeln:
Schauen wir uns an, in welchen Vierteln des trigonometrischen Kreises die Punkte liegen.
4. Abteilung.
Auch hier verwenden wir eine einfache Regel: .
Bei oder, das heißt.
Wenn sich das Vorzeichen ändert: .
Beispiel.
Vergleichen: .
Lösung.
5. Vergleichen Sie die Zahlen mit der dritten Zahl
Wenn und dann (Gesetz der Transitivität).
Beispiel.
Vergleichen.
Lösung.
Vergleichen wir die Zahlen nicht miteinander, sondern mit der Zahl.
Offensichtlich.
Auf der anderen Seite .
Beispiel.
Was ist mehr: oder?
Lösung.
Beide Zahlen sind größer, aber kleiner. Wählen wir eine Zahl aus, die größer als eine, aber kleiner als die andere ist. Zum Beispiel, . Lassen Sie uns Folgendes überprüfen:
6. Was tun mit Logarithmen?
Nichts Besonderes. Wie man Logarithmen loswird, wird im Thema ausführlich beschrieben. Die Grundregeln sind:
\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Leftrightarrow (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \wedge (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \wedge y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]
Wir können auch eine Regel über Logarithmen hinzufügen mit aus unterschiedlichen Gründen und das gleiche Argument:
Dies lässt sich folgendermaßen erklären: Je größer die Basis, desto geringer muss sie angehoben werden, um das Gleiche zu erreichen. Wenn die Basis kleiner ist, ist das Gegenteil der Fall, da die entsprechende Funktion monoton fallend ist.
Beispiel.
Vergleichen Sie die Zahlen: und.
Lösung.
Nach den oben genannten Regeln:
Und nun die Formel für Fortgeschrittene.
Die Regel zum Vergleichen von Logarithmen kann kürzer geschrieben werden:
Beispiel.
Was ist mehr: oder?
Lösung.
Beispiel.
Vergleichen Sie, welche Zahl größer ist: .
Lösung.
ZAHLENVERGLEICH. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE
1. Potenzierung
Wenn beide Seiten der Ungleichung positiv sind, können sie quadriert werden, um die Wurzel zu entfernen
2. Multiplikation mit seinem Konjugat
Ein Konjugat ist ein Faktor, der den Ausdruck zur Quadratdifferenzformel ergänzt: - Konjugat für und umgekehrt, weil .
3. Subtraktion
4. Abteilung
Wann oder das ist
Wenn sich das Vorzeichen ändert:
5. Vergleich mit der dritten Zahl
Wenn und dann
6. Vergleich von Logarithmen
Grundregeln.
Die n-te Wurzel einer reellen Zahl a ist eine Zahl b, für die die Gleichheit b^n = a gilt. Ungerade Wurzeln gibt es für negative und positive Zahlen, gerade Wurzeln gibt es jedoch nur für positive Zahlen. Der Wurzelwert ist oft eine unendliche Dezimalzahl, was eine genaue Berechnung erschwert. Daher ist es wichtig, Wurzeln vergleichen zu können.
Anweisungen
- Angenommen, Sie möchten zwei irrationale Zahlen vergleichen. Das erste, worauf Sie achten sollten, sind die Exponenten der Wurzeln der verglichenen Zahlen. Wenn die Indikatoren gleich sind, werden die radikalen Ausdrücke verglichen. Offensichtlich ist bei gleichen Exponenten der Wert der Wurzel umso größer, je größer die Wurzelzahl ist. Nehmen wir zum Beispiel an, wir müssen die Kubikwurzel aus zwei und die Kubikwurzel aus acht vergleichen. Die Indikatoren sind gleich und gleich 3, die Grundausdrücke sind 2 und 8 und 2< 8. Следовательно, и кубический корень из двух меньше кубического корня из восьми.
- In einem anderen Fall können die Exponenten unterschiedlich sein, aber die Wurzelausdrücke können gleich sein. Es ist auch ganz klar, dass man beim Ziehen einer Wurzel größeren Grades eine kleinere Zahl erhält. Nehmen wir zum Beispiel die Kubikwurzel aus acht und die sechste Wurzel aus acht. Wenn wir den Wert der ersten Wurzel als a bezeichnen und den Wert der zweiten als b, dann ist a^3 = 8 und b^6 = 8. Es ist leicht zu erkennen, dass a größer als b sein muss, also die Kubikwurzel von acht ist größer als die sechste Wurzel von acht.
- Die Situation mit unterschiedlichen Exponenten des Wurzelgrades und unterschiedlichen Wurzelausdrücken erscheint komplexer. In diesem Fall müssen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache für die Exponenten der Wurzeln finden und beide Ausdrücke mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen potenzieren. Beispiel: Sie müssen 3^1/3 und 2^1/2 vergleichen. die mathematische Notation der Wurzeln finden Sie in der Abbildung). Das kleinste gemeinsame Vielfache von 2 und 3 ist 6. Erhöhen Sie beide Wurzeln in die sechste Potenz. Es stellt sich sofort heraus, dass 3^2 = 9 und 2^3 = 8, 9 > 8. Daher ist 3^1/3 > 2^1/2.
Die n-te Wurzel einer reellen Zahl a ist eine Zahl b, für die die Gleichheit b^n = a gilt. Wurzeln Wurzeln ungeraden Grades existieren für negative und positive Zahlen, und Wurzeln geraden Grades existieren nur für positive Zahlen. Der Wurzelwert ist oft eine unendliche Dezimalzahl, was eine genaue Berechnung erschwert. Daher ist es wichtig, Wurzeln vergleichen zu können.
Anweisungen
Angenommen, Sie möchten zwei irrationale Zahlen vergleichen. Das erste, worauf Sie achten sollten, sind die Exponenten der Wurzeln der verglichenen Zahlen. Wenn die Indikatoren gleich sind, werden die radikalen Ausdrücke verglichen. Offensichtlich ist bei gleichen Exponenten der Wert der Wurzel umso größer, je größer die Wurzelzahl ist. Nehmen wir zum Beispiel an, wir müssen zwei und die Kubikwurzel von acht vergleichen. Die Indikatoren sind gleich und gleich 3, die Grundausdrücke sind 2 und 8 und 2
In einem anderen Fall können die Exponenten unterschiedlich sein, aber die Wurzelausdrücke können gleich sein. Es ist auch ganz klar, dass man beim Ziehen einer Wurzel größeren Grades eine kleinere Zahl erhält. Nehmen wir zum Beispiel die Kubikwurzel aus acht und die sechste Wurzel aus acht. Wenn wir den Wert der ersten Wurzel als a bezeichnen und den Wert der zweiten als b, dann ist a^3 = 8 und b^6 = 8. Es ist leicht zu erkennen, dass a größer als b sein muss, also die Kubikwurzel von acht ist größer als die sechste Wurzel von acht.
Die Situation mit unterschiedlichen Exponenten des Wurzelgrades und unterschiedlichen Wurzelausdrücken erscheint komplexer. In diesem Fall müssen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache für die Exponenten der Wurzeln finden und beide Ausdrücke mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen potenzieren. Beispiel: Sie müssen 3^1/3 und 2^1/2 vergleichen. die mathematische Notation der Wurzeln finden Sie in der Abbildung). Das kleinste gemeinsame Vielfache von 2 und 3 ist 6. Erhöhen Sie beide Wurzeln in die sechste Potenz. Es stellt sich sofort heraus, dass 3^2 = 9 und 2^3 = 8, 9 > 8. Daher ist 3^1/3 > 2^1/2.
