भिन्नात्मक संख्याओं को कैसे जोड़ें। विभिन्न हरों के साथ बीजीय अंशों का जोड़ और घटाव (मूल नियम, सरलतम मामले)

अंश और हर का पता लगाएं।एक भिन्न में दो संख्याएँ होती हैं: रेखा के ऊपर की संख्या को अंश कहा जाता है, और रेखा के नीचे की संख्या को हर कहा जाता है। भाजक उन भागों की कुल संख्या को दर्शाता है जिनमें एक पूर्ण विभाजित है, और अंश ऐसे भागों की संख्या है जिन पर विचार किया जा रहा है।

उदाहरण के लिए, भिन्न ½ में अंश 1 है और हर 2 है।

भाजक ज्ञात कीजिए।यदि दो या दो से अधिक भिन्नों में एक समान हर होता है, तो ऐसे भिन्नों की रेखा के नीचे समान संख्या होती है, अर्थात इस स्थिति में, कुछ पूर्ण को समान भागों में विभाजित किया जाता है। सामान्य हर के साथ भिन्नों को जोड़ना बहुत आसान है, क्योंकि कुल भिन्न का हर जोड़ा भिन्नों के समान ही होगा। उदाहरण के लिए:

भिन्न 3/5 और 2/5 में एक सार्व भाजक 5 है।
भिन्न 3/8, 5/8, 17/8 में 8 का एक सामान्य भाजक है।

अंकगणित को परिभाषित करें।एक सामान्य हर के साथ भिन्न जोड़ने के लिए, उनके अंश जोड़ें, और परिणाम को जोड़ने के लिए अंशों के हर पर लिखें।

भिन्न 3/5 और 2/5 के अंश 3 और 2 हैं।
भिन्न 3/8, 5/8, 17/8 के अंश 3, 5, 17 हैं।

अंशों को जोड़ें।समस्या 3/5 + 2/5 के लिए, अंश 3 + 2 = 5 जोड़ें। समस्या 3/8 + 5/8 + 17/8 के लिए, अंश 3 + 5 + 17 = 25 जोड़ें।

कुल अंश लिखिए।याद रखें कि जब आप एक सामान्य हर के साथ भिन्न जोड़ते हैं, तो यह अपरिवर्तित रहता है - केवल अंश जोड़े जाते हैं।

3/5 + 2/5 = 5/5
3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8

यदि आवश्यक हो तो भिन्न को परिवर्तित करें।कभी-कभी एक भिन्न को एक साधारण के बजाय एक पूर्णांक के रूप में लिखा जा सकता है, या दशमलव... उदाहरण के लिए, 5/5 को 1 में बदलना आसान है, क्योंकि हर के बराबर अंश वाली कोई भी भिन्न 1 है। कल्पना कीजिए कि एक पाई को तीन टुकड़ों में काटा गया है। अगर आप तीनों पीस खाएंगे तो पूरी (एक) पाई खाएंगे।

किसी भी भिन्न को दशमलव में बदला जा सकता है; ऐसा करने के लिए, अंश को हर से विभाजित करें। उदाहरण के लिए, भिन्न 5/8 को इस प्रकार लिखा जा सकता है: 5 8 = 0.625।

यदि संभव हो तो भिन्न को सरल कीजिए।सरलीकृत भिन्न वह भिन्न होती है जिसके अंश और हर में सामान्य गुणनखंड नहीं होते हैं।

उदाहरण के लिए, 3/6 पर विचार करें। यहाँ, अंश और हर दोनों का एक उभयनिष्ठ भाजक 3 के बराबर है, अर्थात अंश और हर 3 से पूरी तरह से विभाज्य हैं। इसलिए, भिन्न 3/6 को इस प्रकार लिखा जा सकता है: 3 3/6 ÷ 3 = आधा

यदि आवश्यक हो, तो अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या (मिश्रित संख्या) में परिवर्तित करें।पास होना गलत अंशअंश हर से बड़ा है, उदाहरण के लिए, 25/8 (एक सही अंश में हर से कम अंश होता है)। आप एक अनियमित भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदल सकते हैं, जिसमें एक पूर्णांक भाग (अर्थात, एक पूर्णांक) और एक भिन्नात्मक भाग (अर्थात, एक नियमित भिन्न) होता है। एक अनुचित भिन्न, जैसे 25/8, को मिश्रित संख्या में बदलने के लिए, इन चरणों का पालन करें:

अनुचित भिन्न के अंश को उसके हर से विभाजित करें; अपूर्ण भागफल (पूरा उत्तर) लिखिए। हमारे उदाहरण में: 25 ÷ 8 = 3 जमा कुछ शेष। वी यह मामलापूरा उत्तर मिश्रित संख्या का पूरा भाग है।
शेष का पता लगाएं। हमारे उदाहरण में: ८ x ३ = २४; परिणाम को मूल अंश से घटाएं: 25 - 24 = 1, यानी शेषफल 1 है। इस स्थिति में, शेष मिश्रित संख्या के भिन्नात्मक भाग का अंश है।
मिश्रित भिन्न लिखिए। हर नहीं बदलता है (अर्थात, यह अनुचित भिन्न के हर के बराबर है), इसलिए 25/8 = 3 1/8।

एक विद्यार्थी के लिए कुछ सबसे कठिन को समझना है: विभिन्न क्रियाएंसाधारण अंशों के साथ। यह इस तथ्य के कारण है कि बच्चों के लिए अमूर्त रूप से सोचना अभी भी मुश्किल है, और भिन्न, वास्तव में, उनके लिए बिल्कुल वैसा ही दिखता है। इसलिए, सामग्री प्रस्तुत करने में, शिक्षक अक्सर उपमाओं का सहारा लेते हैं और अपनी उंगलियों पर अंशों के घटाव और जोड़ को शाब्दिक रूप से समझाते हैं। हालांकि एक भी स्कूल गणित का पाठ नियमों और परिभाषाओं के बिना नहीं चल सकता।

बुनियादी अवधारणाओं

किसी के साथ आगे बढ़ने से पहले, कुछ सीखने की सलाह दी जाती है बुनियादी परिभाषाएंऔर नियम। प्रारंभ में, यह समझना महत्वपूर्ण है कि भिन्न क्या है। इसका अर्थ है एक संख्या जो एक के एक या अधिक भाग होती है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक पाव को 8 टुकड़ों में काटते हैं और उसके 3 स्लाइस एक प्लेट में रखते हैं, तो 3/8 अंश होगा। इसके अलावा, इस लेखन में यह एक साधारण अंश होगा, जहां रेखा के ऊपर की संख्या अंश है, और इसके नीचे हर है। लेकिन अगर आप इसे 0.375 के रूप में लिखते हैं, तो यह पहले से ही एक दशमलव भिन्न होगा।

इसके अलावा, साधारण अंशों को नियमित, गलत और मिश्रित में विभाजित किया गया है। पहले में वे सभी शामिल हैं जिनका अंश हर से कम है। यदि, इसके विपरीत, हर अंश से कम है, तो यह पहले से ही एक गलत भिन्न होगा। यदि सही के सामने एक पूर्णांक है, तो वे मिश्रित संख्याओं के बारे में बात करते हैं। अत: 1/2 सही है, लेकिन 7/2 सही नहीं है। और यदि आप इसे इस रूप में लिखते हैं: 3 1/2, तो यह मिश्रित हो जाएगा।

भिन्नों का योग क्या है, यह समझना आसान बनाने के लिए, और इसे आसानी से करने के लिए, निम्नलिखित में उनके सार को याद रखना भी महत्वपूर्ण है। यदि अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा किया जाए, तो भिन्न नहीं बदलेगा। यह वह गुण है जो आपको साधारण और अन्य भिन्नों के साथ सरलतम क्रियाएं करने की अनुमति देता है। वास्तव में, इसका मतलब है कि १/१५ और ३/४५ अनिवार्य रूप से एक ही संख्या है।

समान हर के साथ भिन्न जोड़ना

यह कदम आमतौर पर सीधा होता है। इस मामले में भिन्नों को जोड़ना पूर्णांकों के साथ एक समान क्रिया के समान है। भाजक अपरिवर्तित रहता है, और अंशों को केवल एक साथ जोड़ा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि आपको भिन्नों 2/7 और 3/7 को जोड़ना है, तो नोटबुक में स्कूल की समस्या का समाधान इस प्रकार होगा:

2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7.

इसके अलावा, भिन्नों के इस जोड़ को एक सरल उदाहरण से समझाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक नियमित सेब लें और इसे 8 टुकड़ों में काट लें। 3 भागों को अलग-अलग बिछाएं, और फिर उनमें 2 और डालें। नतीजतन, एक पूरे सेब का 5/8 भाग कप में रहेगा। अंकगणितीय समस्या स्वयं नीचे दर्शाए अनुसार लिखी गई है:

3/8 + 2/8 = (3+2)/8 = 5/8.

लेकिन अक्सर अधिक कठिन कार्य होते हैं जहाँ आपको एक साथ जोड़ने की आवश्यकता होती है, उदाहरण के लिए, 5/9 और 3/5। यह वह जगह है जहाँ भिन्न के साथ संचालन में पहली कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं। आखिरकार, ऐसी संख्याओं को जोड़ने के लिए अतिरिक्त ज्ञान की आवश्यकता होगी। अब आपको उनकी मुख्य संपत्ति को पूरी तरह से याद करने की आवश्यकता होगी। उदाहरण से भिन्नों को जोड़ने के लिए, पहले आपको उन्हें एक सामान्य हर में लाना होगा। ऐसा करने के लिए, आपको बस 9 और 5 को एक दूसरे से गुणा करना होगा, अंश "5" को 5 से गुणा करना होगा, और "3" को क्रमशः 9 से गुणा करना होगा। इस प्रकार, निम्नलिखित अंश पहले ही जोड़े जा चुके हैं: 25/45 और 27/ 45. अब केवल अंशों को जोड़ना और 52/45 का उत्तर प्राप्त करना शेष है। कागज के एक टुकड़े पर, एक उदाहरण इस तरह दिखेगा:

5/9 + 3/5 = (5 x 5) / (9 x 5) + (3 x 9) / (5 x 9) = 25/45 + 27/45 = (25 + 27) / 45 = 52 / 45 = 1 7/45।

लेकिन ऐसे हर के साथ भिन्नों को जोड़ने के लिए हमेशा रेखा के नीचे की संख्याओं के सरल गुणन की आवश्यकता नहीं होती है। सबसे पहले सबसे कम आम भाजक की तलाश करें। उदाहरण के लिए, भिन्नों 2/3 और 5/6 के लिए। उनके लिए यह संख्या 6 होगी। लेकिन उत्तर हमेशा स्पष्ट नहीं होता है। इस मामले में, दो संख्याओं के कम से कम सामान्य गुणक (संक्षिप्त एलसीएम) खोजने के नियम को याद रखना उचित है।

इसे दो पूर्णांकों का अल्पतम समापवर्तक माना जाता है। इसे खोजने के लिए, वे हर एक पर लेटते हैं प्रधान कारण... अब उनमें से वे लिखिए जो प्रत्येक संख्या में कम से कम एक बार आते हैं। उन्हें आपस में गुणा करें और समान हर प्राप्त करें। वास्तव में, सब कुछ थोड़ा आसान लगता है।

उदाहरण के लिए, आप भिन्नों को 4/15 और 1/6 जोड़ना चाहते हैं। तो, साधारण संख्या 3 और 5, और छह - दो और तीन को गुणा करके 15 प्राप्त किया जाता है। इसका मतलब है कि उनके लिए एलसीएम 5 x 3 x 2 = 30 होगा। अब, पहले अंश के हर से 30 को विभाजित करने पर, हमें इसके अंश - 2 के लिए गुणक मिलता है। और दूसरी भिन्न के लिए यह संख्या 5 होगी। . इस प्रकार, यह साधारण भिन्नों 8/30 और 5/30 को जोड़ने और 13/30 प्रतिक्रिया प्राप्त करने के लिए बनी हुई है। सब कुछ बेहद सरल है। नोटबुक में, यह कार्य इस प्रकार लिखा जाना चाहिए:

4/15 + 1/6 = (4 x 2) / (15 x 2) + (1 x 5) / (6 x 5) = 8/30 + 5/30 = 13/30।

एलसीएम (15, 6) = 30.

मिश्रित संख्या जोड़ना

अब, साधारण भिन्नों को जोड़ने की सभी बुनियादी तकनीकों को जानने के बाद, आप अधिक जटिल उदाहरणों पर अपना हाथ आजमा सकते हैं। और ये मिश्रित संख्याएँ होंगी, जिन्हें इस प्रकार के भिन्न के रूप में समझा जाता है: 2 2/3। यहाँ पूर्ण भाग को नियमित भिन्न के आगे लिखा जाता है। और कई ऐसे नंबरों के साथ कार्रवाई करते समय भ्रमित होते हैं। दरअसल, यहां भी वही नियम लागू होते हैं।

मिश्रित संख्याओं को एक साथ जोड़ने के लिए, पूर्ण भागों और नियमित अंशों को अलग-अलग जोड़ें। और फिर इन 2 परिणामों को पहले ही सम्‍मिलित कर दिया गया है। व्यवहार में, सब कुछ बहुत सरल है, आपको बस थोड़ा अभ्यास करना है। उदाहरण के लिए, किसी समस्या में आपको निम्नलिखित मिश्रित संख्याओं को जोड़ना होगा: 1 1/3 और 4 2/5। ऐसा करने के लिए, पहले 5 पाने के लिए 1 और 4 जोड़ें। फिर सबसे कम आम भाजक को कम करने की तकनीकों का उपयोग करके 1/3 और 2/5 जोड़ें। समाधान 11/15 होगा। और अंतिम उत्तर 5 11/15 है। एक स्कूल नोटबुक में, यह बहुत छोटा दिखाई देगा:

1 1 / 3 + 4 2 / 5 = (1 + 4) + (1/3 + 2/5) = 5 + 5/15 + 6/15 = 5 + 11/15 = 5 11 / 15 .

दशमलव जोड़ना

सामान्य अंशों के अलावा, दशमलव भी होते हैं। वैसे, वे जीवन में बहुत अधिक सामान्य हैं। उदाहरण के लिए, स्टोर में कीमत अक्सर इस तरह दिखती है: 20.3 रूबल। यह बहुत अंश है। बेशक, इन्हें सामान्य लोगों की तुलना में मोड़ना बहुत आसान है। मूल रूप से, आपको केवल 2 साधारण संख्याओं को जोड़ने की आवश्यकता है, मुख्य बात यह है कि अल्पविराम को सही जगह पर रखना है। यहीं से मुश्किलें पैदा होती हैं।

उदाहरण के लिए, आपको ऐसे 2.5 और 0.56 जोड़ने की आवश्यकता है। इसे सही ढंग से करने के लिए, आपको अंत में पहले में शून्य जोड़ना होगा, और सब कुछ ठीक हो जाएगा।

2,50 + 0,56 = 3,06.

यह जानना महत्वपूर्ण है कि किसी भी दशमलव भिन्न को अभाज्य में बदला जा सकता है, लेकिन किसी को नहीं साधारण अंशदशमलव के रूप में लिखा जा सकता है। तो, हमारे उदाहरण से, 2.5 = 2 1/2 और 0.56 = 14/25। लेकिन 1/6 जैसा भिन्न केवल लगभग 0.16667 के बराबर होगा। अन्य समान संख्याओं के साथ भी यही स्थिति होगी - 2/7, 1/9, और इसी तरह।

निष्कर्ष

कई स्कूली बच्चे, भिन्नों के साथ क्रियाओं के व्यावहारिक पक्ष को नहीं समझते हैं, इस विषय पर लापरवाही से व्यवहार करते हैं। हालाँकि, इस बुनियादी ज्ञान का अधिक हिस्सा आपको पागल की तरह स्नैप करने की अनुमति देगा। जटिल उदाहरणलघुगणक और व्युत्पन्न खोजने के साथ। इसलिए, एक बार अंशों के साथ क्रियाओं को अच्छी तरह से समझना सार्थक है, ताकि बाद में आप अपनी कोहनी को हताशा में न काटें। आखिरकार, यह संभावना नहीं है कि हाई स्कूल में एक शिक्षक इस पर वापस आ जाएगा, पहले से ही उत्तीर्ण, विषय। हाई स्कूल के किसी भी छात्र को इन अभ्यासों को करने में सक्षम होना चाहिए।

एक अंश में एक पूर्णांक जोड़ने के लिए, क्रियाओं की एक श्रृंखला, या गणना करने के लिए पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए, आपके पास 7 - एक पूर्णांक है, आपको इसे 1/2 के अंश में जोड़ना होगा।

हम निम्नानुसार कार्य करते हैं:

7 को हर (2) से गुणा करने पर 14 निकलता है,
14 में हम ऊपरी भाग (1) जोड़ते हैं, यह 15 निकलता है,
और हर को प्रतिस्थापित करें।
परिणाम 15/2 है।

इस सरल तरीके से, आप पूर्ण संख्याओं को भिन्नात्मक संख्याओं में जोड़ सकते हैं।

और एक भिन्न से एक पूर्णांक निकालने के लिए, आपको अंश को हर से विभाजित करना होगा, और शेष भिन्न होगा।

एक पूर्णांक को एक नियमित अंश में जोड़ने का कार्य मुश्किल नहीं है और कभी-कभी केवल बनाने में होता है मिश्रित अंश, जिसमें पूरे भाग को भिन्नात्मक भाग के बाईं ओर रखा जाता है, उदाहरण के लिए, इस तरह के अंश को मिलाया जाएगा:

हालाँकि, अधिक बार किसी भिन्न में पूर्णांक जोड़ने पर, आपको एक गलत भिन्न प्राप्त होता है, जिसमें अंश हर से बड़ा होता है। यह ऑपरेशन निम्नानुसार किया जाता है: एक पूर्णांक को एक अनुचित अंश के रूप में दर्शाया जाता है, जिसमें समान भाजक जोड़े गए अंश के रूप में होता है और फिर दोनों अंशों के अंशों को जोड़ देता है। उदाहरण के लिए, यह इस तरह दिखेगा:

5+1/8 = 5*8/8+1/8 = 40/8+1/8 = 41/8

मेरी राय में यह बहुत आसान है।

उदाहरण के लिए, हमारे पास एक अंश 1/4 है (यह 0.25 के समान है, यानी एक पूर्ण संख्या का एक चौथाई)।

और इस तिमाही में, आप कोई भी पूर्णांक जोड़ सकते हैं, उदाहरण के लिए 3. यह निकला साढ़े तीन:

3.25. या भिन्न में इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: ३ १/४

इस उदाहरण के उदाहरण के बाद, आप किसी भी पूर्णांक के साथ कोई भी भिन्न जोड़ सकते हैं।

आपको 10 (6/10) के हर के साथ एक भिन्न को एक पूर्णांक बढ़ाने की आवश्यकता है। इसके बाद, मौजूदा भिन्न को १० (३५ = ६१०) के एक सामान्य हर में लाएँ। ठीक है, इस तरह से ऑपरेशन करें साधारण अंश६१० + ६१० = १२१० कुल १२.

इसे आप दो तरह से कर सकते हैं।

१) । अंश को एक पूर्णांक में परिवर्तित किया जा सकता है और जोड़ा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 1/2 0.5 है; 1/4 बराबर 0.25; 2/5 0.4 है और इसी तरह।

पूर्णांक 5 लें, जिसमें आपको भिन्न 4/5 जोड़ने की आवश्यकता है। हम भिन्न को रूपांतरित करते हैं: 4/5 को 4 से 5 से विभाजित किया जाता है और हमें 0.8 मिलता है। ०.८ से ५ जोड़ें और ५.८ या ५ ४/५ प्राप्त करें।

2))। दूसरा तरीका: 5 + 4/5 = 29/5 = 5 4/5।

भिन्नों को जोड़ना एक सरल गणितीय क्रिया है, उदाहरण के लिए, आपको एक पूर्णांक 3 और भिन्न 1/7 जोड़ने की आवश्यकता है। इन दो संख्याओं को जोड़ने के लिए, आपके पास एक हर होना चाहिए, इसलिए आपको तीन को सात से गुणा करना होगा और उस संख्या से विभाजित करना होगा, फिर आपको 21/7 + 1/7 मिलता है, हर एक है, 21 और 1 जोड़ें, उत्तर 22 है /7 ...

बस उस भिन्न में एक पूर्णांक लें और जोड़ें, मान लें कि 6 + 1/2 = 6 1/2। ठीक है, यदि यह एक दशमलव भिन्न है, तो आप, उदाहरण के लिए, इस तरह 6 + 1.2 = 7.2 कर सकते हैं।

एक भिन्न और एक पूर्ण संख्या को जोड़ने के लिए, आपको पूर्ण संख्या में एक भिन्नात्मक संख्या जोड़ने और उन्हें एक जटिल संख्या के रूप में लिखने की आवश्यकता होती है, उदाहरण के लिए, एक पूर्णांक के साथ एक साधारण अंश जोड़ने पर, हमें मिलता है: 1/2 +3 = 3 1/2; दशमलव अंश जोड़ते समय: 0.5 +3 = 3.5।

एक अंश अपने आप में एक पूर्णांक नहीं है, क्योंकि यह मात्रा में उस तक नहीं पहुंचता है, और इसलिए इस अंश में एक पूर्णांक का अनुवाद करने की कोई आवश्यकता नहीं है। इसलिए, पूर्ण संख्या पूर्ण बनी रहती है और पूर्ण मूल्यवर्ग को पूरी तरह से प्रदर्शित करती है, और इसमें अंश जोड़ दिया जाता है, और प्रदर्शित करता है कि अगले पूर्ण बिंदु को जोड़ने से पहले यह पूर्णांक कितना गायब है।

शैक्षणिक उदाहरण।

10 + 7/3 = 10 पूर्णांक और 7/3।

यदि, निश्चित रूप से, पूर्णांक हैं, तो उन्हें पूर्णांक में जोड़ा जाता है।

12 + 5 7/9 = 17 और 7/9।

यह किस पूर्णांक और किस भिन्न पर निर्भर करता है।

अगर दोनों शब्द सकारात्मक हैं, इस भिन्न को एक पूर्णांक के लिए नियत किया जाना चाहिए। परिणाम एक मिश्रित संख्या है। इसके अलावा, 2 मामले हो सकते हैं।

मामला एक।

अंश सही है, अर्थात्। अंश हर से छोटा है। फिर एट्रिब्यूशन के बाद प्राप्त मिश्रित संख्या का उत्तर होगा।

४/९ + १० = १० ४/९ (दस दशमलव चार नौवें)।

मामला २.

अंश गलत है, अर्थात्। अंश हर से बड़ा है। फिर थोड़ा रूपांतरण आवश्यक है। एक अनुचित अंश को मिश्रित संख्या में बदलना चाहिए, दूसरे शब्दों में, पूरे भाग का चयन करें। यह इस प्रकार किया जाता है:

उसके बाद, अनुचित अंश के पूरे भाग को पूर्ण संख्या में जोड़ा जाना चाहिए और इसके आंशिक भाग को परिणामी योग के लिए जिम्मेदार ठहराया जाना चाहिए। इसी प्रकार मिश्रित संख्या में पूर्ण जोड़ दिया जाता है।

१) ११/४ + ५ = २ ३/४ + ५ = ७ ३/४ (७ दशमलव तीन चौथाई)।

२) ५ १/२ + ६ = ११ १/२ (११ पूर्णांक एक सेकंड)।

यदि शर्तों में से एक या दोनों नकारात्मक, फिर अलग-अलग या समान चिह्नों वाली संख्याओं को जोड़ने के नियमों के अनुसार जोड़ दिया जाता है। एक पूर्णांक को इस संख्या के 1 के अनुपात के रूप में दर्शाया जाता है, और फिर अंश और हर दोनों को उस भिन्न के हर के बराबर संख्या से गुणा किया जाता है जिसमें पूरी संख्या जोड़ी जाती है।

3) 1/5 + (-2) = 1/5 + -2/1 = 1/5 + -10/5 = -9/5 = -1 4/5 (शून्य से 1 अंक चार-पांचवां)।

4) -13/3 + (-4) = -13/3 + -4/1 = -13/3 + -12/3 = -25/3 = -8 1/3 (शून्य से 8 पूर्ण एक तिहाई)।

टिप्पणी।

ऋणात्मक संख्याओं से परिचित होने के बाद, उनके साथ क्रियाओं का अध्ययन करते समय, कक्षा 6 के छात्रों को यह समझना चाहिए कि ऋणात्मक भिन्न में धनात्मक पूर्णांक जोड़ना प्राकृतिक संख्या से भिन्न को घटाने के समान है। इस क्रिया को इस प्रकार करने के लिए जाना जाता है:

वास्तव में, एक भिन्न और एक पूर्णांक जोड़ने के लिए, आपको केवल मौजूदा पूर्णांक को भिन्नात्मक संख्या में लाने की आवश्यकता है, और यह नाशपाती को खोलना जितना आसान है। आपको बस भिन्न का हर लेना है (उदाहरण में उपलब्ध) और इसे एक पूर्णांक का हर बनाना है, इसे इस हर से गुणा करना और विभाजित करना, यहाँ एक उदाहरण है:

2+2/3 = 2*3/3+2/3 = 6/3+2/3 = 8/3

भिन्न $ \ frac63 $ पर विचार करें। इसका मान 2 है, क्योंकि $ \ frac63 = 6: 3 = 2 $। यदि अंश और हर को 2 से गुणा किया जाए तो क्या होगा? $ \ frac63 \ गुना 2 = \ फ़्रेक (12) (6) $। जाहिर है, भिन्न का मान नहीं बदला है, क्योंकि $ \ frac (12) (6) $ के रूप में y भी 2 के बराबर है। आप कर सकते हैं अंश और हर को गुणा करें 3 से और $\ frac (18) (9) $, या 27 से प्राप्त करें और $ \ frac (162) (81) $ या 101 से प्राप्त करें और $ \ frac (606) (303) $ प्राप्त करें। इनमें से प्रत्येक स्थिति में, अंश को हर से भाग देने पर प्राप्त होने वाली भिन्न का मान 2 होता है। इसका अर्थ है कि यह परिवर्तित नहीं हुआ है।

अन्य भिन्नों के मामले में भी यही पैटर्न देखा जाता है। यदि भिन्न $ \ frac (120) (60) $ (2 के बराबर) के अंश और हर को 2 से विभाजित किया जाता है ($ \ frac (60) (30) $ का परिणाम), या 3 (के परिणाम $ \ frac (40) (20) $), या 4 ($ \ frac (30) (15) $ का परिणाम) और इसी तरह, तो प्रत्येक मामले में भिन्न का मान अपरिवर्तित रहता है और 2 के बराबर होता है।

यह नियम उन भिन्नों पर भी लागू होता है जो समान नहीं हैं पूरा नंबर.

यदि भिन्न $ \ frac (1) (3) $ के अंश और हर को 2 से गुणा किया जाता है, तो हमें $ \ frac (2) (6) $ मिलता है, अर्थात भिन्न का मान नहीं बदला है। वास्तव में, यदि आप केक को 3 टुकड़ों में विभाजित करते हैं और उनमें से एक लेते हैं, या इसे 6 टुकड़ों में विभाजित करते हैं और 2 टुकड़े लेते हैं, तो आपको दोनों मामलों में समान मात्रा में केक मिलेगा। इसलिए, संख्याएँ $\ frac (1) (3) $ और $ \ frac (2) (6) $ समान हैं। आइए एक सामान्य नियम तैयार करें।

किसी भी भिन्न के अंश और हर को भिन्न के मान को बदले बिना उसी संख्या से गुणा या भाग किया जा सकता है।

यह नियम बहुत काम का साबित होता है। उदाहरण के लिए, यह कुछ मामलों में अनुमति देता है, लेकिन हमेशा नहीं, बड़ी संख्या में संचालन से बचने के लिए।

उदाहरण के लिए, हम $ \ frac (126) (189) $ के अंश और हर को 63 से विभाजित कर सकते हैं और $ \ frac (2) (3) $ प्राप्त कर सकते हैं जो गणना करना बहुत आसान है। एक और उदाहरण। हम भिन्न $ \ frac (155) (31) $ के अंश और हर को 31 से विभाजित कर सकते हैं और अंश $ \ frac (5) (1) $ या 5 प्राप्त कर सकते हैं, क्योंकि 5: 1 = 5।

इस उदाहरण में, हम पहली बार मिले थे हर 1 . के साथ भिन्न... इस तरह के अंश गणना में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। यह याद रखना चाहिए कि किसी भी संख्या को उसके मान को बदले बिना 1 से विभाजित किया जा सकता है। यानी $\ frac (273) (1) $ 273 है; $ \ frac (509993) (1) $ 509993 के बराबर है और इसी तरह। इसलिए, हम संख्याओं को इससे विभाजित नहीं कर सकते, क्योंकि प्रत्येक पूर्णांक को हर 1 वाली भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है।

ऐसे भिन्नों के साथ, जिनका हर 1 है, आप अन्य सभी भिन्नों के समान अंकगणितीय संक्रियाएँ कर सकते हैं: $ \ frac (15) (1) + \ frac (15) (1) = \ frac (30) (1 ) $, $ \ frac (4) (1) \ times \ frac (3) (1) = \ frac (12) (1) $।

आप पूछ सकते हैं, एक पूर्णांक को रेखा के नीचे एक भिन्न के रूप में प्रदर्शित करने का क्या उपयोग है, क्योंकि यह एक पूर्णांक के साथ काम करने के लिए अधिक सुविधाजनक है। लेकिन तथ्य यह है कि एक पूर्णांक के रूप में एक पूर्णांक का प्रतिनिधित्व हमें एक ही समय में पूर्णांक और भिन्नात्मक संख्याओं दोनों के साथ व्यवहार करने पर विभिन्न क्रियाओं को अधिक कुशलता से करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, सीखने के लिए भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ें... मान लीजिए हम $ \ frac (1) (3) $ और $ \ frac (1) (5) $ जोड़ना चाहते हैं।

हम जानते हैं कि आप केवल उन्हीं भिन्नों को जोड़ सकते हैं जिनके हर बराबर हों। इसका मतलब यह है कि हमें यह सीखने की जरूरत है कि भिन्नों को ऐसे रूप में कैसे लाया जाए जब उनके हर बराबर हों। इस मामले में, यह हमारे लिए फिर से उपयोगी है कि आप किसी भिन्न के अंश और हर को उसके मान को बदले बिना उसी संख्या से गुणा कर सकते हैं।

सबसे पहले, $\ frac (1) (3) $ के अंश और हर को 5 से गुणा करें। हमें $ \ frac (5) (15) $ मिलता है, भिन्न का मान नहीं बदला है। फिर हम भिन्न $ \ frac (1) (5) $ के अंश और हर को 3 से गुणा करते हैं। हमें $ \ frac (3) (15) $ मिलता है, फिर से भिन्न का मान नहीं बदला है। इसलिए, $\ frac (1) (3) + \ frac (1) (5) = \ frac (5) (15) + \ frac (3) (15) = \ frac (8) (15) $।

आइए अब इस प्रणाली को पूर्णांक और भिन्नात्मक दोनों भागों वाली संख्याओं के योग पर लागू करने का प्रयास करते हैं।

हमें $3 + \ frac (1) (3) +1 \ frac (1) (4) $ जोड़ना होगा। सबसे पहले, हम सभी पदों को भिन्नों में अनुवाद करते हैं और प्राप्त करते हैं: $ \ frac31 + \ frac (1) (3) + \ frac (5) (4) $। अब हमें सभी भिन्नों को एक समान हर में लाने की आवश्यकता है, इसके लिए हम पहली भिन्न के अंश और हर को 12 से, दूसरे को 4 से और तीसरे को 3 से गुणा करते हैं। परिणामस्वरूप, हमें $\ frac (36) मिलता है। (१२) + \ फ़्रेक (४ ) (12) + \ फ़्रेक (१५) (१२) $, जो $ \ फ़्रेक (५५) (12) $ के बराबर है। अगर आप छुटकारा पाना चाहते हैं गलत अंश, इसे पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों वाली संख्या में बदला जा सकता है: $ \ फ़्रेक (55) (12) = \ फ़्रेक (48) (12) + \ फ़्रेक (7) (12) $ या $ 4 \ फ़्रेक (7 )(१२)$.

अनुमति देने के लिए सभी नियम भिन्न संचालनकि हमने अभी अध्ययन किया है, ऋणात्मक संख्याओं के मामले में भी सत्य हैं। तो, -1: 3 को $ \ frac (-1) (3) $, और 1: (-3) को $ \ frac (1) (- 3) $ के रूप में लिखा जा सकता है।

चूँकि दोनों एक ऋणात्मक संख्या को धनात्मक से भाग देते हैं और एक धनात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्याओं में ऋणात्मक परिणाम से विभाजित करते हैं, दोनों ही मामलों में हमें ऋणात्मक संख्या के रूप में उत्तर मिलेगा। अर्थात्

$ (- 1): 3 = \ frac (1) (3) $ या $ 1: (-3) = \ frac (1) (- 3) $। इस लेखन के साथ ऋण चिह्न पूरे अंश को समग्र रूप से संदर्भित करता है, न कि अंश या हर को अलग से।

दूसरी ओर, (-1): (-3) को $\ frac (-1) (- 3) $ के रूप में लिखा जा सकता है, और ऋणात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है सकारात्मक संख्या, तो $ \ frac (-1) (- 3) $ को $ + \ frac (1) (3) $ के रूप में लिखा जा सकता है।

ऋणात्मक भिन्नों का जोड़ और घटाव उसी तरह किया जाता है जैसे धनात्मक भिन्नों का जोड़ और घटाव। उदाहरण के लिए, $1- 1 \ frac13 $ क्या है? हम दोनों संख्याओं को भिन्न के रूप में निरूपित करते हैं और $ \ frac (1) (1) - \ frac (4) (3) $ प्राप्त करते हैं। भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करें और $\ frac (1 \ गुना 3) (1 \ गुना 3) - \ frac (4) (3) $, यानी $ \ frac (3) (3) - \ frac प्राप्त करें। (४) (३) $, या $ - \ फ्रैक (१) (३) $।

यह पाठ जोड़ और घटाव को कवर करेगा। बीजीय भिन्नविभिन्न भाजक के साथ। हम पहले से ही जानते हैं कि विभिन्न हरों के साथ सामान्य अंशों को कैसे जोड़ना और घटाना है। ऐसा करने के लिए, अंशों को एक सामान्य हर में कम किया जाना चाहिए। यह पता चला है कि बीजीय अंश समान नियमों का पालन करते हैं। उसी समय, हम पहले से ही जानते हैं कि बीजीय अंशों को एक सामान्य हर में कैसे लाया जाए। भिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ना और घटाना 8वीं कक्षा के पाठ्यक्रम में सबसे महत्वपूर्ण और कठिन विषयों में से एक है। जिसमें इस विषयबीजगणित पाठ्यक्रम के कई विषयों में दिखाई देंगे जिनका आप भविष्य में अध्ययन करेंगे। पाठ के भाग के रूप में, हम अलग-अलग हरों के साथ बीजीय भिन्नों के जोड़ और घटाव के नियमों का अध्ययन करेंगे, साथ ही उनका विश्लेषण भी करेंगे। पूरी लाइनविशिष्ट उदाहरण।

विचार करना सरल उदाहरणसाधारण अंशों के लिए।

उदाहरण 1।अंश जोड़ें:।

समाधान:

आइए भिन्नों को जोड़ने का नियम याद रखें। आरंभ करने के लिए, भिन्नों को एक सामान्य हर में लाया जाना चाहिए। साधारण भिन्नों के लिए सामान्य भाजक है न्यूनतम समापवर्तक(एलसीएम) प्रारंभिक भाजक।

परिभाषा

कम से कम प्राकृतिक संख्या, जो एक ही समय में और संख्याओं से विभाज्य है।

LCM को खोजने के लिए, हर को अभाज्य गुणनखंडों में विस्तारित करना आवश्यक है, और फिर सभी अभाज्य गुणनखंडों का चयन करें जो दोनों हर के विस्तार में शामिल हैं।

; ... फिर संख्याओं के LCM में दो दो और दो त्रिक शामिल होने चाहिए:।

उभयनिष्ठ हर को खोजने के बाद, प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड खोजना आवश्यक है (वास्तव में, समान भाजक को संगत भिन्न के हर से विभाजित करें)।

फिर प्रत्येक अंश को परिणामी अतिरिक्त कारक से गुणा किया जाता है। के साथ अंश एक ही भाजक, जोड़ और घटाना जो हमने पिछले पाठों में सीखा था।

हम पाते हैं: .

उत्तर:.

अब विभिन्न हरों वाली बीजीय भिन्नों को जोड़ने पर विचार करें। सबसे पहले, उन भिन्नों पर विचार करें जिनके हर संख्याएं हैं।

उदाहरण २।अंश जोड़ें:।

समाधान:

समाधान एल्गोरिथ्म बिल्कुल पिछले उदाहरण के समान है। इन भिन्नों के लिए एक सामान्य भाजक खोजना आसान है: और उनमें से प्रत्येक के लिए अतिरिक्त कारक।

उत्तर:.

तो, चलिए बनाते हैं विभिन्न हरों के साथ बीजीय अंशों के जोड़ और घटाव के लिए एल्गोरिदम:

1. भिन्नों का न्यूनतम उभयनिष्ठ भाजक ज्ञात कीजिए।

2. प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड ज्ञात कीजिए (दिए गए भिन्न के हर द्वारा सामान्य हर को विभाजित करके)।

3. अंशों को संगत अतिरिक्त कारकों से गुणा करें।

4. समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने और घटाने के नियमों का उपयोग करके भिन्नों को जोड़ें या घटाएं।

अब एक उदाहरण पर विचार करें जिसमें हर में भिन्न हैं, जिनमें से हैं अक्षर भाव.

उदाहरण 3.अंश जोड़ें:।

समाधान:

चूँकि दोनों हर में शाब्दिक व्यंजक समान हैं, इसलिए आपको संख्याओं के लिए एक उभयनिष्ठ भाजक ढूँढ़ना चाहिए। अंतिम आम भाजक होगा:। इस प्रकार, इस उदाहरण का समाधान इस तरह दिखता है:

उत्तर:.

उदाहरण 4.अंश घटाएं:।

समाधान:

यदि आप एक सामान्य भाजक का चयन करते समय "धोखा" नहीं दे सकते हैं (आप इसे कारक नहीं बना सकते हैं या संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग नहीं कर सकते हैं), तो आपको दोनों अंशों के हर के उत्पाद को सामान्य भाजक के रूप में लेना होगा।

उत्तर:.

सामान्य तौर पर, ऐसे उदाहरणों को हल करते समय, सबसे कठिन कार्य एक सामान्य भाजक को खोजना होता है।

आइए एक अधिक जटिल उदाहरण देखें।

उदाहरण 5.सरल करें:।

समाधान:

एक सामान्य भाजक को खोजते समय, आपको पहले मूल भिन्नों के हरों को निकालने का प्रयास करना चाहिए (सामान्य भाजक को सरल बनाने के लिए)।

इस विशेष मामले में:

फिर आम भाजक को निर्धारित करना आसान है: .