Gegeben seien zwei Punkte M(X 1 ,U 1) und N(X 2,j 2). Finden wir die Gleichung der Geraden, die durch diese Punkte verläuft.
Da diese Linie durch den Punkt geht M, dann hat seine Gleichung nach Formel (1.13) die Form
U – Y 1 = K(X–x 1),
Wo K– unbekannter Winkelkoeffizient.
Der Wert dieses Koeffizienten wird aus der Bedingung bestimmt, dass die gewünschte Gerade durch den Punkt verläuft N, was bedeutet, dass seine Koordinaten Gleichung (1.13) erfüllen.
Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),
Von hier aus können Sie die Steigung dieser Linie ermitteln:
,
Oder nach der Konvertierung
(1.14)
Formel (1.14) bestimmt Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte verläuft M(X 1, Y 1) und N(X 2, Y 2).
Im Sonderfall bei Punkten M(A, 0), N(0, B), A ¹ 0, B¹ 0, liegen auf den Koordinatenachsen, Gleichung (1.14) wird eine einfachere Form annehmen
Gleichung (1.15) angerufen Gleichung einer Geraden in Segmenten, Hier A Und B bezeichnen die durch eine gerade Linie auf den Achsen abgeschnittenen Segmente (Abbildung 1.6).
Abbildung 1.6
Beispiel 1.10. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Gerade, die durch die Punkte verläuft M(1, 2) und B(3, –1).
. Nach (1.14) hat die Gleichung der gesuchten Geraden die Form
2(Y – 2) = -3(X – 1).
Übertragung aller Mitglieder an linke Seite erhalten wir schließlich die erforderliche Gleichung
3X + 2Y – 7 = 0.
Beispiel 1.11. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Gerade, die durch einen Punkt verläuft M(2, 1) und der Schnittpunkt der Geraden X+ Y – 1 = 0, X – y+ 2 = 0.
. Wir werden die Koordinaten des Schnittpunkts der Linien ermitteln, indem wir diese Gleichungen gemeinsam lösen
Wenn wir diese Gleichungen Term für Term addieren, erhalten wir 2 X+ 1 = 0, daher . Wenn wir den gefundenen Wert in eine beliebige Gleichung einsetzen, ermitteln wir den Wert der Ordinate U:
Schreiben wir nun die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte (2, 1) verläuft und:
oder .
Daher oder –5( Y – 1) = X – 2.
Wir erhalten schließlich die Gleichung der gewünschten Geraden in der Form X + 5Y – 7 = 0.
Beispiel 1.12. Finden Sie die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte verläuft M(2.1) und N(2,3).
Mit Formel (1.14) erhalten wir die Gleichung
Es macht keinen Sinn, da der zweite Nenner Null ist. Aus den Bedingungen des Problems geht hervor, dass die Abszissen beider Punkte den gleichen Wert haben. Das bedeutet, dass die gewünschte Gerade parallel zur Achse verläuft OY und seine Gleichung lautet: X = 2.
Kommentar . Wenn sich beim Schreiben der Gleichung einer Geraden nach Formel (1.14) herausstellt, dass einer der Nenner gleich Null ist, kann die gewünschte Gleichung erhalten werden, indem der entsprechende Zähler mit Null gleichgesetzt wird.
Betrachten wir andere Möglichkeiten, eine Linie auf einer Ebene zu definieren.
1. Ein Vektor ungleich Null sei senkrecht zur gegebenen Linie L, und Punkt M 0(X 0, Y 0) liegt auf dieser Linie (Abbildung 1.7).
Abbildung 1.7
Bezeichnen wir M(X, Y) ein beliebiger Punkt auf einer Geraden L. Vektoren und 
Senkrecht. Unter Verwendung der Orthogonalitätsbedingungen dieser Vektoren erhalten wir oder A(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.
Wir haben die Gleichung einer Geraden erhalten, die durch einen Punkt verläuft M 0 steht senkrecht zum Vektor. Dieser Vektor heißt Normaler Vektor zu einer geraden Linie L. Die resultierende Gleichung kann umgeschrieben werden als
Oh + Wu + MIT= 0, wo MIT = –(AX 0 + Von 0), (1.16),
Wo A Und IN– Koordinaten des Normalenvektors.
Wir erhalten die allgemeine Geradengleichung in parametrischer Form.
2. Eine gerade Linie auf einer Ebene kann wie folgt definiert werden: Ein Vektor ungleich Null sei parallel zu der gegebenen geraden Linie L und Punkt M 0(X 0, Y 0) liegt auf dieser Linie. Nehmen wir noch einmal einen beliebigen Punkt M(X, y) auf einer Geraden (Abbildung 1.8).
Abbildung 1.8
Vektoren und 
kollinear.
Schreiben wir die Bedingung für die Kollinearität dieser Vektoren auf: , wo T– eine beliebige Zahl, die als Parameter bezeichnet wird. Schreiben wir diese Gleichheit in Koordinaten:
Diese Gleichungen heißen Parametrische Gleichungen Direkt. Lassen Sie uns den Parameter aus diesen Gleichungen ausschließen T:
Diese Gleichungen können ansonsten in der Form geschrieben werden
. (1.18)
Die resultierende Gleichung heißt Die kanonische Gleichung der Geraden. Der Vektor heißt Der Richtungsvektor ist gerade .
Kommentar . Es ist leicht zu erkennen, dass if der Normalenvektor zur Geraden ist L, dann kann sein Richtungsvektor der Vektor sein, da , d.h.
Beispiel 1.13. Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden, die durch einen Punkt verläuft M 0(1, 1) parallel zur Linie 3 X + 2U– 8 = 0.
Lösung . Der Vektor ist der Normalenvektor zu den gegebenen und gewünschten Geraden. Verwenden wir die Gleichung einer geraden Linie, die durch einen Punkt verläuft M 0 mit einem gegebenen Normalenvektor 3( X –1) + 2(U– 1) = 0 oder 3 X + 2u– 5 = 0. Wir haben die Gleichung der gewünschten Geraden erhalten.
Gegeben seien zwei Punkte M 1 (x 1,y 1) Und M 2 (x 2,y 2). Schreiben wir die Geradengleichung in der Form (5), wobei k noch unbekannter Koeffizient:
Da der Punkt M 2 gehört zu einer gegebenen Linie, dann erfüllen ihre Koordinaten Gleichung (5): 
. Wenn wir von hier aus ausdrücken und es in Gleichung (5) einsetzen, erhalten wir die erforderliche Gleichung:
Wenn 
Diese Gleichung kann in eine Form umgeschrieben werden, die sich leichter merken lässt:
(6)
Beispiel. Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden auf, die durch die Punkte M 1 (1,2) und M 2 (-2,3) verläuft.
Lösung. 
. Unter Verwendung der Proportionalität und Durchführung der erforderlichen Transformationen erhalten wir die allgemeine Gleichung einer Geraden:
Winkel zwischen zwei Geraden
Betrachten Sie zwei gerade Linien l 1 Und l 2:
l 1: , , Und
l 2: , ,
φ ist der Winkel zwischen ihnen (). Aus Abb. 4 ist klar: .
 |
Von hier 
, oder
Mit Formel (7) können Sie einen der Winkel zwischen Geraden bestimmen. Der zweite Winkel ist gleich.
Beispiel. Zwei Linien werden durch die Gleichungen y=2x+3 und y=-3x+2 gegeben. Finden Sie den Winkel zwischen diesen Linien.
Lösung. Aus den Gleichungen geht klar hervor, dass k 1 =2 und k 2 =-3. Wenn wir diese Werte in Formel (7) einsetzen, finden wir
. Somit ist der Winkel zwischen diesen Linien gleich.
Bedingungen für Parallelität und Rechtwinkligkeit zweier Geraden
Wenn gerade l 1 Und l 2 sind also parallel φ=0 Und tgφ=0. aus Formel (7) folgt das , woher k 2 =k 1. Voraussetzung für die Parallelität zweier Geraden ist also die Gleichheit ihrer Winkelkoeffizienten.
Wenn gerade l 1 Und l 2 stehen also senkrecht φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . 
. Die Bedingung für die Rechtwinkligkeit zweier Geraden ist also, dass ihre Winkelkoeffizienten umgekehrt groß und entgegengesetzt im Vorzeichen sind.
Abstand vom Punkt zur Linie
Satz. Wenn ein Punkt M(x 0, y 0) gegeben ist, dann wird der Abstand zur Geraden Ax + Bу + C = 0 bestimmt als
Nachweisen. Der Punkt M 1 (x 1, y 1) sei die Basis einer Senkrechten, die vom Punkt M zu einer gegebenen Geraden fällt. Dann ist der Abstand zwischen den Punkten M und M 1:
Die Koordinaten x 1 und y 1 können durch Lösen des Gleichungssystems ermittelt werden:
Die zweite Gleichung des Systems ist die Gleichung der durchlaufenden Geraden angegebenen Punkt M 0 steht senkrecht auf einer gegebenen Geraden.
Wenn wir die erste Gleichung des Systems in die Form umwandeln:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
dann erhalten wir beim Lösen:
Wenn wir diese Ausdrücke in Gleichung (1) einsetzen, finden wir:
Der Satz ist bewiesen.
Beispiel. Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Linien: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
k 1 = -3; k 2 = 2 tanj= ; j = p/4.
Beispiel. Zeigen Sie, dass die Geraden 3x – 5y + 7 = 0 und 10x + 6y – 3 = 0 senkrecht zueinander stehen.
Wir finden: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, daher stehen die Geraden senkrecht.
Beispiel. Gegeben sind die Eckpunkte des Dreiecks A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Finden Sie die Gleichung der Höhe, die vom Scheitelpunkt C aus gezogen wird.
Wir finden die Gleichung der Seite AB: ; 4x = 6y – 6;
2x – 3y + 3 = 0;
Die erforderliche Höhengleichung hat die Form: Ax + By + C = 0 oder y = kx + b.
k= . Dann ist y = . Weil Höhe geht durch Punkt C, dann erfüllen seine Koordinaten diese Gleichung: woraus b = 17. Gesamt: .
Antwort: 3x + 2y – 34 = 0.
Der Abstand von einem Punkt zu einer Linie wird durch die Länge der Senkrechten bestimmt, die vom Punkt zur Linie gezogen wird.
Wenn die Linie parallel zur Projektionsebene ist (h | | P 1), um dann den Abstand vom Punkt zu bestimmen A zu einer geraden Linie H es ist notwendig, die Senkrechte vom Punkt aus abzusenken A zur Horizontalen H.
Lassen Sie uns mehr darüber nachdenken komplexes Beispiel, wenn die Gerade dauert allgemeine Stellung. Lassen Sie es notwendig sein, die Entfernung von einem Punkt zu bestimmen M zu einer geraden Linie A allgemeine Stellung.
Bestimmungsaufgabe Abstände zwischen parallelen Linien wird ähnlich wie das vorherige gelöst. Ein Punkt wird auf einer Linie genommen und von dort aus wird eine Senkrechte auf eine andere Linie gezogen. Die Länge einer Senkrechten ist gleich dem Abstand zwischen parallelen Linien.
Kurve zweiter Ordnung wird eine Linie genannt, die durch eine Gleichung zweiten Grades relativ zum Strom definiert wird Kartesische Koordinaten. Im allgemeinen Fall ist Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,
wobei A, B, C, D, E, F – reelle Zahlen und mindestens eine der Zahlen A 2 +B 2 +C 2 ≠0.
Kreis
Kreismitte– Dies ist der geometrische Ort der Punkte in der Ebene, die von einem Punkt in der Ebene C(a,b) gleich weit entfernt sind.
Der Kreis ergibt sich aus der folgenden Gleichung:
Dabei sind x,y die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf dem Kreis und R der Radius des Kreises.
Vorzeichen der Kreisgleichung
1. Der Term mit x, y fehlt
2. Die Koeffizienten für x 2 und y 2 sind gleich
Ellipse
Ellipse wird als geometrischer Ort von Punkten in einer Ebene bezeichnet, deren Summe der Abstände von jeweils zwei gegebenen Punkten dieser Ebene als Brennpunkte (ein konstanter Wert) bezeichnet wird.
Die kanonische Gleichung der Ellipse:
X und y gehören zur Ellipse.
a – große Halbachse der Ellipse
b – kleine Halbachse der Ellipse
Die Ellipse hat 2 Symmetrieachsen OX und OU. Die Symmetrieachsen einer Ellipse sind ihre Achsen, ihr Schnittpunkt ist der Mittelpunkt der Ellipse. Die Achse, auf der sich die Brennpunkte befinden, wird aufgerufen Brennachse. Der Schnittpunkt der Ellipse mit den Achsen ist der Scheitelpunkt der Ellipse.
Kompressions-(Spannungs-)Verhältnis: ε = s/a– Exzentrizität (charakterisiert die Form der Ellipse), je kleiner sie ist, desto weniger dehnt sich die Ellipse entlang der Brennachse aus.
Wenn die Mittelpunkte der Ellipse nicht im Mittelpunkt C(α, β) liegen
Hyperbel
Hyperbel heißt der geometrische Ort von Punkten in einer Ebene, der Absolutwert der Abstandsdifferenz, von denen jeder von zwei gegebenen Punkten dieser Ebene, Brennpunkten genannt, ein konstanter Wert ist, der von Null verschieden ist.
Kanonische Hyperbelgleichung
Eine Hyperbel hat zwei Symmetrieachsen:
a – reale Halbachse der Symmetrie
b – imaginäre Halbachse der Symmetrie
Asymptoten einer Hyperbel:
Parabel
Parabel ist der Ort der Punkte in der Ebene, die von einem gegebenen Punkt F, genannt Fokus, und einer gegebenen Linie, genannt Leitlinie, gleich weit entfernt sind.
Die kanonische Gleichung einer Parabel:
У 2 =2ðх, wobei ð der Abstand vom Fokus zur Leitlinie (Parabelparameter) ist
Wenn der Scheitelpunkt der Parabel C (α, β) ist, dann ist die Gleichung der Parabel (y-β) 2 = 2р(x-α)
Nimmt man die Brennachse als Ordinatenachse, dann hat die Parabelgleichung die Form: x 2 =2qу
Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte verläuft. Im Artikel" " Ich habe Ihnen versprochen, den zweiten Weg zur Lösung der vorgestellten Probleme der Ermittlung der Ableitung zu betrachten, wenn ein Graph einer Funktion und eine Tangente an diesen Graphen gegeben sind. Wir werden diese Methode in besprechen , verpassen Sie es nicht! Warum im nächsten?
Tatsache ist, dass dort die Formel für die Gleichung einer Geraden verwendet wird. Natürlich könnten wir diese Formel einfach zeigen und Ihnen raten, sie zu lernen. Aber es ist besser zu erklären, woher es kommt (wie es abgeleitet wird). Das ist notwendig! Wenn Sie es vergessen, können Sie es schnell wiederherstellenwird nicht schwierig sein. Im Folgenden wird alles im Detail beschrieben. Das haben wir also Koordinatenebene Es gibt zwei Punkte A(x 1;y 1) und B(x 2;y 2) wird eine Gerade durch die angegebenen Punkte gezogen: 
Hier ist die direkte Formel selbst:
*Das heißt, wenn wir bestimmte Koordinaten von Punkten ersetzen, erhalten wir eine Gleichung der Form y=kx+b.
**Wenn Sie sich diese Formel einfach „auswendig lernen“, besteht eine hohe Wahrscheinlichkeit, dass Sie mit den Indizes verwechselt werden X. Darüber hinaus können Indizes auf unterschiedliche Weise bezeichnet werden, zum Beispiel:
Deshalb ist es wichtig, die Bedeutung zu verstehen.
Nun die Herleitung dieser Formel. Es ist ganz einfach!
Die Dreiecke ABE und ACF ähneln sich im spitzen Winkel (das erste Zeichen der Ähnlichkeit). rechtwinklige Dreiecke). Daraus folgt, dass die Verhältnisse der entsprechenden Elemente gleich sind, das heißt:
Jetzt drücken wir diese Segmente einfach durch die Differenz der Koordinaten der Punkte aus:
Natürlich entsteht kein Fehler, wenn Sie die Beziehungen der Elemente in einer anderen Reihenfolge schreiben (Hauptsache, die Konsistenz bleibt erhalten):
Das Ergebnis wird die gleiche Geradengleichung sein. Das ist alles!
Das heißt, egal wie die Punkte selbst (und ihre Koordinaten) bezeichnet werden, wenn Sie diese Formel verstehen, werden Sie immer die Gleichung einer geraden Linie finden.
Die Formel kann mithilfe der Eigenschaften von Vektoren abgeleitet werden, das Ableitungsprinzip bleibt jedoch dasselbe, da es sich um die Proportionalität ihrer Koordinaten handelt. In diesem Fall funktioniert die gleiche Ähnlichkeit rechtwinkliger Dreiecke. Meiner Meinung nach ist die oben beschriebene Schlussfolgerung klarer)).
Ausgabe mit Vektorkoordinaten anzeigen >>>
Auf der Koordinatenebene soll eine Gerade konstruiert werden, die durch zwei gegebene Punkte A(x 1;y 1) und B(x 2;y 2) verläuft. Markieren wir einen beliebigen Punkt C auf der Geraden mit Koordinaten ( X; j). Wir bezeichnen auch zwei Vektoren:
Es ist bekannt, dass für Vektoren, die auf parallelen Linien (oder auf derselben Linie) liegen, ihre entsprechenden Koordinaten proportional sind, das heißt:
— Wir schreiben die Gleichheit der Verhältnisse der entsprechenden Koordinaten auf:
Schauen wir uns ein Beispiel an:
Finden Sie die Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte mit den Koordinaten (2;5) und (7:3) verläuft.
Sie müssen nicht einmal die gerade Linie selbst erstellen. Wir wenden die Formel an:
Es ist wichtig, dass Sie bei der Erstellung des Verhältnisses die Zusammenhänge verstehen. Sie können nichts falsch machen, wenn Sie schreiben:
Antwort: y=-2/5x+29/5 go y=-0,4x+5,8
Um sicherzustellen, dass die resultierende Gleichung korrekt gefunden wird, überprüfen Sie unbedingt die Koordinaten der Daten in der Bedingung der darin enthaltenen Punkte. Die Gleichungen sollten korrekt sein.
Das ist alles. Ich hoffe, das Material war für Sie nützlich.
Beste Grüße, Alexander.
P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir in den sozialen Netzwerken von der Seite erzählen würden.
Lassen Sie die Linie durch die Punkte M 1 (x 1; y 1) und M 2 (x 2; y 2) verlaufen. Die Gleichung einer Geraden, die durch den Punkt M 1 verläuft, hat die Form y-y 1 = k (x - x 1), (10.6)
Wo k - noch unbekannter Koeffizient.
Da die Gerade durch den Punkt M 2 (x 2 y 2) verläuft, müssen die Koordinaten dieses Punktes Gleichung (10.6) erfüllen: y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).
Von hier aus finden wir den gefundenen Wert ersetzen k
in Gleichung (10.6) erhalten wir die Gleichung einer Geraden, die durch die Punkte M 1 und M 2 verläuft: 
Es wird angenommen, dass in dieser Gleichung x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
Wenn x 1 = x 2, dann ist die Gerade, die durch die Punkte M 1 (x 1,y I) und M 2 (x 2,y 2) verläuft, parallel zur Ordinatenachse. Seine Gleichung lautet x = x 1 .
Wenn y 2 = y I, dann kann die Geradengleichung als y = y 1 geschrieben werden, die Gerade M 1 M 2 verläuft parallel zur Abszissenachse.
Gleichung einer Geraden in Segmenten
Die Gerade schneide die Ox-Achse im Punkt M 1 (a;0) und die Oy-Achse im Punkt M 2 (0;b). Die Gleichung wird die Form annehmen: 
diese. 
. Diese Gleichung heißt Gleichung einer Geraden in Segmenten, weil Die Zahlen a und b geben an, welche Segmente die Linie auf den Koordinatenachsen abschneidet.
Gleichung einer Geraden, die senkrecht zu einem gegebenen Vektor durch einen gegebenen Punkt verläuft
Finden wir die Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt Mo (x O; y o) senkrecht zu einem gegebenen Vektor ungleich Null n = (A; B) verläuft.
Nehmen wir einen beliebigen Punkt M(x; y) auf der Geraden und betrachten den Vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (siehe Abb. 1). Da die Vektoren n und M o M senkrecht zueinander stehen, ist ihr Skalarprodukt gleich Null: das heißt
A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)
Gleichung (10.8) wird aufgerufen Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einem gegebenen Vektor verläuft .
Vektor n= (A; B), senkrecht zur Linie, heißt normal Normalenvektor dieser Geraden .
Gleichung (10.8) kann umgeschrieben werden als Ah + Wu + C = 0 , (10.9)
wobei A und B die Koordinaten des Normalenvektors sind, C = -Ax o - Vu o der freie Term ist. Gleichung (10.9) ist die allgemeine Gleichung der Geraden(siehe Abb. 2).
Abb.1 Abb.2
Kanonische Gleichungen der Linie
,
Wo 
- Koordinaten des Punktes, durch den die Linie verläuft, und 
- Richtungsvektor.
Kurven zweiter Ordnung Kreis
Ein Kreis ist die Menge aller Punkte der Ebene, die von einem bestimmten Punkt, der als Mittelpunkt bezeichnet wird, den gleichen Abstand haben.
Kanonische Gleichung eines Kreises mit Radius
R an einem Punkt zentriert 
:
Insbesondere wenn der Mittelpunkt des Pfahls mit dem Koordinatenursprung übereinstimmt, sieht die Gleichung wie folgt aus: 
Ellipse
Eine Ellipse ist eine Menge von Punkten auf einer Ebene, deren Summe die Abstände von jedem Punkt zu zwei gegebenen Punkten ist
Und 
, die Brennpunkte genannt werden, ist eine konstante Größe 
, größer als der Abstand zwischen den Brennpunkten 
.
Die kanonische Gleichung einer Ellipse, deren Brennpunkte auf der Ox-Achse liegen und deren Koordinatenursprung in der Mitte zwischen den Brennpunkten liegt, hat die Form 
G 
de A Länge der großen Halbachse; B – Länge der kleinen Halbachse (Abb. 2).
Eigenschaften einer Geraden in der euklidischen Geometrie.
Durch jeden Punkt können unendlich viele Geraden gezogen werden.
Durch zwei beliebige nicht zusammenfallende Punkte kann eine einzelne gerade Linie gezogen werden.
Zwei divergierende Linien in einer Ebene schneiden sich entweder in einem Punkt oder sind es
parallel (folgt aus dem vorherigen).
Im dreidimensionalen Raum gibt es drei Möglichkeiten relative Position zwei Geraden:
- Linien schneiden sich;
- Linien sind parallel;
- Geraden schneiden sich.
Gerade Linie— algebraische Kurve erster Ordnung: in Kartesisches System Koordinaten gerade Linie
ist in der Ebene durch eine Gleichung ersten Grades (lineare Gleichung) gegeben.
Allgemeine Gleichung einer Geraden.
Definition. Jede gerade Linie in der Ebene kann durch eine Gleichung erster Ordnung angegeben werden
Axt + Wu + C = 0,
und konstant A, B nicht gleichzeitig Null sind. Diese Gleichung erster Ordnung heißt allgemein
Gleichung einer Geraden. Abhängig von den Werten der Konstanten A, B Und MIT Folgende Sonderfälle sind möglich:
. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- Eine Gerade geht durch den Ursprung
. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- Gerade parallel zur Achse Oh
. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- Gerade parallel zur Achse Oh
. B = C = 0, A ≠0- Die Gerade fällt mit der Achse zusammen Oh
. A = C = 0, B ≠0- Die Gerade fällt mit der Achse zusammen Oh
Die Gleichung einer Geraden lässt sich darstellen in in verschiedenen Formen je nach gegebenem
Anfangsbedingungen.
Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einem Normalenvektor.
Definition. In einem kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem ein Vektor mit den Komponenten (A, B)
senkrecht zu der durch die Gleichung gegebenen Geraden
Axt + Wu + C = 0.
Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer Geraden, die durch einen Punkt verläuft A(1, 2) senkrecht zum Vektor (3, -1).
Lösung. Mit A = 3 und B = -1 stellen wir die Gleichung der Geraden auf: 3x - y + C = 0. Um den Koeffizienten C zu finden
Ersetzen wir die Koordinaten des gegebenen Punktes A in den resultierenden Ausdruck. Wir erhalten also: 3 - 2 + C = 0
C = -1. Gesamt: die erforderliche Gleichung: 3x - y - 1 = 0.
Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte verläuft.
Gegeben seien zwei Punkte im Raum M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Und M2 (x 2, y 2, z 2), Dann Gleichung einer Geraden,
durch diese Punkte gehen:
Wenn einer der Nenner Null ist, sollte der entsprechende Zähler gleich Null gesetzt werden. An
Ebene, die Gleichung der oben geschriebenen Geraden wird vereinfacht:
Wenn x 1 ≠ x 2 Und x = x 1, Wenn x 1 = x 2 .
Fraktion = k angerufen Neigung direkt.
Beispiel. Finden Sie die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte A(1, 2) und B(3, 4) verläuft.
Lösung. Wenn wir die oben geschriebene Formel anwenden, erhalten wir:
Gleichung einer Geraden unter Verwendung eines Punktes und einer Steigung.
Wenn die allgemeine Gleichung der Linie Axt + Wu + C = 0 führen zu:
und benennen 
, dann heißt die resultierende Gleichung
Gleichung einer Geraden mit Steigung k.
Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einem Richtungsvektor.
In Analogie zum Punkt, der die Gleichung einer Geraden durch den Normalenvektor betrachtet, können Sie die Aufgabe eingeben
eine Gerade durch einen Punkt und ein Richtungsvektor einer Geraden.
Definition. Jeder Vektor ungleich Null (α 1 , α 2), deren Komponenten die Bedingung erfüllen
Aα 1 + Bα 2 = 0 angerufen Richtungsvektor einer Geraden.
Axt + Wu + C = 0.
Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer Geraden mit einem Richtungsvektor (1, -1), die durch Punkt A(1, 2) verläuft.
Lösung. Wir suchen nach der Gleichung der gewünschten Geraden in der Form: Ax + By + C = 0. Laut Definition ist
Koeffizienten müssen die folgenden Bedingungen erfüllen:
1 * A + (-1) * B = 0, d.h. A = B.
Dann hat die Geradengleichung die Form: Ax + Ay + C = 0, oder x + y + C / A = 0.
bei x = 1, y = 2 wir bekommen C/A = -3, d.h. erforderliche Gleichung:
x + y - 3 = 0
Gleichung einer Geraden in Segmenten.
Wenn in der allgemeinen Gleichung der Geraden Ах + Ву + С = 0 С≠0, dann erhalten wir durch Division durch -С:
oder wo
Die geometrische Bedeutung der Koeffizienten besteht darin, dass der Koeffizient a die Koordinate des Schnittpunkts ist
gerade mit Achse Oh, A B- Koordinate des Schnittpunkts der Linie mit der Achse Oh.
Beispiel. Die allgemeine Gleichung einer Geraden ist gegeben x - y + 1 = 0. Finden Sie die Gleichung dieser Geraden in Segmenten.
C = 1, , a = -1, b = 1.
Normalgleichung einer Geraden.
Wenn beide Seiten der Gleichung Axt + Wu + C = 0 durch Zahl dividieren 
was heißt
Normalisierungsfaktor, dann bekommen wir
xcosφ + ysinφ - p = 0 -Normalgleichung einer Geraden.
Das Vorzeichen ± des Normierungsfaktors muss so gewählt werden μ*C< 0.
R- die Länge der Senkrechten, die vom Ursprung zur Geraden fällt,
A φ - der Winkel, den diese Senkrechte mit der positiven Richtung der Achse bildet Oh.
Beispiel. Die allgemeine Gleichung der Geraden ist gegeben 12x - 5y - 65 = 0. Zum Schreiben erforderlich verschiedene Arten Gleichungen
diese gerade Linie.
Die Gleichung dieser Geraden in Segmenten:
Die Gleichung dieser Geraden mit der Steigung: (durch 5 dividieren)
Gleichung einer Geraden:
cos φ = 12/13; Sünde φ= -5/13; p = 5.
Es ist zu beachten, dass nicht jede Gerade durch eine Gleichung in Segmenten dargestellt werden kann, zum Beispiel Geraden,
parallel zu den Achsen oder durch den Ursprung verlaufend.
Der Winkel zwischen geraden Linien in einer Ebene.
Definition. Wenn zwei Zeilen angegeben sind y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, dann der spitze Winkel zwischen diesen Linien
wird definiert als
Zwei Geraden sind parallel, wenn k 1 = k 2. Zwei Linien stehen senkrecht zueinander
Wenn k 1 = -1/ k 2 .
Satz.
Direkt Axt + Wu + C = 0 Und A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 parallel, wenn die Koeffizienten proportional sind
A 1 = λA, B 1 = λB. Wenn auch С 1 = λС, dann fallen die Linien zusammen. Koordinaten des Schnittpunkts zweier Geraden
werden als Lösung des Gleichungssystems dieser Geraden gefunden.
Die Gleichung einer Geraden, die senkrecht zu einer gegebenen Geraden durch einen gegebenen Punkt verläuft.
Definition. Linie, die durch einen Punkt geht M 1 (x 1, y 1) und senkrecht zur Linie y = kx + b
dargestellt durch die Gleichung:
Abstand von einem Punkt zu einer Linie.
Satz. Wenn ein Punkt gegeben wird M(x 0, y 0), dann der Abstand zur Geraden Axt + Wu + C = 0 definiert als:
Nachweisen. Lassen Sie den Punkt M 1 (x 1, y 1)- die Basis einer Senkrechten, die von einem Punkt aus fällt M für eine gegebene
direkt. Dann der Abstand zwischen Punkten M Und M 1:
(1)
Koordinaten x 1 Und am 1 kann als Lösung des Gleichungssystems gefunden werden:
Die zweite Gleichung des Systems ist die Gleichung einer Geraden, die senkrecht durch einen gegebenen Punkt M 0 verläuft
gegebene gerade Linie. Wenn wir die erste Gleichung des Systems in die Form umwandeln:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
dann erhalten wir beim Lösen:
Wenn wir diese Ausdrücke in Gleichung (1) einsetzen, finden wir:
Der Satz ist bewiesen.
