Hogyan lehet megtalálni a kör területét? Először keresse meg a sugarat. Tanulj meg egyszerű és összetett problémákat megoldani.

A kör egy zárt görbe. A körvonal bármely pontja ugyanolyan távolságra lesz a középponttól. A kör lapos alak, így a terület megtalálásával kapcsolatos problémák megoldása egyszerű. Ebben a cikkben megvizsgáljuk, hogyan lehet megtalálni a háromszögbe, trapézbe, négyzetbe írt kör területét, és ezek köré az ábrákat körülírva.

Egy adott ábra területének meghatározásához tudnia kell, hogy mi a sugár, az átmérő és a π szám.

Sugár R az a távolság, amelyet a kör középpontja korlátoz. Egy kör összes R-sugarának hossza egyenlő lesz.

D átmérő a kör bármely két pontja közötti egyenes, amely átmegy a középponton. Ennek a szakasznak a hossza egyenlő az R-sugár hosszának 2-vel szorozva.

π szám egy állandó érték, amely egyenlő 3,1415926-tal. A matematikában ezt a számot általában 3,14-re kerekítik.

Képlet egy kör területének meghatározásához a sugár segítségével:

Példák egy kör S-területének az R-sugár segítségével történő megtalálásával kapcsolatos problémák megoldására:

Feladat: Határozza meg a kör területét, ha a sugara 7 cm.

Megoldás: S=πR², S=3,14*7², S=3,14*49=153,86 cm².

Válasz: A kör területe 153,86 cm².

A képlet egy kör S-területének megtalálásához a D-átmérőn keresztül:

Példák S megtalálására szolgáló problémák megoldására, ha D ismert:

————————————————————————————————————————-

Feladat: Határozzuk meg egy kör S-jét, ha D-je 10 cm.

Megoldás: P=π*d²/4, P=3,14*10²/4=3,14*100/4=314/4=78,5 cm².

Válasz: Egy lapos kör alakú figura területe 78,5 cm².

Egy kör S értékének meghatározása, ha a kerülete ismert:

Először keressük meg, hogy mekkora a sugár. A kör kerületét a következő képlettel számítjuk ki: L=2πR, illetve az R sugár L/2π lesz. Most megtaláljuk a kör területét az R-en keresztüli képlet segítségével.

Tekintsük a megoldást egy példaprobléma segítségével:

———————————————————————————————————————-

Feladat: Keresse meg a kör területét, ha ismert az L kerülete - 12 cm.

Megoldás: Először megtaláljuk a sugarat: R=L/2π=12/2*3,14=12/6,28=1,91.

Most megtaláljuk a sugáron keresztüli területet: S=πR²=3,14*1,91²=3,14*3,65=11,46 cm².

Válasz: A kör területe 11,46 cm².

Könnyű megtalálni a négyzetbe írt kör területét. A négyzet oldala a kör átmérője. A sugár meghatározásához el kell osztani az oldalt 2-vel.

Képlet a négyzetbe írt kör területének meghatározásához:

Példák a négyzetbe írt kör területének megtalálásának problémáinak megoldására:

———————————————————————————————————————

1. feladat: Ismert egy négyzet alakú figura oldala, ami 6 centiméter. Keresse meg a beírt kör S-területét.

Megoldás: S=π(a/2)²=3,14(6/2)²=3,14*9=28,26 cm².

Válasz: Egy lapos kör alakú figura területe 28,26 cm².

————————————————————————————————————————

2. feladat: Határozzuk meg egy négyzet alakba írt kör S-ét és annak sugarát, ha az egyik oldal a=4 cm.

Döntse el így: Először azt találjuk, hogy R=a/2=4/2=2 cm.

Most keressük meg az S=3,14*2²=3,14*4=12,56 cm² kör területét.

Válasz: Egy lapos kör alakú figura területe 12,56 cm².

Kicsit nehezebb megtalálni a négyzet körül leírt kör alakú figura területét. De a képlet ismeretében gyorsan kiszámíthatja ezt az értéket.

A képlet S egy négyzet alakú alakra körülírt kör keresésére:

Példák egy négyzet alakú alak körül körülírt kör területének megtalálására szolgáló feladatok megoldására:

Feladat

Egy kör, amelybe bele van írva háromszög alakú alak olyan kör, amely a háromszög mindhárom oldalát érinti. Bármely háromszög alakba beleilleszthet egy kört, de csak egyet. A kör középpontja a háromszög szögfelezőinek metszéspontja lesz.

Képlet a beírt kör területének meghatározásához egyenlő szárú háromszög:

Ha a sugár ismert, a terület a következő képlettel számítható ki: S=πR².

Képlet a beírt kör területének meghatározásához derékszögű háromszög:

Példák problémamegoldásra:

1. számú feladat

Ha ebben a feladatban egy 4 cm sugarú kör területét is meg kell találni, akkor ezt a következő képlettel lehet megtenni: S=πR²

2. feladat

Megoldás:

Most, hogy a sugár ismert, a sugár segítségével megtalálhatjuk a kör területét. Lásd a fenti képletet a szövegben.

3. feladat

Egy derékszögű és egyenlő szárú háromszög körül körülírt kör területe: képlet, példák problémamegoldásra

A kör területének meghatározására szolgáló összes képlet arra a tényre vezethető vissza, hogy először meg kell találnia a sugarát. Ha a sugár ismert, akkor a terület megtalálása egyszerű, a fent leírtak szerint.

A derékszögű és egyenlő szárú háromszög körül körülírt kör területét a következő képlet határozza meg:

Példák problémamegoldásra:

Íme egy másik példa egy probléma megoldására Heron képletével.

Az ilyen problémák megoldása nehéz, de elsajátíthatóak, ha ismeri az összes képletet. Ilyen feladatokat oldanak meg a tanulók a 9. osztályban.

Egy téglalap alakú és egyenlő szárú trapézba írt kör területe: képlet, példák a problémamegoldásra

Az egyenlő szárú trapéznek két egyenlő oldala van. A téglalap alakú trapéz egyik szöge 90º. Nézzük meg, hogyan találjuk meg a téglalap alakú és egyenlő szárú trapézba írt kör területét a feladatok megoldásának példáján.

Például egy kör egy egyenlő szárú trapézba van írva, amely az érintkezési pontban az egyik oldalt m és n szakaszokra osztja.

A probléma megoldásához a következő képleteket kell használnia:

A beírt kör területének megkeresése téglalap alakú trapéz, a következő képlet szerint készül:

Ha ismert az oldalsó oldal, akkor ennek az értéknek a segítségével a sugár megkereshető. A trapéz oldalának magassága megegyezik a kör átmérőjével, a sugara pedig az átmérő fele. Ennek megfelelően a sugár R=d/2.

Példák problémamegoldásra:

Egy trapéz akkor írható be egy körbe, ha a szemközti szögeinek összege 180º. Ezért csak beléphet egyenlő szárú trapéz. A téglalap vagy egyenlő szárú trapéz körül körülírt kör területének kiszámításához szükséges sugarat a következő képletekkel számítjuk ki:

Példák problémamegoldásra:

Megoldás: Nagy alap be ebben az esetbenáthalad a középponton, mivel egy egyenlő szárú trapéz van beírva a körbe. A középpont ezt az alapot pontosan a felére osztja. Ha az AB bázis 12, akkor az R sugár a következőképpen található: R=12/2=6.

Válasz: A sugár 6.

A geometriában fontos a képletek ismerete. De nem lehet mindegyiket megjegyezni, ezért még sok vizsgán is megengedett egy speciális űrlap használata. Fontos azonban, hogy megtaláljuk a megfelelő formulát egy adott probléma megoldására. Gyakorolja a különböző feladatok megoldását, hogy megtalálja a kör sugarát és területét, így helyesen helyettesítheti a képleteket és pontos válaszokat kaphat.

Videó: Matematika | A kör és részei területének kiszámítása

A kör sok olyan pont látható gyűjteménye, amelyek a középponttól azonos távolságra helyezkednek el. A terület meghatározásához tudnia kell, hogy mekkora a sugár, az átmérő, a π szám és a kerület.

A kör területének kiszámításában részt vevő mennyiségek

A kör középpontja és a kör bármely pontja által határolt távolságot ennek sugarának nevezzük geometriai alakzat. Egy kör összes sugarának hossza azonos. A kör bármely 2 pontja közötti szakaszt, amely áthalad a középponton, átmérőnek nevezzük. Az átmérő hossza egyenlő a sugár hosszának 2-vel szorozva.

A kör területének kiszámításához a π szám értékét használjuk. Ez az érték megegyezik a kerület és a kör átmérőjének hosszának arányával, és állandó értéke van. Π = 3,1415926. A kerületet az L=2πR képlet alapján számítjuk ki.

Keresse meg a kör területét a sugár segítségével

Ezért a kör területe egyenlő a π szám és a kör második hatványra emelt sugarának szorzatával. Példaként vegyük a kör sugarának hosszát 5 cm-nek, ekkor az S kör területe 3,14*5^2=78,5 négyzetméter. cm.

Egy kör átmérője

A kör területe a kör átmérőjének ismeretében is kiszámítható. Ebben az esetben S = (π/4)*d^2, ahol d a kör átmérője. Vegyük ugyanazt a példát, ahol a sugara 5 cm, akkor az átmérője 5*2=10 cm lesz. A kör területe S = 3,14/4*10^2=78,5 cm. Az első példában szereplő számítások összegével megegyező eredmény mindkét esetben megerősíti a számítások helyességét.

Egy kör területe a kerületen keresztül

Ha egy kör sugarát a kerületben ábrázoljuk, akkor a képletnek ez lesz következő nézet: R=(L/2)π. Helyettesítsük be ezt a kifejezést a kör területére vonatkozó képletbe, és ennek eredményeként S=(L^2)/4π-t kapunk. Vegyünk egy példát, amelyben a kerülete 10 cm, akkor a kör területe S = (10^2)/4*3,14=7,96 négyzetméter. cm.

Egy kör területe egy beírt négyzet oldalának hosszán

Ha egy négyzetet körbe írunk, akkor a kör átmérőjének hossza megegyezik a négyzet átlójának hosszával. A négyzet oldalának méretének ismeretében könnyen megtudhatja a kör átmérőjét a következő képlet segítségével: d^2=2a^2. Más szóval, átmérő a 2. hatványra oldallal egyenlő négyzet a 2. hatvány 2-vel szorozva.

A kör átmérőjének hosszának kiszámítása után megtudhatja annak sugarát, majd a kör területének meghatározásához használja az egyik képletet.

Egy kör szektorának területe

A szektor egy kör egy része, amelyet 2 sugár és a közöttük lévő ív határol. A terület meghatározásához meg kell mérni a szektor szögét. Ezután létre kell hozni egy törtet, amelynek számlálója a szektor szögének értéke, nevezője pedig 360. A szektor területének kiszámításához a tört elosztásával kapott értéket kell megadni. meg kell szorozni a kör területével, amelyet a fenti képletek egyikével számítunk ki.

• Az átmérő hossza a kör középpontján átmenő és a kör két ellentétes pontját összekötő szakasz, vagy a sugár olyan szakasz, amelynek egyik szélső pontja a kör közepén van, a második pedig a kör ívén. Tehát az átmérő hosszával egyenlő sugár szorozva kettővel.
• A π szám értéke. Ez az érték egy állandó – egy irracionális tört, amelynek nincs vége. Ez azonban nem időszakos. Ez a szám arányát fejezi ki körméret sugarához. A kör területének kiszámításához az iskolai kurzusfeladatokban a π értékét használják századik pontossággal - 3,14.

Képletek egy kör területének, szakaszának vagy szektorának megtalálásához

A geometriai feladat konkrét feltételeitől függően kettő képletek egy kör területének meghatározásához:

A kör területének megtalálásának legegyszerűbb módjának meghatározásához gondosan elemeznie kell a feladat feltételeit.

Az iskolai geometria tanfolyam a szegmensek vagy szektorok területének kiszámítására vonatkozó feladatokat is tartalmaz, amelyekhez speciális képleteket használnak:

1. A szektor a körnek az a része, amelyet egy kör határol, és egy szöget zár be a csúcsponttal a közepén. A szektor területét a következő képlet alapján számítjuk ki: S = (π*r 2 /360)*A;
   • r – sugár;
   • A a szög nagysága fokban.
   • r – sugár;
   • p – ívhossz.

Van egy második lehetőség is: S = 0,5*p*r;

2. A szakasz egy kör (akkord) és egy kör által határolt rész. Területe az S=(π*r 2 /360)*A képlettel határozható meg ± S ∆ ;

• r – sugár;
• A – szögérték fokban;
• S ∆ – egy háromszög területe, amelynek oldalai a kör sugarai és húrja; ebben az esetben az egyik csúcsa a kör közepén, a másik kettő pedig a körív és a húr érintkezési pontjainál található. Fontos pont– „mínusz” jel kerül elhelyezésre, ha A értéke kisebb, mint 180 fok, és „plusz” jel – ha nagyobb, mint 180 fok.

Egy geometriai feladat megoldásának egyszerűsítésére számolhat egy kör területe online. Különleges program néhány másodperc alatt gyorsan és pontosan végez számításokat. Hogyan számoljuk ki az alakzatok területét online? Ehhez meg kell adni az ismert kezdeti adatokat: sugár, átmérő, szög.

egy lapos ábra, amely a középponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmazát ábrázolja. Mindegyik azonos távolságra van, és egy kört alkotnak.

A kör középpontját a kerületén lévő pontokkal összekötő szakaszt nevezzük sugár. Minden körben minden sugár egyenlő egymással. A kör két pontját összekötő és a középponton áthaladó egyenest nevezzük átmérő. A kör területének képletét egy matematikai állandó - a π szám - segítségével számítják ki.

Ez érdekes : π szám. a kör kerületének és átmérőjének hosszának arányát jelenti, és állandó érték. A π = 3,1415926 értéket L. Euler 1737-es munkája után használták.

A kör területe kiszámítható a π állandóval. és a kör sugara. A kör területének sugara szerinti képlete így néz ki:

Nézzünk egy példát a kör területének sugár segítségével történő kiszámítására. Adjunk meg egy kört, amelynek sugara R = 4 cm. Határozzuk meg az ábra területét.

A körünk területe 50,24 négyzetméter lesz. cm.

Van egy képlet egy kör átmérőjű területe. Széles körben használják a szükséges paraméterek kiszámítására is. Ezekkel a képletekkel lehet megtalálni.

Tekintsünk egy példát egy kör területének kiszámítására az átmérőjén keresztül, ismerve a sugarát. Adjunk meg egy R = 4 cm sugarú kört. Először keressük meg az átmérőt, amely, mint tudjuk, kétszerese a sugarának.


Most az adatokat egy kör területének kiszámítására használjuk a fenti képlet segítségével:

Mint látható, az eredmény ugyanaz, mint az első számításoknál.

A kör területének kiszámítására szolgáló szabványos képletek ismerete segít a jövőben könnyen meghatározni ágazati területenés könnyen megtalálhatja a hiányzó értékeket.

Azt már tudjuk, hogy a kör területének képletét úgy számítjuk ki, hogy a π állandó értéket megszorozzuk a kör sugarának négyzetével. A sugár a kerülettel fejezhető ki, és a képletben a kör területének kifejezést a kerületben helyettesítheti:
Most helyettesítsük ezt az egyenlőséget a kör területének kiszámítására szolgáló képletbe, és kapjunk egy képletet a kör területének meghatározására a kerület segítségével

Tekintsünk egy példát a kör területének a kerület segítségével történő kiszámítására. Legyen egy l = 8 cm hosszú kör. Helyettesítsük be az értéket a származtatott képletbe:

A kör teljes területe 5 négyzetméter lesz. cm.

Egy négyzet körül körülírt kör területe

Nagyon könnyű megtalálni a négyzet köré körülírt kör területét.

Ehhez csak a négyzet oldalára és az egyszerű képletek ismeretére van szükség. A négyzet átlója egyenlő lesz a körülírt kör átlójával. Az a oldal ismeretében a Pitagorasz-tétel segítségével megtalálható: innen.
Miután megtaláltuk az átlót, kiszámíthatjuk a sugarat: .
Ezután mindent behelyettesítünk a négyzet köré körülírt kör alapképletébe: