1. példa

Referencia: A függvények alábbi jelölési módjai egyenértékűek: Egyes feladatoknál célszerű a függvényt "igrokom"-nak, másoknál pedig "ff from x"-nek jelölni.

Először megtaláljuk a származékot:

2. példa

Számítsa ki egy függvény deriváltját egy pontban!

, , teljes funkcióvizsgálat satöbbi.

3. példa

Számítsa ki egy függvény deriváltját egy pontban! Először is keressük meg a származékot:

Nos, az teljesen más kérdés. Számítsuk ki a derivált értékét a pontban:

Abban az esetben, ha nem érti, hogyan találták meg a származékot, térjen vissza a téma első két leckéhez. Ha nehézségei vannak (félreértései) az arctangenssel és annak jelentésével, szükségszerűen tanulmányozza a tananyagot Elemi függvények grafikonjai és tulajdonságai- a legutóbbi bekezdés. Mert van még elég arctangens a diákkorhoz.

4. példa

Számítsa ki egy függvény deriváltját egy pontban!

Egy függvény grafikonjának érintőjének egyenlete

Az előző szakasz megszilárdításához vegye fontolóra a -hez tartozó érintő megtalálásának problémáját funkciógrafika ezen a ponton. Ezzel a feladattal az iskolában találkoztunk, és a felsőbb matematika tantárgyakban is megtalálható.

Vegyünk egy „demó” legegyszerűbb példát.

Írja fel a függvény grafikonjának érintőjének egyenletét az abszcissza pontban! Azonnal adok egy kész grafikus megoldást a problémára (a gyakorlatban ez a legtöbb esetben nem szükséges):

Az érintő szigorú meghatározását a függvény deriváltjának meghatározása, de egyelőre a kérdés technikai részét sajátítjuk el. Bizonyára szinte mindenki intuitív módon megérti, hogy mi az érintő. Ha az "ujjakon" magyarázod, akkor a függvény grafikonjának érintője a következő egyenes ami a függvény grafikonjára vonatkozik az egyetlen pont. Ebben az esetben az egyenes minden közeli pontja a lehető legközelebb helyezkedik el a függvény grafikonjához.

A mi esetünkben: at, az érintő (standard jelölés) egyetlen pontban érinti a függvény grafikonját.

A feladatunk pedig az, hogy megtaláljuk az egyenes egyenletét.

Függvény származéka egy pontban

Hogyan találjuk meg egy függvény deriváltját egy pontban? Ennek a feladatnak két nyilvánvaló pontja következik a megfogalmazásból:

1) Meg kell találni a származékot.

2) Ki kell számítani a derivált értékét egy adott pontban.

1. példa

Számítsa ki egy függvény deriváltját egy pontban!

Súgó: A függvények alábbi jelölési módjai egyenértékűek:


Egyes feladatoknál célszerű a függvényt "igrokom"-nak, másoknál pedig "ff from x"-nek jelölni.

Először megtaláljuk a származékot:

Remélem, sokan megszokták már, hogy szóban találjanak ilyen származékokat.

A második lépésben kiszámítjuk a derivált értékét a pontban:

Egy kis bemelegítési példa egy független megoldáshoz:

2. példa

Számítsa ki egy függvény deriváltját egy pontban!

Teljes megoldás és válasz az oktatóanyag végén.

A derivált egy pontban való megtalálásának szükségessége a következő problémák esetén merül fel: egy függvény grafikonjának érintőjének szerkesztése (következő bekezdés), szélsőséges funkció vizsgálata , gráffüggvény inflexiója , teljes funkcióvizsgálat satöbbi.

De a kérdéses feladat tesztekben és önmagában is megtalálható. És általában ilyen esetekben a függvény meglehetősen összetett. Ezzel kapcsolatban vegyünk még két példát.

3. példa

Számítsa ki egy függvény deriváltját! azon a ponton.
Először is keressük meg a származékot:

A derivált elvileg megvan, és a kívánt érték behelyettesíthető. De nem igazán akarom csinálni. A kifejezés nagyon hosszú, és az "x" értéke tört. Ezért igyekszünk a deriváltunkat a lehető legnagyobb mértékben leegyszerűsíteni. Ebben az esetben próbáljuk meg az utolsó három kifejezést közös nevezőre hozni: azon a ponton.

Ez egy példa a „csináld magad” megoldásra.

Hogyan találjuk meg az F (x) függvény deriváltjának értékét az Xo pontban? Hogyan lehet ezt általában megoldani?

Ha a képlet adott, akkor keresse meg a deriváltot, és X helyett X-nullát helyettesítsen. Kiszámítja
Ha b-8 USE, gráfról beszélünk, akkor meg kell találni annak a szögnek az érintőjét (éles vagy tompa), amely érintőt képez az X tengellyel (egy derékszögű háromszög mentális konstrukciójával és meghatározva a szög érintője)

Timur Adilhodzsaev

Először is el kell döntenie a jelet. Ha az x0 pont a koordinátasík alsó részén van, akkor a válasz előjele mínusz, ha pedig magasabb, akkor +.
Másodszor, tudnia kell, hogy egy téglalap alakú téglalapban milyen érintések vannak. Ez pedig az ellenkező oldal (láb) és a szomszédos oldal (szintén láb) aránya. A festményen általában fekete foltok találhatók. Ezekből a jelekből derékszögű háromszöget készít, és érintőket talál.

Hogyan találjuk meg az f x függvény deriváltjának értékét az x0 pontban?

nincs konkrét kérdés – 3 évvel ezelőtt

Általánosságban elmondható, hogy ahhoz, hogy bármely függvény deriváltjának értékét meg lehessen találni valamely változóra vonatkozóan, meg kell különböztetni az adott függvényt ehhez a változóhoz képest. Esetedben az X változóval. A kapott kifejezésben X helyett az x értékét tedd arra a pontra, amelyhez meg kell találnod a derivált értékét, pl. az Ön esetében cserélje ki a nulla X-et, és számítsa ki az eredményül kapott kifejezést.

Nos, a kérdés megértésére irányuló vágya véleményem szerint kétségtelenül megérdemli a +-t, amit tiszta lelkiismerettel teszek.

A származék megtalálásának problémájának ezt a megfogalmazását gyakran azért teszik fel, hogy az anyagot a származék geometriai jelentéséhez rögzítsék. Egy adott függvény gráfja javasolt, teljesen tetszőleges és nem egyenlettel adott, és meg kell találni a derivált értékét (nem magát a deriváltot, figyelem!) a megadott X0 pontban. Ehhez megszerkesztjük egy adott függvény érintővonalát, és megtaláljuk a koordinátatengelyekkel való metszéspontját. Ekkor ennek az érintővonalnak az egyenlete y = kx + b alakban készül.

Ebben az egyenletben a k és együttható a derivált értéke. már csak meg kell találni a b együttható értékét. Ehhez keressük meg y értékét x = o-nál, legyen egyenlő 3-mal - ez a b együttható értéke. Az X0 és Y0 értékeit behelyettesítjük az eredeti egyenletbe, és megtaláljuk k - a derivált értékét ezen a ponton.

A B9 feladat egy függvény vagy derivált grafikonját adja meg, amelyből a következő mennyiségek egyikét kívánja meghatározni:

1. A derivált értéke egy bizonyos ponton x 0,
2. Magas vagy mélypontok (szélsőséges pontok),
3. A függvény növelésének és csökkentésének intervallumai (monotonitás intervallumai).

A feladatban bemutatott függvények és deriváltak mindig folytonosak, ami nagyban leegyszerűsíti a megoldást. Annak ellenére, hogy a feladat a matematikai elemzés részéhez tartozik, a leggyengébb tanulók számára is bőven megvan, hiszen itt nincs szükség mély elméleti tudásra.

Léteznek egyszerű és univerzális algoritmusok a derivált értékének, a szélsőpontok és a monotonitási intervallumok értékének meghatározására - mindegyiket az alábbiakban tárgyaljuk.

Gondosan olvassa el a B9 feladat feltételét, hogy elkerülje a hülye hibákat: néha elég terjedelmes szövegekkel találkozik, de nincs sok fontos körülmény, amely befolyásolja a megoldás menetét.

A derivált értékének kiszámítása. Kétpontos módszer

Ha a feladatban adott az f (x) függvény grafikonja, amely érinti ezt a gráfot valamilyen x 0 pontban, és ebben a pontban meg kell találni a derivált értékét, akkor a következő algoritmust alkalmazzuk:

1. Keress két "megfelelő" pontot az érintőgráfon: ezek koordinátáinak egész számoknak kell lenniük. Jelöljük ezeket a pontokat A-val (x 1; y 1) és B-vel (x 2; y 2). Írja ki helyesen a koordinátákat - ez a megoldás kulcspontja, és minden hiba rossz válaszhoz vezet.
2. A koordináták ismeretében könnyen kiszámítható a Δx = x 2 - x 1 argumentum és a Δy = y 2 - y 1 függvény növekménye.
3. Végül megtaláljuk a D = Δy / Δx derivált értékét. Más szóval, el kell osztani a függvény növekményét az argumentum növekményével - és ez lesz a válasz.

Jegyezzük meg még egyszer: az A és B pontot pontosan az érintő egyenesen kell keresni, nem pedig az f (x) függvény grafikonján, ahogy ez gyakran előfordul. Az érintővonalnak szükségszerűen legalább két ilyen pontot kell tartalmaznia - különben a probléma nincs megfelelően megírva.

Tekintsük az A (–3; 2) és B (–1; 6) pontot, és keressük meg a növekményt:
Δx = x 2 - x 1 = -1 - (-3) = 2; Δy = y 2 - y 1 = 6 - 2 = 4.

Határozzuk meg a derivált értékét: D = Δy / Δx = 4/2 = 2.

Feladat. Az ábrán az y = f (x) függvény grafikonja és a hozzá tartozó érintője látható az x 0 abszcissza pontban. Határozzuk meg az f (x) függvény deriváltjának értékét az x 0 pontban.

Tekintsük az A (0; 3) és B (3; 0) pontot, keresse meg a lépésközöket:
Δx = x 2 - x 1 = 3 - 0 = 3; Δy = y 2 - y 1 = 0 - 3 = -3.

Most megtaláljuk a derivált értékét: D = Δy / Δx = −3/3 = −1.

Feladat. Az ábrán az y = f (x) függvény grafikonja és a hozzá tartozó érintője látható az x 0 abszcissza pontban. Határozzuk meg az f (x) függvény deriváltjának értékét az x 0 pontban.

Tekintsük az A (0; 2) és B (5; 2) pontokat, és keressük meg a növekményt:
Δx = x 2 - x 1 = 5 - 0 = 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Marad a derivált értékének meghatározása: D = Δy / Δx = 0/5 = 0.

Az utolsó példából megfogalmazhatunk egy szabályt: ha az érintő párhuzamos az OX tengellyel, akkor a függvény deriváltja az érintőpontban nulla. Ebben az esetben nem is kell semmit sem számolnia – csak nézze meg a diagramot.

A maximális és minimális pontok kiszámítása

Előfordul, hogy a B9 feladatban egy függvény grafikonja helyett a derivált grafikonja van megadva, és meg kell találni a függvény maximum- vagy minimumpontját. Ebben a helyzetben a kétpontos módszer haszontalan, de van egy másik, még egyszerűbb algoritmus. Először is határozzuk meg a terminológiát:

1. Egy x 0 pontot az f (x) függvény maximumpontjának nevezünk, ha ennek a pontnak valamelyik szomszédságában teljesül a következő egyenlőtlenség: f (x 0) ≥ f (x).
2. Egy x 0 pontot az f (x) függvény minimumpontjának nevezünk, ha ennek a pontnak valamelyik szomszédságában teljesül a következő egyenlőtlenség: f (x 0) ≤ f (x).

Ahhoz, hogy a derivált grafikonján megtaláljuk a maximális és minimális pontokat, elegendő a következő lépéseket végrehajtani:

1. Rajzolja újra a derivált grafikonját, távolítson el minden felesleges információt. A gyakorlat azt mutatja, hogy a felesleges adatok csak zavarják a megoldást. Ezért a koordinátatengelyen a derivált nulláit jelöljük - ennyi.
2. Keresse meg a derivált előjeleit a nullák közötti intervallumokban! Ha egy x 0 pontról ismert, hogy f '(x 0) ≠ 0, akkor csak két lehetőség lehetséges: f' (x 0) ≥ 0 vagy f '(x 0) ≤ 0. A derivált előjele lehet könnyen meghatározható a kezdeti rajzból: ha a derivált grafikonja az OX tengely felett van, akkor f '(x) ≥ 0. És fordítva, ha a derivált grafikonja az OX tengely alatt van, akkor f' (x) ) ≤ 0.
3. Ellenőrizze újra a derivált nulláit és előjeleit. Ahol a jel mínuszról pluszra változik, ott van egy minimumpont. Ezzel szemben, ha a derivált előjele pluszról mínuszra változik, ez a maximális pont. A számlálás mindig balról jobbra haladva történik.

Ez a séma csak folyamatos függvényeknél működik – a B9 feladatban nincs más.

Feladat. Az ábrán az f (x) függvény deriváltjának grafikonja látható a [−5; 5]. Keresse meg az f (x) függvény minimális pontját ezen a szakaszon.

Szabaduljunk meg a felesleges információktól – csak a határokat hagyjuk meg [−5; 5] és az x = −3 és x = 2,5 derivált nullái. Vegye figyelembe a jeleket is:

Nyilvánvaló, hogy az x = −3 pontban a derivált előjele mínuszról pluszra változik. Ez a minimum pont.

Feladat. Az ábra az f (x) függvény deriváltjának grafikonját mutatja, amely a [−3; 7]. Keresse meg az f (x) függvény maximális pontját ezen a szakaszon.

Rajzoljuk át a grafikont úgy, hogy csak a határokat hagyjuk meg [−3; 7] és az x = −1,7 és x = 5 derivált nullái. Jegyezzük fel a derivált előjeleit a kapott gráfon. Nekünk van:

Nyilvánvaló, hogy az x = 5 pontban a derivált előjele pluszról mínuszra változik - ez a maximum pont.

Feladat. Az ábrán az f (x) függvény deriváltjának grafikonja látható a [−6; 4]. Határozzuk meg az f (x) függvény azon maximális pontjainak számát, amelyek a [−4; 3].

A problémafelvetésből az következik, hogy elegendő csak a gráfnak azt a részét figyelembe venni, amelyet a [−4; 3]. Ezért építünk egy új diagramot, amelyen csak a határokat jelöljük [−4; 3] és a benne lévő derivált nullái. Mégpedig az x = −3,5 és x = 2 pontok.

Ennek a gráfnak csak egy maximális pontja van x = 2. Ezen a ponton változik a derivált előjele pluszról mínuszra.

Gyors megjegyzés a nem egész koordinátákkal rendelkező pontokhoz. Például az utolsó feladatban a pontot x = −3,5-nek tekintettük, de ugyanígy vehetjük x = −3,4-et is. A probléma helyes megfogalmazása esetén az ilyen változtatások nem befolyásolhatják a választ, mivel a „határozott lakhely nélküli” pontok közvetlenül nem vesznek részt a probléma megoldásában. Természetesen ez a trükk egész pontokkal nem működik.

Növekvő és csökkenő függvények intervallumainak megtalálása

Egy ilyen feladatnál a maximum és minimum pontokhoz hasonlóan azt javasoljuk, hogy a derivált gráfból keressük meg azokat a régiókat, amelyekben maga a függvény növekszik vagy csökken. Először is határozzuk meg, mi növekszik és mi csökken:

1. Egy f (x) függvényt növekvőnek nevezünk egy szakaszon, ha ebből a szakaszból bármely két x 1 és x 2 pontra igaz a következő állítás: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≤ f (x 2). Más szóval, minél nagyobb az argumentum értéke, annál nagyobb a függvény értéke.
2. Egy f (x) függvényt csökkenőnek nevezünk egy szakaszon, ha ebből a szakaszból bármely két x 1 és x 2 pontra igaz a következő állítás: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≥ f (x 2). Azok. minél nagyobb az argumentum értéke, annál kisebb a függvény értéke.

Fogalmazzunk meg elegendő feltételeket a növekedéshez és a csökkenéshez:

1. Ahhoz, hogy egy f (x) folytonos függvény növekedjen egy szakaszon, elegendő, ha a szegmensen belüli deriváltja pozitív, azaz. f '(x) ≥ 0.
2. Ahhoz, hogy egy f (x) folytonos függvény egy szakaszon csökkenjen, elegendő, ha a szegmensen belüli deriváltja negatív, azaz. f '(x) ≤ 0.

Fogadjuk el ezeket az állításokat bizonyíték nélkül. Így kapunk egy sémát a növekedési és csökkenési intervallumok megtalálására, amely sok tekintetben hasonlít az extrémumpontok kiszámításának algoritmusához:

1. Távolítson el minden felesleges információt. A derivált eredeti görbéjén elsősorban a függvény nullái érdekelnek minket, ezért csak azokat hagyjuk meg.
2. Jegyezzük fel a derivált előjeleit a nullák közötti intervallumokban. Ahol f ’(x) ≥ 0, a függvény növekszik, és ahol f’ (x) ≤ 0, csökken. Ha a feladatnak vannak korlátozásai az x változóra vonatkozóan, akkor ezeket az új gráfon is megjelöljük.
3. Most, hogy ismerjük a függvény viselkedését és a kényszert, hátra van a feladatban szükséges érték kiszámítása.

Feladat. Az ábra az f (x) függvény deriváltjának grafikonját mutatja, amely a [−3; 7.5]. Határozzuk meg az f (x) függvény csökkenési intervallumait! Válaszában adja meg az ezekben az intervallumokban szereplő egész számok összegét!

Szokás szerint rajzolja át a grafikont és jelölje be a határokat [−3; 7.5], valamint az x = -1,5 és x = 5,3 derivált nullái. Ezután megjelöljük a derivált jeleit. Nekünk van:

Mivel a derivált negatív a (-1,5) intervallumon, ez a csökkenő függvény intervalluma. Marad az összes olyan egész szám összegzése, amelyek ezen az intervallumon belül vannak:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Feladat. Az ábrán az f (x) függvény [−10; 4]. Határozzuk meg az f (x) függvény növekedési intervallumait! A válaszban tüntesse fel közülük a leghosszabb hosszát!

Szabaduljunk meg a felesleges információktól. Csak a szegélyeket hagyja meg [−10; 4] és a derivált nullái, amely ezúttal négy lett: x = −8, x = −6, x = −3 és x = 2. Jegyezzük fel a derivált előjeleit, és kapjuk a következő képet:

A függvény növelésének intervallumaira vagyunk kíváncsiak, pl. ilyen, ahol f '(x) ≥ 0. Két ilyen intervallum van a grafikonon: (−8; −6) és (−3; 2). Számítsuk ki a hosszukat:
l 1 = - 6 - (-8) = 2;
l 2 = 2 - (-3) = 5.

Mivel meg kell találni a legnagyobb intervallum hosszát, ezért a válaszba írjuk fel az l 2 = 5 értéket.