Шар вписанный в призму свойства. Комбинации шара с многогранниками. Шар, вписанный в призму. Комбинация шара с круглыми телами

Опыт работы в старших классах показал недостаточность многосторонности задач по геометрии и итогом решением этой проблемы стал задачник по геометрии (порядка 4000 задач), в котором 24 главы. Цель этой статьи - одна из глав книги: “Вписанный и описанный шар” .

Для составления многовариантных заданий при изучении темы “Вписанный и описанный шар” решены задачи в общем виде:

1. Шар вписан в правильную пирамиду – рассматриваются R шар , r - радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, r сеч – радиус окружности касания боковой поверхности пирамиды и шара, h - высота пирамиды, h 1 – апофема, с – длина бокового ребра, a - угол между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды – с учетом когда известны две величины, находятся остальные – всего рассмотрено 15 вариантов:

(r, R ш), (r, h 1), (r, h), (r, a), (r, r сеч), (R ш, h 1), (R ш, h), (R ш, a), (h 1 , h), (h 1 , a), (h 1 , r сеч), (h, a), (h, r сеч), (a , r сеч).

2. Шар вписан в пирамиду, боковые грани которой, равнонаклонены к плоскости основания пирамиды – рассмотрены варианты, когда основание – треугольник, ромб, трапеция – в этих случаях приведена таблица конкретных данных.

3. Сфера описана около правильной пирамиды - рассматриваются, R сферы - радиус сферы, R опис.окр -радиус окружности описанной около основания, h 1 – апофема боковой грани правильной пирамиды, h - высота пирамиды; с – длина бокового ребра; a - угол между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды, b - угол между боковым ребром и плоскостью основания.

4. Сфера описана около пирамиды боковые ребра которой равны или равнонаклонены к плоскости основания – приведены таблица данных на R шар , R - радиус окружности, описанной около основания пирамиды, h - высота пирамиды, h 1 – апофема, a - угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.

5. Шар вписан в конус – рассматриваются R шар , R кон - радиус основания конуса, r сеч – радиус окружности касания боковой поверхности пирамиды и шара, h - высота конуса, l – образующая конуса, a - угол между образующей и плоскостью основания конуса – с учетом когда известны две величины, находятся остальные – всего рассмотрено 15 вариантов - (R кон, R шар), (R кон, a), (R кон, l), (R кон, h), (R кон, r сеч), (R шар,a), (R шар, l), (R шар, h), (R шар, r сеч), (l, a), (h, a), (r сеч, a), (l, h), (l, r сеч), (h, r сеч).

6. Конус вписан в сферу - рассматриваются R шар , R кон - радиус основания конуса, d – расстояние от центра сферы до плоскости основания конуса, h - высота конуса, l – образующая конуса, a - угол между образующей и плоскостью основания конуса – с учетом когда известны две величины, находятся остальные – всего рассмотрены пары (R кон, R шар), (R кон, a), (R кон, l), (R кон, h), (R кон, d, положение центра шара относительно конуса), (R шар, a), (R шар, l), (R шар, h), (R шар, d), (l, a), (h, a), (d, a), (l, h), (l, d), (h, d).

7. Шар вписан в усеченный конус - рассматриваются R шар , R, r – радиусы нижнего и большего оснований усеченного конуса, l – образующая конуса, a - угол между образующей и плоскостью основания конуса, r сеч – радиус окружности касания боковой поверхности конуса и шара; с учетом когда известны две величины, находятся остальные – всего рассмотрены пары - (r, R), (R шар, R), (R, l), (r сеч, R), (R, a), (R шар, l), (R шар, l), (R шар, r сеч), (R шар, a), (l, r сеч), (l, a), (r сеч, a) ; составлена таблица конкретных числовых данных, в которой участвуют радиус шара, радиусы оснований, образующая, синус угла между образующей и плоскостью основания, поверхность и объем шара и усеченного конуса.

8. Сфера описана около усеченного конуса - рассматриваются R сферы , R, r – радиусы нижнего и большего оснований усеченного конуса, l – образующая конуса, a - угол между образующей и плоскостью основания конуса, в отдельных задача вводится положение центра сферы относительно конуса; с учетом когда известны три величины, находятся остальные – всего рассмотрены тройки - (r,R,h), (R, r, a), (r, R, l), (r, R, R шар, положение центра сферы), (h, R, R шар, положение центра сферы) , (l, R, R шар, положение центра сферы), (a , R, R шар , положение центра сферы ), (h, R, l), (a , R, h), (a , R, l), (l, h, R шар), (a , h, R шар), (a , l, R сф ).

На основе полученных таблиц был составлена одна из глав задачника по геометрии, которая называется: Глава 24. Шар и другие тела. Глава состоит из пунктов, в которой в свою очередь есть подпункты.

24.1. Шар вписан в цилиндр

24.1.02. В цилиндр вписан шар. Найти отношение объемов цилиндра и шара.

24.1.03. В цилиндр вписан шар. Найти отношение полной поверхности цилиндра и поверхности шара.

24.2. Сфера описана около цилиндра

24.2.01. В шар объемом V шар вписан цилиндр, образующая которого видна из центра шара под углом a . Найти объем цилиндра.

24.2.03. Вокруг цилиндра объемом V описан шар. Найдите зависимость радиуса шара от высоты цилиндра и высоту цилиндра, при которой площадь поверхности шара будет наименьшей.

24.3. Сфера и цилиндр

24.3.01. Металлический цилиндр с диаметром основания D цил и высотой h цил переплавлен в шар. Вычислить радиус этого шара.

24.3.03. В цилиндрический сосуд, радиус основания которого R цил , помещен шар с радиусом R шара . В сосуд наливается вода так, что свободная поверхность ее касается поверхности шара (шар при этом не всплывает). Определить толщину того слоя воды, который получится, если шар из сосуда вынуть.

24.4. Шар вписан в конус

24.4.01. В конус, осевое сечение которого есть равносторонний треугольник, вписан шар. Найти радиус шара, если радиус основания конуса равен R кон

24.4.05. В конус, осевым сечением которого является равносторонний треугольник, вписан шар, объем которого равен V шара . Найти высоту конуса, если:

24.4.07. В конус, осевое сечение которого есть равносторонний треугольник, вписан шар. Найти объем конуса, если объем шара равен V ш .

24.4.09 В прямой круговой конус с радиусом основания R кон вписан шар радиуса R шар . Вычислить объем конуса.

24.4.14. В конус объемом V вписан шар. Найти радиус окружности касания шаровой и конической поверхности, если радиус основания конуса равен R кон .

24.4.16. В конус вписан шар. Площадь поверхности шара относится к площади основания конуса, как m:n . Найти угол при вершине конуса.

24.4.24. Площадь основания конуса S осн . Площадь боковой поверхности конуса S бок . Найти радиус вписанной в конус сферы.

24.4.25. Площадь основания конуса равна S осн , а площадь его полной поверхности равна S полн . Найти радиус шара, вписанного в конус.

24.4.28. В конус вписан шар. Найти радиус окружности касания шаровой и конической поверхности, если радиус основания конуса равен R кон , образующая - l .

24.4.34. Около шара радиуса R шар описан конус, высота которого h . Найти радиус основания конуса и радиус окружности касания шаровой и конической поверхности.

24.4.38. В конус вписан шар. Радиус окружности, по которой касаются конус и шар, равен r сеч . Найти объем конуса, если радиус шара равен R шара .

24.4.43. Образующая прямого конуса равна l кон , радиус окружности касания конической и шаровой поверхности равен r сеч . Найти площадь боковой поверхности конуса.

24.5. Сфера описана около конуса

24.5.02. Около конуса описана сфера. Найти радиус сферы, если известны радиус основания конуса - R кон и угол a между образующей и плоскостью основания конуса.

24.5.03. Определить радиус сферы, описанной около конуса, у которого радиус основания равен R кон , а образующая равна l:

24.5.04. Определить поверхность сферы, описанной около конуса, у которого радиус основания равен R кон , а высота равна h:

24.5.06. В сферу вписан конус, объем которого в t раза меньше объема шара. Высота конуса равна h . Найти объем шара.

24.5.07. В сферу вписан конус. Найти высоту и образующую конуса, если известен радиус основания конуса R кон ирасстояние d от центра сферы до плоскости основания конуса.

24.5.12. Сфера радиуса R сф описана около конуса. Найти площадь боковой поверхности конуса, если его высота равна h :

24.5.16. Сфера описана около конуса. Найти радиус сферы, если угол между образующей конуса и его плоскостью основания равен a и расстояние от центра сферы до плоскости основания равен d :

24.5.17. Сфера описана около конуса, высота которого равна h , образующая - l . Найти расстояние от центра сферы до плоскости основания.

24.5.18. Сфера описана около конуса. Найти радиус сферы и основания конуса, если образующая конуса равна l и расстояние от центра сферы до плоскости основания d , причем известно положение центра сферы по отношению к конусу.

24.5.19. Сфера описана около конуса. Найти радиус основания конуса, если высота конуса равна h и расстояние от центра сферы до плоскости основания равен d .

24.6. Шар и конус

24.6.03. Тело состоит из двух конусов, имеющих общее основание и расположенных по разные стороны от плоскости основания. Найти радиус шара, вписанного в тело, если радиусы оснований конусов равны R кон , а высоты h 1 и h 2 .

24.6.04. Конус высотой h и углом между образующей и высотой, равным a , рассекается сферической поверхностью с центром в вершине конуса на две части. Каким должен быть радиус этой сферы, чтобы конус разбивался этой сферой на две равновеликие части?

24.7. Шар вписан в усеченный конус

24.7.02. Сфера вписана в усеченный конус, радиусы оснований которого R и r . Найти отношение площади сферы к площади боковой поверхности усеченного конуса.

24.7.03. Около шара описан усеченный конус. Найти радиус сечения сферической поверхности и боковой поверхности конуса, если радиус большего основания конуса R и образующая равна l /

24.7.05. Около шара описан усеченный конус. Радиус большего основания конуса R и радиус сечения сферической поверхности и боковой поверхности конуса равен r сеч . Найти радиус шара и радиус верхнего основания усеченного конуса.

24.7.10. Шар, поверхность которого равна S , вписан в усеченный конус. Угол между образующей конуса и его большим основанием равен a . Вычислить боковую поверхность этого конуса.

24.7.11. Около шара описан усеченный конус. Образующая конуса равна l и радиус сечения сферической поверхности и боковой поверхности конуса равен r сеч . Найти радиус шара и радиусы оснований усеченного конуса.

24.8. Сфера описана около усеченного конуса

24.8.01. Шар описан около усеченного конуса. Найти объем шара и соответствующих шаровых сегментов ограниченных основаниями конуса, если радиусы основания конуса R и r , высота конуса - h .

24.8.04. Сфера описана около усеченного конуса. Найти объем усеченного конуса, если радиусы основания конуса R и r , радиус сферы – R cф (рассмотреть два случая).

24.8.06. Известно, что центр сфера описаной около усеченного конуса расположен вне конуса. Найти объем усеченного конуса, если радиус большего основания конуса R , образующая конуса l , радиус сферы – R cф .

24.8.07. Cфера описана около усеченного конуса. Определить положение центра сферы, если радиус большего основания конуса R , образующая конуса l , высота конуса – h .

24.8.08. Найти радиус сферы описаной около усеченного конуса, если радиус большего основания конуса R , образующая конуса l , угол между образующей и плоскостью основания равен a .

24.8.09. Найти радиусы оснований усеченного конуса, если образующая конуса l , высота h , причем радиус сферы описанной около этого конуса равен R сф .

24.8.10. Найти объем усеченного конуса, вписанного в сферу, если образующая конуса l , угол между образующей и плоскостью основания равен a , радиус сферы описанной около этого конуса равен R сф .

24.9. Шар вписан в пирамиду

В задачах 24.9.01 – 24.9.19 . будут известны два из R шар, а , с , h , h 1 , a , b , r сеч и необходимо найти остальные (кроме углов).

24.9.01. Известны r и R шар .

24.9.02. Известны r и h 1 .

24.9.03. Известны r и h .

24.9.20. Найти полную поверхность шара, вписанную в треугольную пирамиду, все ребра которой равны а .

24.9.22. Шар радиусом R вписан в правильную треугольную пирамиду. Найти объем пирамиды, если известно, что апофема видна из центра шара под угло a .

24.10. Сфера описана около пирамиды

В задачах 24.10.01 – 24.10.16 . будут известны два из R сферы, а (R опис.окр) , с , h , h 1 , a , b и необходимо найти остальные (кроме углов).

24.10.01. Известны R опис.окр и R сферы .

24.10.09. Известны R сферы и h .

24.10.14. Известны h 1 и b .

24.10.17. Около правильной треугольной пирамиды с боковым ребром с описана сфера. Найти радиус сферы, если сторона основания равна а . Выяснить положение центра сферы по отношению к пирамиде.

24.10.18. Около правильной треугольной пирамиды описана сфера. Найти радиус сферы, если апофема равна h 1 и высота пирамиды равна h .

24.10.19. Около правильной треугольной пирамиды с боковым ребром с описан шар. Найти площадь поверхности шара и объем пирамиды, если боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания пирамиды угол b .

24.10.20. Найти радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды, если ее объем равен V пир , а высота h .

24.10.21. В сферу, радиус которой равен R сфера , вписана правильная треугольная пирамида. Высота пирамиды в t больше стороны основания. Найти сторону основания и объем пирамиды.

22.10.45. Радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды, равен R сферы r шар . Найти высоту, стороны основания, боковое ребро и апофему данной пирамиды.

24.10.46. Радиус сферы описанной около правильной четырехугольной пирамиды равен R сферы , радиус вписанного шара равен r шара . Найти высоту, ребра и объем пирамиды, угол между апофемой и плоскостью основания, если центр сферы и шара совпадают.

Боковые ребра равны или равнонаклонены к плоскости основания

24.10.48. В основании треугольной пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами а и в , а все боковые ребра наклонены к плоскости основания под равными углами. Радиус сферы, описанной вокруг данной пирамиды равен R сферы . Найдите высоту пирамиды.

24.10.49. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник со стороной а . Одна из боковых граней представляет собой такой же треугольник, при этом она перпендикулярна плоскости основания. Найдите радиус сферы, описанной вокруг пирамиды.

Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания

24.10.53. Основанием пирамиды МАВС является треугольник. Найти высоту пирамиды, если радиус сферы, описанной около пирамиды равен R сферы и одно боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

24.10.54. В основании пирамиды лежит равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом а . Одна из боковых граней представляет собой такой же треугольник, к тому же она перпендикулярна плоскости основания. Две другие грани также являются прямоугольными треугольниками. Найдите радиус шара, описанного вокруг пирамиды.

24.10.56. В сферу радиуса R сфера вписана правильная шестиугольная усеченная пирамида, у которой плоскость нижнего основания проходит через центр шара, а боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 60°. Определить объем пирамиды

24.10.58. Основанием пирамиды МАВСD является трапеция. Найти объем пирамиды, если радиус сферы, описанной около пирамиды равен R сферы и одно боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

24.11. Сфера и пирамида (другие случаи)

24.11.01. Шар касается двух граней и одного ребра правильного тетраэдра с ребром в . Найдите радиус шара.

24.11.02. Около шара описана правильная четырехугольная усеченная пирамида, у которой стороны оснований относятся, как т: п . Определить отношение объемов пирамиды и шара.

Или сферой . Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, называется радиусом . Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром . Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара. Всякое сечение шара плоскостью есть круг . Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра на секущую плоскость. Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью . Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом , а сечение сферы - большой окружностью . Любая диаметральная плоскость шара являются его плоскостью симметрии . Центр шара является его центром симметрии . Плоскость, проходящая через точку шаровой поверхности и перпендикулярная радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной плоскостью . Данная точка называется точкой касания . Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания. Прямая, проходящая через заданную точку шаровой поверхности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной . Через любую точку шаровой поверхности проходит бесконечно много касательных, причем все они лежат в касательной плоскости шара. Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Шаровым слоем называется часть шара, расположенная между двумя параллельными плоскостями, пересекающими шар. Шаровой сектор получается из шарового сегмента и конуса. Если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента. Если же сегмент больше полушара, то указанный конус из него удаляется. Основные формулы Шар (R = ОВ - радиус): S б = 4πR 2 ; V = 4πR 3 / 3. Шаровой сегмент (R = ОВ - радиус шара, h = СК - высота сегмента, r = КВ - радиус основания сегмента): V сегм = πh 2 (R - h / 3) или V сегм = πh(h 2 + 3r 2) / 6 ; S сегм = 2πRh . Шаровой сектор (R = ОВ - радиус шара, h = СК - высота сегмента): V = V сегм ± V кон, «+» - если сегмент меньше,«-» - если сегмент больше полусферы. или V = V сегм + V кон = πh 2 (R - h / 3) + πr 2 (R - h) / 3 . Шаровой слой (R 1 и R 2 - радиусы оснований шарового слоя; h = СК - высота шарового слоя или расстояние между основаниями): V ш/сл = πh 3 / 6 + πh(R 1 2 + R 2 2 ) / 2 ; S ш/сл = 2πRh . Пример 1. Объем шара равен 288π см 3 . Найти диаметр шара. Решение V = πd 3 / 6 288π = πd 3 / 6 πd 3 = 1728π d 3 = 1728 d = 12 см. Ответ: 12. Пример 2. Три равных сферы радиусом r касаются друг друга и некоторой плоскости. Определить радиус четвертой сферы, касающейся трех данных и данной плоскости. Решение Пусть О 1 , О 2 , О 3 - центры данных сфер и О - центр четвертой сферы, касающейся трех данных и данной плоскости. Пусть А, В, С, Т - точки касания сфер с данной плоскостью. Точки касания двух сфер лежат на линии центров этих сфер, поэтому О 1 О 2 = О 2 О 3 = О 3 О 1 = 2r . Точки равноудалены от плоскости АВС , поэтому АВО 2 О 1 , АВО 2 О 3 , АВО 3 О 1 - равные прямоугольники, следовательно, ∆АВС - равносторонний со стороной 2r . Пусть х - искомый радиус четвертой сферы. Тогда ОТ = х . Следовательно, Аналогично Значит, Т - центр равностороннего треугольника. Поэтому Отсюда Ответ: r / 3 . Сфера, вписанная в пирамиду В каждую правильную пирамиду можно вписать сферу. Центр сферы лежит на высоте пирамиды в точке ее пересечения с биссектрисой линейного угла при ребре основания пирамиды. Замечание. Если в пирамиду, необязательно правильную, можно вписать сферу, то радиус r этой сферы можно вычислить по формуле r = 3V / S пп , где V - объем пирамиды, S пп - площадь ее полной поверхности. Пример 3. Коническая воронка, радиус основания которой R , а высота H , наполнена водой. В воронку опущен тяжелый шар. Каким должен быть радиус шара, чтобы объем воды, вытесненный из воронки погруженной частью шара, был максимальным? Решение Проведем сечение через центр конуса. Данное сечение образует равнобедренный треугольник. Если в воронке находится шар, то максимальный размер его радиуса будет равен радиусу вписанной в получившийся равнобедренный треугольник окружности. Радиус вписанной в треугольник окружности равен: r = S / p , где S - площадь треугольника, p - его полупериметр. Площадь равнобедренного треугольника равна половине высоты (H = SO ), умноженной на основание. Но поскольку основание - удвоенный радиус конуса, то S = RH . Полупериметр равен p = 1/2 (2R + 2m) = R + m . m - длина каждой из равных сторон равнобедренного треугольника; R - радиус окружности, составляющей основание конуса. Найдем m по теореме Пифагора: , откуда Кратко это выглядит следующим образом: Ответ: Пример 4. В правильной треугольной пирамиде с двугранным углом при основании, равным α , расположены два шара. Первый шар касается всех граней пирамиды, а второй шар касается всех боковых граней пирамиды и первого шара. Найти отношение радиуса первого шара к радиусу второго шара, если tgα = 24/7 . Решение
Пусть РАВС - правильная пирамида и точка Н - центр ее основания АВС . Пусть М - середина ребра ВС . Тогда - линейный угол двугранного угла , который по условию равен α , причем α < 90° . Центр первого шара, касающегося всех граней пирамиды, лежит на отрезке РН в точке его пересечения с биссектрисой . Пусть НН 1 - диаметр первого шара и плоскость, проходящая через точку Н 1 перпендикулярно прямой РН , пересекает боковые ребра РА, РВ, РС соответственно в точках А 1 , В 1 , С 1 . Тогда Н 1 будет центром правильного ∆А 1 В 1 С 1 , а пирамида РА 1 В 1 С 1 будет подобна пирамиде РАВС с коэффициентом подобия k = РН 1 / РН . Заметим, что второй шар, с центром в точке О 1 , является вписанным в пирамиду РА 1 В 1 С 1 и поэтому отношение радиусов вписанных шаров равно коэффициенту подобия: ОН / ОН 1 = РН / РН 1 . Из равенства tgα = 24/7 находим: Пусть АВ = х . Тогда Отсюда искомое отношение ОН / О 1 Н 1 = 16/9. Ответ: 16/9. Сфера, вписанная в призму Диаметр D сферы, вписанной в призму, равен высоте Н призмы: D = 2R = H . Радиус R сферы, вписанной в призму, равен радиусу окружности, вписанной в перпендикулярное сечение призмы. Если в прямую призму вписана сфера, то в основание этой призмы можно вписать окружность. Радиус R сферы, вписанной в прямую призму, равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы. Теорема 1 Пусть в основание прямой призмы можно вписать окружность, и высота Н призмы равна диаметру D этой окружности. Тогда в эту призму можно вписать сферу диаметром D . Центр этой вписанной сферы совпадает с серединой отрезка, соединяющего центры окружностей, вписанных в основания призмы. Доказательство Пусть АВС…А 1 В 1 С 1 … - прямая призма и О - центр окружности, вписанной в ее основание АВС . Тогда точка О равноудалена от всех сторон основания АВС . Пусть О 1 - ортогональная проекция точки О на основание А 1 В 1 С 1 . Тогда О 1 равноудалена от всех сторон основания А 1 В 1 С 1 , и ОО 1 || АА 1 . Отсюда следует, что прямая ОО 1 параллельна каждой плоскости боковой грани призмы, а длина отрезка ОО 1 равна высоте призмы и, по условию, диаметру окружности, вписанной в основание призмы. Значит, точки отрезка ОО 1 равноудалены от боковых граней призмы, а середина F отрезка ОО 1 , равноудаленная от плоскостей оснований призмы, будет равноудалена от всех граней призмы. То есть F - центр сферы, вписанной в призму, и диаметр этой сферы равен диаметру окружности, вписанной в основание призмы. Теорема доказана. Теорема 2 Пусть в перпендикулярное сечение наклонной призмы можно вписать окружность, и высота призмы равна диаметру этой окружности. Тогда в эту наклонную призму можно вписать сферу. Центр этой сферы делит высоту, проходящую через центр окружности, вписанной в перпендикулярное сечение, пополам. Доказательство
Пусть АВС…А 1 В 1 С 1 … - наклонная призма и F - центр окружности радиусом FK , вписанной в ее перпендикулярное сечение. Поскольку перпендикулярное сечение призмы перпендикулярно каждой плоскости ее боковой грани, то радиусы окружности, вписанной в перпендикулярное сечение, проведенные к сторонам этого сечения, являются перпендикулярами к боковым граням призмы. Следовательно, точка F равноудалена от всех боковых граней. Проведем через точку F прямую ОО 1 , перпендикулярную плоскости оснований призмы, пересекающую эти основания в точках О и О 1 . Тогда ОО 1 - высота призмы. Поскольку по условию ОО 1 = 2FK , то F - середина отрезка ОО 1 : FK = ОО 1 / 2 = FО = FО 1 , т.е. точка F равноудалена от плоскостей всех без исключения граней призмы. Значит, в данную призму можно вписать сферу, центр которой совпадает с точкой F - центром окружности, вписанной в то перпендикулярное сечение призмы, которое делит высоту призмы, проходящую через точку F , пополам. Теорема доказана. Пример 5. В прямоугольный параллелепипед вписан шар радиуса 1. Найдите объем параллелепипеда. Решение Нарисуйте вид сверху. Или сбоку. Или спереди. Вы увидите одно и то же - круг, вписанный в прямоугольник. Очевидно, этот прямоугольник будет квадратом, а параллелепипед будет кубом. Длина, ширина и высота этого куба в два раза больше, чем радиус шара. АВ = 2 , а следовательно, объем куба равен 8. Ответ: 8. Пример 6. В правильной треугольной призме со стороной основания, равной , расположены два шара. Первый шар вписан в призму, а второй шар касается одного основания призмы, двух ее боковых граней и первого шара. Найти радиус второго шара. Решение
Пусть АВСА 1 В 1 С 1 - правильная призма и точки Р и Р 1 - центры ее оснований. Тогда центр шара О , вписанного в эту призму, является серединой отрезка РР 1 . Рассмотрим плоскость РВВ 1 . Поскольку призма правильная, то РВ лежит на отрезке BN , который является биссектрисой и высотой ΔАВС . Следовательно, плоскость и является биссекторной плоскостью двугранного угла при боковом ребре ВВ 1 . Поэтому любая точка этой плоскости равноудалена от боковых граней АА 1 ВВ 1 и СС 1 В 1 В . В частности, перпендикуляр ОК , опущенный из точки О на грань АСС 1 А 1 , лежит в плоскости РВВ 1 и равен отрезку ОР . Заметим, что KNPO - квадрат, сторона которого равна радиусу шара, вписанного в данную призму. Пусть О 1 - центр шара, касающегося вписанного шара с центром О и боковых граней АА 1 ВВ 1 и СС 1 В 1 В призмы. Тогда точка О 1 лежит плоскости РВВ 1 , а ее проекция Р 2 на плоскость АВС лежит на отрезке РВ . По условию сторона основания равна

Шар называется вписанным в многограник, а многограник называется опиисанным около шара, если поверхность шара касается всех граней многограника.

Шар можно вписать в призму т и тт к призма прямая, а её высота равна диаметру окружности вписанной в основание призмы.

Следствие 1. Центр шара, вписанного в прямую призму, лежит в середине высоты призмы, проходящей через центр окружности, вписанной в основание.

Следствие 2. Шар, в частности, можно вписать в прямые: треугольную, правильную, четырехугольную (у которой суммы противоположных сторон основания равны между собой) при условии Н = 2r, где Н – высота призмы, r – радиус круга, вписанного в основание.

Комбинации шара с многогранниками. Сфера, описанная около призмы.

Сфера называется описанной около многограника, если все вершины многограника лежат на сфере.

Призма называется вписанной в сферу, если все её вершины лежат на поверхности сферы.

Сферу можно описать около призмы в том и только в том случае, если призма прямая и около ее основания можно описать окружность.

Следствие 1. Центр сферы, описанной около прямой призмы, лежит на середине высоты призмы, проведенной через центр круга, описанного около основания.

Следствие 2. Сферу, в частности, можно описать: около прямой треугольной призмы, около правильной призмы, около прямоугольного параллелепипеда, около прямой четырехугольной призмы, у которой сумма противоположных углов основания равна 180 градусов.

Комбинации цилиндра, конуса и усеченного конуса с многогранниками.

Цилиндр и призма

Вписанный и описанный цилиндр: Призма называется вписанной в цилиндр, если основание её равные многоугольники, вписанные в основание цилиндра, а боковые рёбра являются образующими цилиндра.

Призма называется описанной около цилиндра, если основание её - это многоугольники описанные около основания цилиндра, а боковые грани касаются цилиндра.

Призму можно вписать в прямой круговой цилиндр т и тт к она прямая и вокруг основания призмы можно описать окружность.

Призму можно описать около цилиндра т и тт к она прямая и в её основания можно вписать окружность.

Конус и пирамида

Пирамидой, вписанной в конус, является такая пирамида, основание которой

есть многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, а вершиной

является вершина конуса. Боковые ребра такой пирамиды являются образующими

Пирамидой, описанной около конуса, является такая пирамида, основание

которой есть многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина

совпадает с вершиной конуса. Плоскости боковых граней такой пирамиды

являются касательными плоскостями конуса.

Пирамиду можно вписать в прямой круговой конус т и т т к существует окружность описаная около основания пирамиды и высота пирамиды проецируется в центр этой окружности.

Пирамиду можно описать вокруг конуса т и т т к существует окружность вписаная в основания и высота пирамиды проецируется в центр этой окружности.

Центр вписанного шара - точка пересечения биссекторных плоскостей, построенных для всех имеющихся в пирамиде двугранных углов; если эти биссекторные плоскости не имеют общей точки, то шар вписать нельзя.

Частный случай: боковые грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания. Тогда:

шар вписать можно;

центр О шара лежит на высоте пирамиды, конкретнее - это точка пересечения высоты с биссектрисой угла между апофемой и проекцией этой апофемы на плоскость основания.

6.2. Шар и прямая призма

В прямую призму можно вписать шар тогда и только тогда, когда:

в основание призмы можно вписать окружность,

диаметр этой окружности равен высоте призмы.

Центром шара служит середина отрезка, соединяющего центры вписанных в основания окружностей.

где - радиус вписанного шара; - радиус вписанной в основание окружности; Н - высота призмы.

6.3. Шар и цилиндр

В цилиндр можно вписать шар тогда и только тогда, когда осевое сечение цилиндра - квадрат (такой цилиндр иногда называют равносторонним). Центром шара служит центр симметрии осевого сечения цилиндра.

6.4. Шар и конус

В конус можно вписать шар всегда. Центром шара служит центр окружности, вписанной в осевое сечение конуса.

6.5. Шар и усеченный конус

В усеченный конус можно вписать шар тогда и только тогда, когда

Чтобы легко справиться с решением задач на шар, вписанный в пирамиду, полезно разобрать небольшой теоретический материал.

Шар вписан в пирамиду (или сфера вписана в пирамиду) — значит, шар (сфера) касаются каждой грани пирамиды. Плоскости, содержащие грани пирамиды, являются касательными плоскостями шара. Отрезки, соединяющие центр шара с точками касания, перпендикуляры к касательным плоскостям. Их длины равны радиусу шара. Центр вписанного в пирамиду шара — точка пересечения бисекторных плоскостей двугранных углов при основании (то есть плоскостей, делящих эти углы пополам).

Чаще всего в задачах речь идет о шаре, вписанном в правильную пирамиду. Шар можно вписать в любую правильную пирамиду. Центр шара в этом случае лежит на высоте пирамиды. При решении задачи удобно провести сечение пирамиды и шара плоскостью, проходящей через апофему и высоту пирамиды.

Если пирамида четырехугольная или шестиугольная, сечение представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого — апофемы, а основание — диаметр вписанной в основание окружности.

Если пирамида треугольная или пятиугольная, достаточно рассмотреть лишь часть этого сечения — прямоугольный треугольник, катеты которого — высота пирамиды и радиус вписанной в основание пирамиды окружности, а гипотенуза — апофема.

В любом случае, в итоге приходим к рассмотрению соответствующего прямоугольного треугольника и других связанных с ним треугольников.

Итак, в прямоугольном треугольнике SOF катет SO=H — высота пирамиды, катет OF=r — радиус вписанной в основание пирамиды окружности, гипотенуза SF=l — апофема пирамиды. O1- центр шара и, соответственно, окружности, вписанной в треугольник, полученный в сечении (мы рассматриваем его часть). Угол SFO — линейный угол двугранного угла между плоскостью основания и плоскостью боковой грани SBC. Точки K и O — точки касания, следовательно, O1K перпендикулярен SF. OO1=O1K=R — радиусу шара.