1. Schwingkreis.

2 Schwingkreisgleichung

3. Freie Schwingungen im Stromkreis

4. Freie gedämpfte Schwingungen im Stromkreis

5. Erzwungene elektrische Schwingungen.

6. Resonanz in einer Reihenschaltung

7. Resonanz in einer Parallelschaltung

8. Wechselstrom

1. 5.1. Schwingkreis.

Lassen Sie uns herausfinden, wie elektrische Schwingungen entstehen und in einem Schwingkreis aufrechterhalten werden.

Lassen Sie zuerst Die obere Platte des Kondensators ist positiv geladen ,und der untere ist negativ(Abb. 11.1, A).

In diesem Fall wird die gesamte Energie des Schwingkreises im Kondensator konzentriert.

Schließen wir den Schlüssel ZU.. Der Kondensator beginnt sich zu entladen, und zwar durch die Spule L Strom wird fließen. Elektrische Energie Der Kondensator beginnt, sich von der Spule in magnetische Energie umzuwandeln. Dieser Vorgang endet, wenn der Kondensator vollständig entladen ist und der Strom im Stromkreis sein Maximum erreicht (Abb. 11.1, B).

Von diesem Moment an beginnt der Strom abzunehmen, ohne die Richtung zu ändern. Allerdings wird es nicht sofort aufhören – es wird unterstützt von e. d.s.

Selbstinduktion. Der Strom lädt den Kondensator wieder auf und es entsteht ein elektrisches Feld, das den Strom tendenziell schwächt. Schließlich stoppt der Strom und die Ladung des Kondensators erreicht ihr Maximum.

Ab diesem Moment beginnt sich der Kondensator wieder zu entladen, der Strom fließt in die entgegengesetzte Richtung usw. – der Vorgang wiederholt sich Im Kreislauf in Ermangelung von Widerstand Dirigenten werden durchgeführt streng periodische Schwingungen

. Während des Vorgangs ändern sich periodisch die Ladung auf den Platten des Kondensators, die Spannung an ihm und der Strom durch die Spule.

Schwingungen gehen mit gegenseitigen Umwandlungen der Energie elektrischer und magnetischer Felder einher.
Wenn der Widerstand der Leiter

, dann kommt es zusätzlich zu dem beschriebenen Prozess zur Umwandlung elektromagnetischer Energie in Joulesche Wärme.Widerstand des Stromkreisleiters Rnormalerweise aufgerufen

aktiver Widerstand.

1.5.2. Schwingkreisgleichung Finden wir die Schwingungsgleichung in einem Stromkreis, der einen in Reihe geschalteten Kondensator enthält MIT, L, Induktor Widerstand des Stromkreisleiters aktiver Widerstand und externe Variable e. d.s.

(Abb. 1.5.1). Lass uns wählen

die positive Durchlaufrichtung des Kreises, beispielsweise im Uhrzeigersinn. Bezeichnen wir durch Q

Dann wird der Strom im Stromkreis bestimmt als
(1)

Deshalb, wenn ICH > Oh, das ist es dq > 0 und umgekehrt (Zeichen ICH stimmt mit dem Vorzeichen überein dq).

Nach dem Ohmschen Gesetz für einen Abschnitt des Stromkreises 1 R.L.2

. (2),

Wo - äh. d.s. Selbstinduktion.

In unserem Fall

(Zeichen durch muss mit dem Vorzeichen der Differenz übereinstimmen
, Weil C > 0).

Daher kann Gleichung (2) umgeschrieben werden als

oder unter Berücksichtigung von (1) als

Das ist es Schwingkreisgleichung - lineare inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Finden mit dieser Gleichung durch(T), Wir können die Spannung am Kondensator leicht berechnen
und Stromstärke I- gemäß Formel (1).

Die Gleichung des Schwingkreises kann eine andere Form haben:

(5)

wo die Notation eingeführt wird

. (6)

Größe - angerufen Eigenfrequenz Kontur,

β - Dämpfungskoeffizient.

Wenn ξ = 0, dann werden üblicherweise die Schwingungen aufgerufen frei.

- Bei Widerstand des Stromkreisleiters = Oh, das werden sie ungedämpft,

- bei Widerstand des Stromkreisleiters ≠0 - gedämpft.

Freie elektromagnetische Schwingungen Dabei handelt es sich um periodische Änderungen der Ladung des Kondensators, des Stroms in der Spule sowie elektrischer und magnetischer Felder im Schwingkreis, die unter dem Einfluss innerer Kräfte auftreten.

Kontinuierliche elektromagnetische Schwingungen

Zur Anregung elektromagnetischer Schwingungen dient es Schwingkreis , bestehend aus einer Induktivität L und einem Kondensator mit der Kapazität C in Reihe geschaltet (Abb. 17.1).

Betrachten wir einen idealen Stromkreis, also einen Stromkreis, dessen ohmscher Widerstand Null ist (R=0). Um Schwingungen in diesem Stromkreis anzuregen, ist es notwendig, entweder den Kondensatorplatten eine bestimmte Ladung zu verleihen oder einen Strom in der Induktivität anzuregen. Der Kondensator soll im Anfangsmoment auf eine Potentialdifferenz U aufgeladen sein (Abb. (Abb. 17.2, a); daher hat er potentielle Energie
.Zu diesem Zeitpunkt ist der Strom in der Spule I = 0 . Dieser Zustand des Schwingkreises ähnelt dem Zustand eines mathematischen Pendels, das um einen Winkel α ausgelenkt ist (Abb. 17.3, a). Zu diesem Zeitpunkt beträgt der Strom in der Spule I=0. Nach dem Anschließen eines geladenen Kondensators an die Spule beginnen freie Elektronen im Stromkreis unter dem Einfluss des elektrischen Feldes, das durch die Ladungen am Kondensator erzeugt wird, von der negativ geladenen Platte des Kondensators zur positiv geladenen zu wandern. Der Kondensator beginnt sich zu entladen und im Stromkreis entsteht ein zunehmender Strom. Das magnetische Wechselfeld dieses Stroms erzeugt einen elektrischen Wirbel. Dieses elektrische Feld ist dem Strom entgegengesetzt gerichtet und ermöglicht daher nicht, dass dieser sofort seinen Maximalwert erreicht. Der Strom wird allmählich zunehmen. Wenn die Kraft im Stromkreis ihr Maximum erreicht, sind die Ladung des Kondensators und die Spannung zwischen den Platten Null. Dies geschieht nach einem Viertel der Periode t = π/4. Gleichzeitig wird die Energie e elektrisches Feld wandelt sich in magnetische Feldenergie umW e =1/2C U 2 0. In diesem Moment werden so viele Elektronen auf die positiv geladene Platte des Kondensators übertragen, dass ihre negative Ladung die positive Ladung der dort vorhandenen Ionen vollständig neutralisiert. Der Strom im Stromkreis beginnt abzunehmen und die Induktion des von ihm erzeugten Stromkreises beginnt abzunehmen.

Magnetfeld . Das sich ändernde Magnetfeld erzeugt erneut einen elektrischen Wirbel, der dieses Mal in die gleiche Richtung wie der Strom gerichtet ist. Der von diesem Feld unterstützte Strom fließt in die gleiche Richtung und lädt den Kondensator allmählich wieder auf. Wenn sich jedoch Ladung auf dem Kondensator ansammelt, hemmt sein eigenes elektrisches Feld zunehmend die Bewegung von Elektronen und die Stromstärke im Stromkreis wird immer geringer. Wenn der Strom auf Null sinkt, ist der Kondensator vollständig überladen. = 0; ;;Die in Abb. dargestellten Systemzustände 17.2 und 17.3 entsprechen aufeinanderfolgenden Zeitpunkten T

Und

T.

Die im Stromkreis entstehende selbstinduktive EMK ist gleich der Spannung an den Kondensatorplatten: ε = U
Und

(17.1)

Glauben

, bekommen wir

Formel (17.1) ähnelt der in der Mechanik betrachteten Differentialgleichung harmonischer Schwingungen; seine Entscheidung wird sein

q = q max sin(ω 0 t+φ 0) (17.2)
Dabei ist q max die größte (Anfangs-)Ladung auf den Kondensatorplatten, ω 0 die Kreisfrequenz der Eigenschwingungen des Schaltkreises, φ 0 die Anfangsphase.

(17.3)

Nach der akzeptierten Notation ist Wo und zeigt, dass bei R=0 die Periode der im Stromkreis auftretenden elektromagnetischen Schwingungen nur durch die Werte der Induktivität L und der Kapazität C bestimmt wird.

Nach dem harmonischen Gesetz ändert sich nicht nur die Ladung auf den Kondensatorplatten, sondern auch die Spannung und der Strom im Stromkreis:

wobei U m und I m die Amplituden von Spannung und Strom sind.

Aus den Ausdrücken (17.2), (17.4), (17.5) folgt, dass die Schwingungen von Ladung (Spannung) und Strom im Stromkreis um π/2 phasenverschoben sind. Folglich erreicht der Strom seinen Maximalwert zu den Zeitpunkten, an denen die Ladung (Spannung) an den Kondensatorplatten Null ist, und umgekehrt.

Wenn ein Kondensator aufgeladen wird, entsteht zwischen seinen Platten ein elektrisches Feld, dessen Energie

oder

Wenn ein Kondensator auf eine Induktivität entladen wird, entsteht darin ein Magnetfeld, dessen Energie

Im idealen Kreislauf maximale Energie elektrisches Feld gleich der maximalen Magnetfeldenergie:

Die Energie eines geladenen Kondensators ändert sich im Laufe der Zeit gemäß dem Gesetz periodisch

oder

In Anbetracht dessen
Und

Die Energie des Magnetfeldes des Elektromagneten ändert sich gesetzesgemäß mit der Zeit

(17.6)

Unter Berücksichtigung von I m =q m ω 0 erhalten wir

(17.7)

Die Gesamtenergie des elektromagnetischen Feldes des Schwingkreises ist gleich

W =W e +W m = (17.8)

In einem idealen Stromkreis bleibt die Gesamtenergie erhalten und die elektromagnetischen Schwingungen sind ungedämpft.

Gedämpfte elektromagnetische Schwingungen

Ein echter Schwingkreis hat einen ohmschen Widerstand, sodass die Schwingungen in ihm gedämpft werden. Bezogen auf diesen Stromkreis schreiben wir das Ohmsche Gesetz für den gesamten Stromkreis in der Form

(17.9)

Diese Gleichheit transformieren:

und den Ersatz vornehmen:

T.
,wobei wir den β-Dämpfungskoeffizienten erhalten

(10.17) - das ist Differentialgleichung gedämpfter elektromagnetischer Schwingungen .

Der Prozess der freien Schwingungen in einem solchen Stromkreis gehorcht nicht mehr dem harmonischen Gesetz. Für jede Schwingungsperiode wird ein Teil der im Stromkreis gespeicherten elektromagnetischen Energie in Joulesche Wärme umgewandelt und die Schwingungen werden Fading(Abb. 17.5). Für kleine Dämpfungen ω ≈ ω 0 ist die Lösung der Differentialgleichung eine Gleichung der Form

(17.11)

Gedämpfte Schwingungen in einem Stromkreis ähneln gedämpften mechanischen Schwingungen einer Federbelastung bei viskoser Reibung.

Das logarithmische Dämpfungsdekrement ist gleich

(17.12)

Zeitintervall
während dessen die Amplitude der Schwingungen um das e ≈ 2,7-fache abnimmt, heißt Abklingzeit .

Gütefaktor Q des schwingungsfähigen Systems bestimmt durch die Formel:

(17.13)

Für eine RLC-Schaltung wird der Qualitätsfaktor Q durch die Formel ausgedrückt

(17.14)

Der Qualitätsfaktor elektrischer Schaltkreise, die in der Funktechnik verwendet werden, liegt normalerweise in der Größenordnung von mehreren zehn oder sogar hunderten.

Ein elektromagnetisches Feld kann auch ohne elektrische Ladungen oder Ströme existieren: Es sind genau diese „sich selbst erhaltenden“ elektrischen und magnetischen Felder, die es ausmachen elektromagnetische Wellen Dazu gehören sichtbares Licht, Infrarot, Ultraviolett und Röntgenstrahlung, Radiowellen usw.

§ 25. Schwingkreis

Das einfachste System, in dem elektromagnetische Eigenschwingungen möglich sind, ist der sogenannte Schwingkreis, bestehend aus einem miteinander verbundenen Kondensator und einer Induktivität (Abb. 157). Wie bei einem mechanischen Schwinger, beispielsweise einem massiven Körper auf einer elastischen Feder, gehen Eigenschwingungen im Stromkreis mit Energieumwandlungen einher.

Reis. 157. Schwingkreis

Analogie zwischen mechanischen und elektromagnetischen Schwingungen. Für einen Schwingkreis ist die Energie des elektrischen Feldes in einem Kondensator ein Analogon der potentiellen Energie eines mechanischen Oszillators (z. B. der elastischen Energie einer deformierten Feder). Ein Analogon zur kinetischen Energie eines sich bewegenden Körpers ist die Energie des Magnetfelds in einem Induktor. Tatsächlich ist die Energie der Feder proportional zum Quadrat der Verschiebung aus der Gleichgewichtslage und die Energie des Kondensators ist proportional zum Quadrat der Ladung. Die kinetische Energie eines Körpers ist proportional zum Quadrat seiner Geschwindigkeit Die Energie des Magnetfelds in der Spule ist proportional zum Quadrat des Stroms.

Die gesamte mechanische Energie des Federschwingers E ist gleich der Summe der potentiellen und kinetischen Energien:

Energie der Schwingungen. Ebenso ist die gesamte elektromagnetische Energie des Schwingkreises gleich der Summe der Energien des elektrischen Feldes im Kondensator und des magnetischen Feldes in der Spule:

Aus einem Vergleich der Formeln (1) und (2) folgt, dass das Analogon der Steifigkeit k eines Federschwingers in einem Schwingkreis der Kehrwert der Kapazität C und das Analogon der Masse die Induktivität der Spule ist

Erinnern wir uns daran, dass in einem mechanischen System, dessen Energie durch Ausdruck (1) angegeben ist, eigene ungedämpfte harmonische Schwingungen auftreten können. Das Quadrat der Frequenz solcher Schwingungen ist gleich dem Verhältnis der Koeffizienten der Quadrate von Verschiebung und Geschwindigkeit im Ausdruck für Energie:

Eigenfrequenz. In einem Schwingkreis, dessen elektromagnetische Energie durch den Ausdruck (2) gegeben ist, können eigene ungedämpfte harmonische Schwingungen auftreten, deren Quadrat der Frequenz natürlich auch gleich dem Verhältnis der entsprechenden Koeffizienten ist (d. h. die Koeffizienten der Quadrate von Ladung und Strom):

Aus (4) ergibt sich ein Ausdruck für die Schwingungsdauer, die sogenannte Thomson-Formel:

Bei mechanischen Schwingungen wird die Abhängigkeit der Verschiebung x von der Zeit durch eine Kosinusfunktion bestimmt, deren Argument Schwingungsphase genannt wird:

Amplitude und Anfangsphase. Die Amplitude A und die Anfangsphase a werden durch die Anfangsbedingungen bestimmt, also die Werte von Verschiebung und Geschwindigkeit bei

Ebenso ist bei elektromagnetischen Eigenschwingungen im Stromkreis die Ladung des Kondensators gesetzesgemäß von der Zeit abhängig

wobei die Frequenz gemäß (4) nur durch die Eigenschaften der Schaltung selbst bestimmt wird und die Amplitude der Ladungsschwingungen und die Anfangsphase a wie bei einem mechanischen Oszillator bestimmt werden

Anfangsbedingungen, also die Werte der Kondensatorladung und Stromstärke bei Somit hängt die Eigenfrequenz nicht von der Art der Schwingungsanregung ab, während Amplitude und Anfangsphase genau durch die Anregungsbedingungen bestimmt werden.

Energietransformationen. Betrachten wir die Energieumwandlungen bei mechanischen und elektromagnetischen Schwingungen genauer. In Abb. In Abb. 158 zeigt schematisch die Zustände mechanischer und elektromagnetischer Oszillatoren in Zeitintervallen einer Viertelperiode

Reis. 158. Energieumwandlungen bei mechanischen und elektromagnetischen Schwingungen

Zweimal während der Schwingungsperiode wird Energie von einer Art in eine andere und wieder zurück umgewandelt. Die Gesamtenergie des Schwingkreises bleibt, wie die Gesamtenergie eines mechanischen Oszillators, ohne Dissipation unverändert. Um dies zu überprüfen, müssen Sie Ausdruck (6) und Ausdruck für den Strom in Formel (2) einsetzen.

Mit Formel (4) erhalten wir

Reis. 159. Diagramme der Abhängigkeit der Energie des elektrischen Feldes des Kondensators und der Energie des Magnetfelds in der Spule von der Ladezeit des Kondensators

Die konstante Gesamtenergie stimmt mit der potentiellen Energie in den Momenten überein, in denen die Ladung am Kondensator maximal ist, und stimmt mit der Energie des Magnetfelds der Spule – der „kinetischen“ Energie – in den Momenten überein, in denen die Ladung am Kondensator maximal wird Null und der Strom ist maximal. Bei gegenseitigen Umwandlungen erzeugen zwei Energiearten harmonische Schwingungen mit gleicher Amplitude, zueinander phasenverschoben und mit einer Frequenz relativ zu ihrem Durchschnittswert. Dies lässt sich leicht aus Abb. 158 und mit Formeln trigonometrische Funktionen halbes Argument:

Diagramme der Abhängigkeit der elektrischen Feldenergie und der magnetischen Feldenergie von der Ladezeit des Kondensators sind in Abb. dargestellt. 159 für die Anfangsphase

Quantitative Gesetze natürlicher elektromagnetischer Schwingungen können direkt auf der Grundlage der Gesetze für quasistationäre Ströme aufgestellt werden, ohne auf Analogien zu mechanischen Schwingungen zurückgreifen zu müssen.

Gleichung für Schwingungen in einem Stromkreis. Betrachten wir den einfachsten Schwingkreis, der in Abb. 157. Wenn man den Stromkreis beispielsweise gegen den Uhrzeigersinn umrundet, ist die Summe der Spannungen an der Induktivität und dem Kondensator in einem solchen geschlossenen Reihenkreis Null:

Die Spannung am Kondensator steht im Zusammenhang mit der Ladung der Platte und der Kapazität mit folgender Beziehung: Die Spannung an der Induktivität ist zu jedem Zeitpunkt gleich groß und hat entgegengesetztes Vorzeichen Selbstinduzierte EMK, also der Strom im Stromkreis gleich der GeschwindigkeitÄnderungen der Kondensatorladung: Ersetzen Sie den Strom durch den Ausdruck für die Spannung an der Induktivität und bezeichnen Sie die zweite Ableitung der Kondensatorladung nach der Zeit als

Wir erhalten nun, dass Ausdruck (10) die Form annimmt

Schreiben wir diese Gleichung anders um und führen per Definition Folgendes ein:

Gleichung (12) stimmt mit der Gleichung harmonischer Schwingungen eines mechanischen Oszillators mit Eigenfrequenz überein. Die Lösung einer solchen Gleichung ist durch eine harmonische (sinusförmige) Zeitfunktion (6) mit willkürlichen Werten der Amplitude und der Anfangsphase gegeben A. Dies impliziert alle oben genannten Ergebnisse bezüglich elektromagnetischer Schwingungen im Stromkreis.

Dämpfung elektromagnetischer Schwingungen. Bisher wurden Eigenschwingungen in einem idealisierten mechanischen System und einem idealisierten LC-Schaltkreis diskutiert. Die Idealisierung bestand darin, die Reibung im Oszillator und den elektrischen Widerstand im Stromkreis zu vernachlässigen. Nur in diesem Fall ist das System konservativ und die Schwingungsenergie bleibt erhalten.

Reis. 160. Schwingkreis mit Widerstand

Die Dissipation der Schwingungsenergie im Stromkreis kann auf die gleiche Weise berücksichtigt werden, wie dies bei einem mechanischen Oszillator mit Reibung der Fall war. Verfügbarkeit elektrischer Widerstand Spulen und Verbindungsdrähten ist zwangsläufig mit der Freisetzung von Joule'scher Wärme verbunden. Nach wie vor kann dieser Widerstand als eigenständiges Element im Stromkreis des Schwingkreises betrachtet werden, wenn man die Spule und die Drähte als ideal betrachtet (Abb. 160). Bei der Betrachtung eines quasistationären Stroms in einem solchen Stromkreis muss die Spannung am Widerstand zu Gleichung (10) addiert werden.

Wenn wir einwechseln, bekommen wir

Bezeichnungen vorstellen

Wir schreiben Gleichung (14) in der Form um

Gleichung (16) hat genau die gleiche Form wie die Gleichung für die Schwingung eines mechanischen Oszillators

Reibung proportional zur Geschwindigkeit (viskose Reibung). Daher treten bei Vorhandensein eines elektrischen Widerstands im Stromkreis elektromagnetische Schwingungen nach dem gleichen Gesetz auf wie die mechanischen Schwingungen eines Oszillators mit viskoser Reibung.

Ableitung der Schwingungsenergie. Wie bei mechanischen Schwingungen ist es möglich, das Gesetz der Energieabnahme natürlicher Schwingungen im Laufe der Zeit aufzustellen, indem man das Joule-Lenz-Gesetz zur Berechnung der freigesetzten Wärme anwendet:

Dies führt dazu, dass bei kleinen Dämpfungen für Zeitintervalle, die viel größer als die Schwingungsperiode sind, die Abnahmegeschwindigkeit der Schwingungsenergie proportional zur Energie selbst ist:

Die Lösung der Gleichung (18) hat die Form

Die Energie natürlicher elektromagnetischer Schwingungen in einem Stromkreis mit Widerstand nimmt nach einem Exponentialgesetz ab.

Die Energie von Schwingungen ist proportional zum Quadrat ihrer Amplitude. Für elektromagnetische Schwingungen folgt dies beispielsweise aus (8). Daher nimmt die Amplitude gedämpfter Schwingungen gemäß (19) gesetzesgemäß ab

Lebensdauer der Schwingungen. Wie aus (20) ersichtlich ist, verringert sich die Amplitude der Schwingungen um den Faktor einer Zeit, die unabhängig vom Anfangswert der Amplitude ist. Diese Zeit x wird jedoch als Lebensdauer der Schwingungen bezeichnet aus (20) gehen die Schwingungen formal ins Unendliche. In Wirklichkeit ist es natürlich nur sinnvoll, von Schwingungen zu sprechen, solange ihre Amplitude den charakteristischen Wert des thermischen Rauschpegels in einem bestimmten Stromkreis überschreitet. Daher „leben“ die Schwingungen im Stromkreis tatsächlich eine endliche Zeit, die jedoch um ein Vielfaches größer sein kann als die oben eingeführte Lebensdauer x.

Oft ist es wichtig, nicht die Lebensdauer der Schwingungen x selbst zu kennen, sondern die Anzahl der vollständigen Schwingungen, die während dieser Zeit x im Stromkreis auftreten. Diese Zahl multipliziert mit wird als Schaltungsqualitätsfaktor bezeichnet.

Streng genommen sind gedämpfte Schwingungen nicht periodisch. Bei geringer Dämpfung kann man bedingt von einer Periode sprechen, worunter man den Zeitabstand zwischen zwei versteht

aufeinanderfolgende Maximalwerte der Kondensatorladung (gleiche Polarität) oder maximale Stromwerte (eine Richtung).

Die Dämpfung von Schwingungen wirkt sich auf die Periodendauer aus und führt zu einer Vergrößerung dieser im Vergleich zum idealisierten Fall ohne Dämpfung. Bei geringer Dämpfung ist die Verlängerung der Schwingungsdauer sehr gering. Bei starker Dämpfung kann es jedoch zu überhaupt keinen Schwingungen kommen: Der geladene Kondensator entlädt sich aperiodisch, d. h. ohne die Richtung des Stroms im Stromkreis zu ändern. Dies wird passieren, wenn bzw. wann

Genaue Lösung. Die oben formulierten Muster gedämpfter Schwingungen ergeben sich aus der exakten Lösung der Differentialgleichung (16). Durch direkte Substitution können wir überprüfen, ob es die Form hat

wo sind beliebige Konstanten, deren Werte aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden. Bei geringer Dämpfung kann der Kosinusmultiplikator als langsam variierende Schwingungsamplitude betrachtet werden.

Aufgabe

Aufladen von Kondensatoren über eine Induktivität. In der Schaltung, deren Diagramm in Abb. 161 ist die Ladung des oberen Kondensators gleich und der untere ist nicht geladen. Im Moment ist der Schlüssel geschlossen. Finden Sie die Abhängigkeit der Ladezeit des oberen Kondensators vom Strom in der Spule.

Reis. 161. Im ersten Moment ist nur ein Kondensator geladen

Reis. 162. Ladungen von Kondensatoren und Strom im Stromkreis nach dem Schließen des Schlüssels

Reis. 163. Mechanische Analogie für den in Abb. gezeigten Stromkreis. 162

Lösung. Nach dem Schließen des Schlüssels kommt es zu Schwingungen im Stromkreis: Der obere Kondensator beginnt sich über die Spule zu entladen, während der untere aufgeladen wird; dann passiert alles in die entgegengesetzte Richtung. Angenommen, die obere Platte des Kondensators sei positiv geladen. Dann

Nach kurzer Zeit sind die Vorzeichen der Ladungen der Kondensatorplatten und die Richtung des Stroms wie in Abb. 162. Bezeichnen wir mit den Ladungen der Platten der oberen und unteren Kondensatoren, die über eine Induktivität miteinander verbunden sind. Basierend auf dem Gesetz der Erhaltung der elektrischen Ladung

Die Summe der Spannungen an allen Elementen des geschlossenen Regelkreises ist zu jedem Zeitpunkt Null:

Das Vorzeichen der Spannung am Kondensator entspricht der Ladungsverteilung in Abb. 162. und die angegebene Richtung des Stroms. Der Ausdruck für den Strom durch die Spule kann in einer von zwei Formen geschrieben werden:

Lassen Sie uns mithilfe der Beziehungen (22) und (24) aus der Gleichung ausschließen:

Bezeichnungen vorstellen

Schreiben wir (25) in der folgenden Form um:

Wenn statt die Funktion einzugeben

und berücksichtigen Sie, dass dann (27) die Form annimmt

Dies ist die übliche Gleichung ungedämpfter harmonischer Schwingungen, die eine Lösung hat

wobei und beliebige Konstanten sind.

Kehren wir von der Funktion zurück, erhalten wir den folgenden Ausdruck für die Abhängigkeit der Ladezeit des oberen Kondensators:

Um die Konstanten und a zu bestimmen, berücksichtigen wir, dass im Anfangsmoment die Ladung und der Strom Für die Stromstärke aus (24) und (31) haben wir

Daraus folgt, dass wir jetzt substituieren und berücksichtigen, dass wir erhalten

Die Ausdrücke für Ladung und Strom haben also die Form

Die Art der Ladungs- und Stromschwankungen wird besonders deutlich, wenn die Kondensatorkapazitäten gleich sind. In diesem Fall

Die Ladung des oberen Kondensators schwingt mit einer Amplitude um den Durchschnittswert von. Über die Hälfte der Schwingungsperiode nimmt sie vom Maximalwert im Anfangsmoment auf Null ab, wenn sich die gesamte Ladung auf dem unteren Kondensator befindet.

Der Ausdruck (26) für die Schwingungsfrequenz könnte natürlich sofort geschrieben werden, da in der betrachteten Schaltung die Kondensatoren in Reihe geschaltet sind. Es ist jedoch schwierig, die Ausdrücke (34) direkt zu schreiben, da es unter solchen Anfangsbedingungen unmöglich ist, die in der Schaltung enthaltenen Kondensatoren durch einen gleichwertigen zu ersetzen.

Eine visuelle Darstellung der hier ablaufenden Prozesse bietet das mechanische Analogon dieses Stromkreises, dargestellt in Abb. 163. Identische Federn entsprechen dem Fall von Kondensatoren gleicher Kapazität. Im Anfangsmoment ist die linke Feder zusammengedrückt, was einem geladenen Kondensator entspricht, und die rechte befindet sich in einem unverformten Zustand, da hier das Analogon der Kondensatorladung der Verformungsgrad der Feder ist. Beim Durchlaufen der Mittelstellung sind beide Federn teilweise zusammengedrückt, in der äußersten rechten Stellung ist die linke Feder unverformt und die rechte ist im Anfangsmoment auf die gleiche Weise zusammengedrückt wie die linke, was dem vollständigen Durchfluss entspricht Ladung von einem Kondensator zum anderen. Obwohl die Kugel normale harmonische Schwingungen um ihre Gleichgewichtsposition erfährt, wird die Verformung jeder Feder durch eine Funktion beschrieben, deren Mittelwert ungleich Null ist.

Im Gegensatz zu einem Schwingkreis mit einem Kondensator, bei dem es während der Schwingungen zu einer wiederholten halben Aufladung kommt, wird im betrachteten System der zunächst geladene Kondensator nicht vollständig aufgeladen. Zum Beispiel, wenn seine Ladung auf Null reduziert wird und dann wieder die gleiche Polarität annimmt. Ansonsten unterscheiden sich diese Schwingungen nicht von harmonischen Schwingungen in einer herkömmlichen Schaltung. Die Energie dieser Schwingungen bleibt erhalten, wenn natürlich der Widerstand der Spule und der Anschlussdrähte vernachlässigt werden kann.

Erklären Sie, warum aus einem Vergleich der Formeln (1) und (2) für mechanische und elektromagnetische Energien geschlossen wurde, dass das Analogon der Steifigkeit k und das Analogon der Masse die Induktivität ist und nicht umgekehrt.

Begründen Sie die Ableitung des Ausdrucks (4) für die Eigenfrequenz elektromagnetischer Schwingungen im Stromkreis in Analogie zu einem mechanischen Federoszillator.

Harmonische Schwingungen in der -Schaltung werden durch Amplitude, Frequenz, Periode, Schwingungsphase und Anfangsphase charakterisiert. Welche dieser Größen werden durch die Eigenschaften des Schwingkreises selbst bestimmt und welche hängen von der Art der Schwingungsanregung ab?

Beweisen Sie, dass die Durchschnittswerte der elektrischen und magnetischen Energien bei natürlichen Schwingungen im Stromkreis einander gleich sind und die Hälfte der gesamten elektromagnetischen Energie der Schwingungen ausmachen.

Wie wendet man die Gesetze quasistationärer Phänomene in einem Stromkreis an, um die Differentialgleichung (12) harmonischer Schwingungen im Stromkreis abzuleiten?

Welche Differentialgleichung erfüllt der Strom in einem LC-Kreis?

Leiten Sie eine Gleichung für die Abnahmegeschwindigkeit der Schwingungsenergie bei geringer Dämpfung auf die gleiche Weise her, wie es für einen mechanischen Oszillator mit Reibung proportional zur Geschwindigkeit durchgeführt wurde, und zeigen Sie, dass diese Abnahme für Zeitintervalle, die die Schwingungsperiode deutlich überschreiten, gemäß an auftritt Exponentialgesetz. Was bedeutet der hier verwendete Begriff „geringe Dämpfung“?

Zeigen Sie, dass die durch Formel (21) gegebene Funktion Gleichung (16) für alle Werte von und a erfüllt.

Betrachten Sie das in Abb. gezeigte mechanische System. 163 und finden Sie die Abhängigkeit von der Verformungszeit der linken Feder und der Geschwindigkeit des massiven Körpers.

Ein Stromkreis ohne Widerstand mit unvermeidlichen Verlusten. Bei dem oben betrachteten Problem war es trotz der nicht ganz gewöhnlichen Anfangsbedingungen für Ladungen an Kondensatoren möglich, gewöhnliche Gleichungen für elektrische Schaltkreise anzuwenden, da dort die Bedingungen für quasistationäre Prozesse erfüllt waren. Aber in der Schaltung, deren Diagramm in Abb. 164, mit formaler äußerer Ähnlichkeit zum Diagramm in Abb. 162 sind die quasistationären Bedingungen nicht erfüllt, wenn im Anfangsmoment ein Kondensator geladen ist und der zweite nicht.

Lassen Sie uns die Gründe genauer diskutieren, warum hier die Bedingungen der Quasistationarität verletzt werden. Unmittelbar nach Schließung

Reis. 164. Stromkreis, für den quasistationäre Bedingungen nicht erfüllt sind

Entscheidend ist, dass alle Vorgänge nur in miteinander verbundenen Kondensatoren ablaufen, da der Stromanstieg durch die Induktivität relativ langsam erfolgt und der Stromabzweig in die Spule zunächst vernachlässigt werden kann.

Beim Schließen des Schlüssels kommt es in einem Stromkreis aus Kondensatoren und den sie verbindenden Drähten zu schnellen gedämpften Schwingungen. Die Periode solcher Schwingungen ist sehr kurz, da die Induktivität der Anschlussdrähte gering ist. Durch diese Schwingungen kommt es zu einer Umverteilung der Ladung auf den Kondensatorplatten, woraufhin die beiden Kondensatoren als eins betrachtet werden können. Dies ist jedoch nicht im ersten Moment möglich, da mit der Umverteilung der Ladungen auch eine Umverteilung der Energie erfolgt, die zum Teil in Wärme umgewandelt wird.

Nach dem Abklingen der schnellen Schwingungen treten im System Schwingungen auf, wie in einem Stromkreis mit einem Kondensator, dessen Ladung im Anfangsmoment gleich der Anfangsladung des Kondensators ist. Voraussetzung für die Gültigkeit der obigen Überlegungen ist die Kleinheit der Induktivität der Anschlussdrähte im Vergleich zur Induktivität der Spule.

Wie bei dem betrachteten Problem ist es auch hier sinnvoll, eine mechanische Analogie zu finden. Wenn sich auf beiden Seiten eines massiven Körpers zwei den Kondensatoren entsprechende Federn befinden würden, dann müssten sie sich hier auf einer Seite davon befinden, damit die Schwingungen einer von ihnen auf die andere übertragen werden könnten, wenn der Körper stillsteht. Anstelle von zwei Federn können Sie auch eine nehmen, diese sollte sich jedoch nur im Anfangsmoment ungleichmäßig verformen.

Fassen wir die Feder in der Mitte und dehnen wir ihre linke Hälfte um eine bestimmte Strecke. Die zweite Hälfte der Feder bleibt in einem unverformten Zustand, sodass die Last im Anfangsmoment um eine Strecke und nach rechts verschoben wird ist in Ruhe. Lassen Sie dann die Feder los. Welche Eigenschaften ergeben sich aus der Tatsache, dass die Feder im Anfangsmoment ungleichmäßig verformt wird? denn wie man sich leicht vorstellen kann, ist die Steifigkeit der „Hälfte“ der Feder gleich: Wenn die Masse der Feder im Vergleich zur Masse der Kugel klein ist, beträgt die Frequenz der Eigenschwingungen der Feder als ausgedehntes System viel größer als die Schwingungsfrequenz der Kugel auf der Feder. Diese „schnellen“ Schwingungen werden in einer Zeit abklingen, die nur einen kleinen Bruchteil der Schwingungsperiode des Balls ausmacht. Nachdem die schnellen Schwingungen abgeschwächt sind, wird die Spannung in der Feder neu verteilt und die Verschiebung der Last bleibt praktisch gleich, da die Last in dieser Zeit keine Zeit hat, sich merklich zu bewegen. Die Verformung der Feder wird gleichmäßig und die Energie des Systems gleich

Somit wurde die Rolle schneller Schwingungen der Feder auf die Tatsache reduziert, dass die Energiereserve des Systems auf den Wert abnahm, der der gleichmäßigen Anfangsverformung der Feder entspricht. Es ist klar, dass sich die weiteren Vorgänge im System nicht vom Fall einer gleichmäßigen Anfangsverformung unterscheiden. Die Abhängigkeit der Verschiebung der Last von der Zeit wird durch die gleiche Formel (36) ausgedrückt.

Im betrachteten Beispiel wurde durch schnelle Schwingungen die Hälfte der ursprünglich zugeführten mechanischen Energie in innere Energie (Wärme) umgewandelt. Es ist klar, dass es möglich ist, jeden Bruchteil der anfänglichen mechanischen Energie in innere Energie umzuwandeln, indem man nicht die Hälfte, sondern einen beliebigen Teil der Feder einer anfänglichen Verformung aussetzt. In allen Fällen entspricht jedoch die Schwingungsenergie der Federbelastung der Energiereserve für die gleiche gleichmäßige Anfangsverformung der Feder.

In einem Stromkreis wird durch gedämpfte schnelle Schwingungen die Energie eines geladenen Kondensators teilweise in Form von Joule-Wärme in den Anschlussdrähten freigesetzt. Bei gleichen Kapazitäten entspricht dies der Hälfte der anfänglichen Energiereserve. Die zweite Hälfte verbleibt in Form von Energie relativ langsamer elektromagnetischer Schwingungen in einem Stromkreis bestehend aus einer Spule und zwei parallel geschalteten Kondensatoren C und

Daher ist in diesem System eine Idealisierung, bei der die Dissipation der Schwingungsenergie vernachlässigt wird, grundsätzlich inakzeptabel. Der Grund dafür ist, dass in einem ähnlichen mechanischen System schnelle Schwingungen möglich sind, ohne den Induktor oder massiven Körper zu beeinträchtigen.

Schwingkreis mit nichtlinearen Elementen. Bei der Untersuchung mechanischer Schwingungen haben wir festgestellt, dass Schwingungen nicht immer harmonisch sind. Harmonische Schwingungen sind eine charakteristische Eigenschaft lineare Systeme, in dem

Die Rückstellkraft ist proportional zur Abweichung von der Gleichgewichtslage und die potentielle Energie ist proportional zum Quadrat der Abweichung. Reale mechanische Systeme besitzen diese Eigenschaften in der Regel nicht und Schwingungen in ihnen können nur bei geringen Abweichungen von der Gleichgewichtslage als harmonisch angesehen werden.

Bei elektromagnetischen Schwingungen in einem Stromkreis könnte man den Eindruck gewinnen, dass es sich um ideale Systeme handelt, in denen die Schwingungen streng harmonisch sind. Dies gilt jedoch nur, solange die Kapazität des Kondensators und die Induktivität der Spule als konstant, also unabhängig von Ladung und Strom, betrachtet werden können. Ein Kondensator mit Dielektrikum und eine Spule mit Kern sind streng genommen nichtlineare Elemente. Wenn ein Kondensator mit einem Ferroelektrikum, also einem Stoff, gefüllt ist Permittivität da diese stark vom angelegten elektrischen Feld abhängt, kann die Kapazität des Kondensators nicht mehr als konstant angesehen werden. Ebenso hängt die Induktivität einer Spule mit ferromagnetischem Kern von der Stromstärke ab, da der Ferromagnet die Eigenschaft der magnetischen Sättigung besitzt.

Wenn in mechanischen Schwingsystemen die Masse in der Regel als konstant angesehen werden kann und Nichtlinearität nur aufgrund der Nichtlinearität der einwirkenden Kraft entsteht, kann in einem elektromagnetischen Schwingkreis Nichtlinearität sowohl aufgrund eines Kondensators (analog einer elastischen Feder) entstehen ) und aufgrund eines Induktors (Analogon der Masse).

Warum gilt die Idealisierung, bei der das System als konservativ gilt, nicht für einen Schwingkreis mit zwei parallelen Kondensatoren (Abb. 164)?

Warum führen schnelle Schwingungen zum Verlust der Schwingungsenergie im Schaltkreis in Abb. 164, trat in einer Schaltung mit zwei in Abb. 164 gezeigten Reihenkondensatoren nicht auf. 162?

Welche Gründe können zu nicht-sinusförmigen elektromagnetischen Schwingungen im Stromkreis führen?

ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN.
Freie und erzwungene elektrische Schwingungen.

Elektromagnetische Schwingungen sind miteinander verbundene Schwingungen elektrischer und magnetischer Felder.

Elektromagnetische Schwingungen treten in verschiedenen Stromkreisen auf. Dabei schwanken Ladungsmenge, Spannung, Stromstärke, elektrische Feldstärke, magnetische Feldinduktion und andere elektrodynamische Größen.

Freie elektromagnetische Schwingungen entstehen in einem elektromagnetischen System, nachdem es aus dem Gleichgewichtszustand gebracht wurde, beispielsweise durch Aufladen eines Kondensators oder durch Ändern des Stroms in einem Abschnitt des Stromkreises.

Dabei handelt es sich um gedämpfte Schwingungen, da die dem System zugeführte Energie für die Erwärmung und andere Prozesse aufgewendet wird.

Erzwungene elektromagnetische Schwingungen sind ungedämpfte Schwingungen in einem Stromkreis, die durch eine externe, sich periodisch ändernde sinusförmige EMF verursacht werden.

Elektromagnetische Schwingungen werden durch die gleichen Gesetze beschrieben wie mechanische, obwohl die physikalische Natur dieser Schwingungen völlig anders ist.

Elektrische Schwingungen - Sonderfall elektromagnetisch, wenn Schwingungen nur elektrischer Größen berücksichtigt werden. In diesem Fall spricht man von Wechselstrom, Spannung, Leistung usw.

SCHWINGUNGSKREIS

Ein Schwingkreis ist ein Stromkreis, der aus einem in Reihe geschalteten Kondensator mit der Kapazität C, einer Spule mit der Induktivität L und einem Widerstand mit dem Widerstandswert R besteht.

Der Zustand des stabilen Gleichgewichts des Schwingkreises ist durch die minimale Energie des elektrischen Feldes (der Kondensator ist nicht geladen) und des magnetischen Feldes (es fließt kein Strom durch die Spule) gekennzeichnet.

Größen, die die Eigenschaften des Systems selbst ausdrücken (Systemparameter): L und m, 1/C und k

Größen, die den Zustand des Systems charakterisieren:

Größen, die die Änderungsrate des Systemzustands ausdrücken: u = x"(t) Und i = q"(t).

EIGENSCHAFTEN ELEKTROMAGNETISCHER SCHWINGUNGEN

Es kann gezeigt werden, dass die Gleichung der freien Schwingungen für eine Ladung gilt q = q(t) Der Kondensator im Stromkreis hat die Form

Wo Q" ist die zweite Ableitung der Ladung nach der Zeit. Größe

ist die zyklische Frequenz. Dieselben Gleichungen beschreiben Schwankungen von Strom, Spannung und anderen elektrischen und magnetischen Größen.

Eine der Lösungen für Gleichung (1) ist die harmonische Funktion

Die Schwingungsdauer im Stromkreis ergibt sich aus der Formel (Thomson):

Die Größe φ = ώt + φ 0, die unter dem Sinus- oder Cosinus-Vorzeichen steht, ist die Schwingungsphase.

Die Phase bestimmt den Zustand des schwingenden Systems zu jedem Zeitpunkt t.

Der Strom im Stromkreis ist gleich der Ableitung der Ladung nach der Zeit, sie lässt sich ausdrücken

Um die Phasenverschiebung klarer auszudrücken, gehen wir vom Kosinus zum Sinus über

ELEKTRISCHER WECHSELSTROM

1. Harmonische EMF tritt beispielsweise in einem Rahmen auf, der sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit in einem gleichmäßigen Magnetfeld mit Induktion B dreht. Magnetischer Fluss F Durchstechen eines Rahmens mit einer Fläche S,

Dabei ist der Winkel zwischen der Rahmennormalen und dem magnetischen Induktionsvektor.

Vor dem Gesetz elektromagnetische Induktion Die durch Faraday induzierte EMK ist gleich

Wo ist die Änderungsrate des magnetischen Induktionsflusses?

Ein sich harmonisch ändernder magnetischer Fluss verursacht eine sinusförmige induzierte EMK

Wo ist der Amplitudenwert der induzierten EMK?

2. Wenn eine externe harmonische EMF-Quelle an den Stromkreis angeschlossen ist

dann entstehen darin erzwungene Schwingungen mit einer zyklischen Frequenz ώ, die mit der Frequenz der Quelle übereinstimmt.

Dabei führen erzwungene Schwingungen zu einer Ladung q, der Potentialdifferenz u, aktuelle Stärke ich und andere physikalische Größen. Dabei handelt es sich um ungedämpfte Schwingungen, da dem Stromkreis von der Quelle Energie zugeführt wird, die Verluste ausgleicht. Strom, Spannung und andere Größen, die sich in einem Stromkreis harmonisch ändern, werden als Variablen bezeichnet. Sie ändern offensichtlich ihre Größe und Richtung. Ströme und Spannungen, die sich nur in ihrer Größe ändern, werden als pulsierend bezeichnet.

In industriellen Wechselstromkreisen in Russland beträgt die akzeptierte Frequenz 50 Hz.

Zur Berechnung der Wärmemenge Q, die beim Durchgang von Wechselstrom durch einen Leiter mit aktivem Widerstand R freigesetzt wird, kann der maximale Leistungswert nicht herangezogen werden, da dieser nur zu bestimmten Zeitpunkten erreicht wird. Es ist notwendig, die durchschnittliche Leistung über den Zeitraum zu verwenden – das Verhältnis der Gesamtenergie W, die über den Zeitraum in den Stromkreis gelangt, zum Wert des Zeitraums:

Daher ist die während der Zeit T freigesetzte Wärmemenge:

Der Effektivwert I der Wechselstromstärke ist gleich der Stärke dieser Gleichstrom, der in einer Zeit gleich der Periode T die gleiche Wärmemenge abgibt wie Wechselstrom:

Daher der effektive aktuelle Wert

Ebenso der effektive Spannungswert

TRANSFORMATOR

Transformator- ein Gerät, das die Spannung praktisch ohne Energieverlust mehrmals erhöht oder verringert.

Der Transformator besteht aus einem aus einzelnen Platten zusammengesetzten Stahlkern, auf dem zwei Spulen mit Drahtwicklungen befestigt sind. Die Primärwicklung ist an eine Wechselspannungsquelle angeschlossen und Geräte, die Strom verbrauchen, sind an die Sekundärwicklung angeschlossen.

Größe

wird als Transformationsverhältnis bezeichnet. Für einen Abwärtstransformator ist K > 1, für einen Aufwärtstransformator K< 1.

Beispiel. Die Ladung auf den Platten des Kondensators des Schwingkreises ändert sich im Laufe der Zeit gemäß der Gleichung. Finden Sie die Periode und Frequenz der Schwingungen im Stromkreis, die zyklische Frequenz, die Amplitude der Ladungsschwingungen und die Amplitude der Stromschwingungen. Schreiben Sie die Gleichung i = i(t) auf, die die Abhängigkeit des Stroms von der Zeit ausdrückt.

Aus der Gleichung folgt, dass . Die Periode wird anhand der zyklischen Frequenzformel bestimmt

Schwingungsfrequenz

Die Abhängigkeit der Stromstärke von der Zeit hat die Form:

Aktuelle Amplitude.

Antwort: die Ladung schwingt mit einer Periode von 0,02 s und einer Frequenz von 50 Hz, was einer zyklischen Frequenz von 100 rad/s entspricht, die Amplitude der Stromschwingungen beträgt 510 3 A, der Strom variiert nach dem Gesetz:

ich=-5000 sin100t

Aufgaben und Tests zum Thema „Thema 10. „Elektromagnetische Schwingungen und Wellen“.

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Laden Sie den Kondensator über die Batterie auf und schließen Sie ihn an die Spule an. In der von uns erstellten Schaltung beginnen sofort elektromagnetische Schwingungen (Abb. 46). Der Entladestrom des Kondensators, der durch die Spule fließt, erzeugt um sie herum ein Magnetfeld. Das bedeutet, dass sich beim Entladen eines Kondensators die Energie seines elektrischen Feldes in die Energie des magnetischen Feldes der Spule umwandelt, genauso wie beim Schwingen eines Pendels oder einer Saite potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt wird.

Wenn sich der Kondensator entlädt, sinkt die Spannung an seinen Platten und der Strom im Stromkreis steigt. Wenn der Kondensator vollständig entladen ist, ist der Strom maximal (Stromamplitude). Aber auch nach dem Ende der Kondensatorentladung hört der Strom nicht auf – das abnehmende Magnetfeld der Spule hält die Bewegung der Ladungen aufrecht und sie beginnen sich wieder auf den Kondensatorplatten anzusammeln. In diesem Fall nimmt der Strom im Stromkreis ab und die Spannung am Kondensator steigt. Dieser Vorgang des umgekehrten Übergangs der Energie des Magnetfelds der Spule in die Energie des elektrischen Felds des Kondensators erinnert ein wenig an das, was passiert, wenn das Pendel, nachdem es den Mittelpunkt überschritten hat, nach oben steigt.

Wenn der Strom im Stromkreis stoppt und das Magnetfeld der Spule verschwindet, wird der Kondensator auf die maximale (Amplituden-)Spannung mit umgekehrter Polarität aufgeladen. Letzteres bedeutet, dass auf der Platte, wo zuvor positive Ladungen waren, nun negative Ladungen vorhanden sind und umgekehrt. Wenn daher die Entladung des Kondensators erneut beginnt (und dies unmittelbar nach der vollständigen Aufladung geschieht), fließt im Stromkreis ein Strom in die entgegengesetzte Richtung.

Der periodisch wiederholte Energieaustausch zwischen Kondensator und Spule stellt elektromagnetische Schwingungen im Stromkreis dar. Während dieser Schwingungen fließt im Stromkreis ein Wechselstrom (d. h. nicht nur die Größe, sondern auch die Richtung des Stroms ändert sich) und auf den Kondensator wirkt eine Wechselspannung (d. h. nicht nur die Spannungsgröße ändert sich, sondern auch die Polarität der Ladungen, die sich auf den Platten ansammeln). Eine Richtung der Stromspannung wird herkömmlicherweise als positiv und die entgegengesetzte Richtung als negativ bezeichnet.

Durch Beobachtung von Spannungs- oder Stromänderungen können Sie ein Diagramm der elektromagnetischen Schwingungen im Stromkreis erstellen (Abb. 46), so wie wir ein Diagramm der mechanischen Schwingungen eines Pendels erstellt haben (). In einem Diagramm werden oberhalb der horizontalen Achse positive Strom- oder Spannungswerte und unterhalb dieser Achse negative Ströme oder Spannungen aufgetragen. Die Hälfte der Periode, in der der Strom in positiver Richtung fließt, wird oft als positive Halbwelle des Stroms und die andere Hälfte als negative Halbwelle des Stroms bezeichnet. Wir können auch von positiver und negativer Halbwellenspannung sprechen.

Ich möchte noch einmal betonen, dass wir die Wörter „positiv“ und „negativ“ völlig bedingt verwenden, nur um zwei gegensätzliche Stromrichtungen zu unterscheiden.

Die uns bekannten elektromagnetischen Schwingungen werden freie oder natürliche Schwingungen genannt. Sie treten immer dann auf, wenn wir eine bestimmte Energiemenge auf den Stromkreis übertragen und es dann dem Kondensator und der Spule ermöglichen, diese Energie frei auszutauschen. Die Frequenz der freien Schwingung (also die Frequenz der Wechselspannung und des Wechselstroms im Stromkreis) hängt davon ab, wie schnell der Kondensator und die Spule Energie speichern und abgeben können. Diese wiederum hängt von der Induktivität Lk und der Kapazität Ck des Stromkreises ab, ebenso wie die Schwingungsfrequenz einer Saite von ihrer Masse und Elastizität abhängt. Je größer die Induktivität L der Spule ist, desto länger dauert es, in ihr ein Magnetfeld zu erzeugen, und desto länger kann dieses Magnetfeld den Strom im Stromkreis aufrechterhalten. Je größer die Kapazität C des Kondensators ist, desto länger dauert die Entladung und desto länger dauert das Wiederaufladen dieses Kondensators. Je größer also Lk und Ck des Stromkreises sind, desto langsamer treten die elektromagnetischen Schwingungen darin auf und desto niedriger ist ihre Frequenz. Die Abhängigkeit der Frequenz f o freier Schwingungen von L to und C to der Schaltung wird durch eine einfache Formel ausgedrückt, die eine der Grundformeln der Funktechnik ist:

Die Bedeutung dieser Formel ist äußerst einfach: Um die Frequenz der Eigenschwingungen f 0 zu erhöhen, müssen Sie die Induktivität L k oder die Kapazität C k des Stromkreises verringern; Um f 0 zu reduzieren, müssen Induktivität und Kapazität erhöht werden (Abbildung 47).

Aus der Formel für die Frequenz lassen sich leicht Berechnungsformeln ableiten (mit der Formel des Ohmschen Gesetzes haben wir das bereits gemacht), um einen der Schaltungsparameter Lk oder Ck bei einer gegebenen Frequenz f0 und zu bestimmen berühmter zweiter Parameter. Praktische Formeln für praktische Berechnungen finden Sie auf den Blättern 73, 74 und 75.