Регрессионный анализ - это метод установления аналитического выражения стохастической зависимости между исследуемыми признаками. Уравнение регрессии показывает, как в среднем изменяется у при изменении любого из x i , и имеет вид:

где у - зависимая переменная (она всегда одна);

х i - независимые переменные (факторы) (их может быть несколько).

Если независимая переменная одна - это простой регрессионный анализ. Если же их несколько (п 2), то такой анализ называется многофакторным.

В ходе регрессионного анализа решаются две основные задачи:

построение уравнения регрессии, т.е. нахождение вида зависимости между результатным показателем и независимыми факторами x 1 , x 2 , …, x n .

оценка значимости полученного уравнения, т.е. определение того, насколько выбранные факторные признаки объясняют вариацию признака у.

Применяется регрессионный анализ главным образом для планирования, а также для разработки нормативной базы.

В отличие от корреляционного анализа, который только отвечает на вопрос, существует ли связь между анализируемыми признаками, регрессионный анализ дает и ее формализованное выражение. Кроме того, если корреляционный анализ изучает любую взаимосвязь факторов, то регрессионный - одностороннюю зависимость, т.е. связь, показывающую, каким образом изменение факторных признаков влияет на признак результативный.

Регрессионный анализ - один из наиболее разработанных методов математической статистики. Строго говоря, для реализации регрессионного анализа необходимо выполнение ряда специальных требований (в частности, x l ,x 2 ,...,x n ; y должны быть независимыми, нормально распределенными случайными величинами с постоянными дисперсиями). В реальной жизни строгое соответствие требованиям регрессионного и корреляционного анализа встречается очень редко, однако оба эти метода весьма распространены в экономических исследованиях. Зависимости в экономике могут быть не только прямыми, но и обратными и нелинейными. Регрессионная модель может быть построена при наличии любой зависимости, однако в многофакторном анализе используют только линейные модели вида:

Построение уравнения регрессии осуществляется, как правило, методом наименьших квадратов, суть которого состоит в минимизации суммы квадратов отклонений фактических значений результатного признака от его расчетных значений, т.е.:

где т - число наблюдений;

j = a + b 1 x 1 j + b 2 x 2 j + ... + b n х n j - расчетное значение результатного фактора.

Коэффициенты регрессии рекомендуется определять с помощью аналитических пакетов для персонального компьютера или специального финансового калькулятора. В наиболее простом случае коэффициенты регрессии однофакторного линейного уравнения регрессии вида y = а + bх можно найти по формулам:

Кластерный анализ

Кластерный анализ - один из методов многомерного анализа, предназначенный для группировки (кластеризации) совокупности, элементы которой характеризуются многими признаками. Значения каждого из признаков служат координатами каждой единицы изучаемой совокупности в многомерном пространстве признаков. Каждое наблюдение, характеризующееся значениями нескольких показателей, можно представить как точку в пространстве этих показателей, значения которых рассматриваются как координаты в многомерном пространстве. Расстояние между точками р и q с k координатами определяется как:

Основным критерием кластеризации является то, что различия между кластерами должны быть более существенны, чем между наблюдениями, отнесенными к одному кластеру, т.е. в многомерном пространстве должно соблюдаться неравенство:

где r 1, 2 - расстояние между кластерами 1 и 2.

Так же как и процедуры регрессионного анализа, процедура кластеризации достаточно трудоемка, ее целесообразно выполнять на компьютере.

После того как с помощью корреляционного анализа выявлено наличие статистических связей между переменными и оценена степень их тесноты, обычно переходят к математическому описанию конкретного вида зависимостей с использованием регрессионного анализа. С этой целью подбирают класс функций, связывающий результативный показатель у и аргументы х 1, х 2,…, х к отбирают наиболее информативные аргументы, вычисляют оценки неизвестных значений параметров уравнения связи и анализируют свойства полученного уравнения.

Функция f(х 1, х 2,…, х к) описывающая зависимость среднего значения результативного признака у от заданных значений аргументов, называется функцией (уравнением) регрессии. Термин «регрессия» (лат. -regression- отступление, возврат к чему-либо) введен английским психологом и антропологом Ф.Гальтоном и связан исключительно со спецификой одного из первых конкретных примеров, в котором это понятие было использовано. Так, обрабатывая статистические данные в связи с анализом наследственности роста, Ф. Гальтон нашел, что если отцы отклоняются от среднего роста всех отцов на x дюймов, то их сыновья отклоняются от среднего роста всех сыновей меньше, чем на x дюймов. Выявленная тенденция была названа «регрессией к среднему состоянию». С тех пор термин «регрессия» широко используется в статистической литературе, хотя во многих случаях он недостаточно точно характеризует понятие статистической зависимости.

Для точного описания уравнения регрессии необходимо знать закон распределения результативного показателя у. В статистической практике обычно приходится ограничиваться поиском подходящих аппроксимаций для неизвестной истинной функции регрессии, так как исследователь не располагает точным знанем условного закона распределения вероятностей анализируемого результатирующего показателя у при заданных значениях аргумента х.

Рассмотрим взаимоотношение между истинной f(х) = М(у1х), мо дельной регрессией? и оценкой y регрессии. Пусть результативный показатель у связан с аргументом х соотношением:

где - е случайная величина, имеющая нормальный закон распределения, причем Ме = 0 и D е = у 2 . Истинная функция регрессии в этом случае имеет вид: f (х) = М(у/х) = 2х 1.5 .

Предположим, что точный вид истинного уравнения регрессии нам не известен, но мы располагаем девятью наблюдениями над двумерной случайной величиной, связанной соотношением уi= 2х1,5+е, и представленной на рис. 1

Рисунок 1 - Взаимное расположение истиной f (х) и теоретической? модели регрессии

Расположение точек на рис. 1 позволяет ограничиться классом линейных зависимостей вида? = в 0 +в 1 x. С помощью метода наименьших квадратов найдем оценку уравнения регрессии у = b 0 +b 1 x. Для сравнения на рис. 1 приводятся графики истинной функции регрессии у=2х 1,5 , теоретической аппроксимирующей функции регрессии? = в 0 +в 1 x .

Поскольку мы ошиблись в выборе класса функции регрессии, а это достаточно часто встречается в практике статистических исследований, то наши статистические выводы и оценки окажутся ошибочными. И как бы мы ни увеличивали объем наблюдений, наша выборочная оценка у не будет близка к истинной функции регрессии f (х). Если бы мы правильно выбрали класс функций регрессии, то неточность в описании f(х) с помощью? объяснялась бы только ограниченностью выборки.

С целью наилучшего восстановления по исходным статистическим данным условного значения результативного показателя у(х) и неизвестной функции регрессии f(х) = М(у/х) наиболее часто используют следующие критерии адекватности (функции потерь).

Метод наименьших квадратов. Согласно ему минимизируется квадрат отклонения наблюдаемых значений результативного показателя у, (i = 1,2,..., п) от модельных значений,? = f(х i), где, х i - значение вектора аргументов в i-м наблюдении: ?(y i - f(х i) 2 > min. Получаемая регрессия называется среднеквадратической.

Метод наименьших модулей. Согласно ему минимизируется сумма абсолютных отклонений наблюдаемых значений результативного показателя от модульных значений. И получаем,? = f(х i), среднеабсолютную медианную регрессию? |y i - f(х i)| >min.

Регрессионным анализом называется метод статистического анализа зависимости случайной величины у от переменных х j = (j=1,2,..., к), рассматриваемых в регрессионном анализе как неслучайные величины, независимо от истинного закона распределения х j.

Обычно предполагается, что случайная величина у имеет нормальный закон распределения с условным математическим ожиданием у, являющимся функцией от аргументов х/ (/= 1, 2,..., к) и постоянной, не зависящей от аргументов, дисперсией у 2 .

В общем линейная модель регрессионного анализа имеет вид:

Y = Уk j=0 вj цj (x1 , x2 . . .. ,xk )+Э

где ц j - некоторая функция его переменных - x 1 , x 2 . . .. ,x k , Э - случайная величина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией у 2 .

В регрессионном анализе вид уравнения регрессии выбирают исходя из физической сущности изучаемого явления и результатов наблюдения.

Оценки неизвестных параметров уравнения регрессии находят обычно методом наименьших квадратов. Ниже остановимся более подробно на этой проблеме.

Двумерное линейное уравнение регрессии. Пусть на основании анализа исследуемого явления предполагается, что в «среднем» у есть линейная функция от х, т. е. имеется уравнение регрессии

у=М(у/х)=в 0 + в 1 х)

где М(у1х) - условное математическое ожидание случайной величины у при заданном х; в 0 и в 1 - неизвестные параметры генеральной совокупности, которые надлежит оценить по результатам выборочных наблюдений.

Предположим, что для оценки параметров в 0 и в 1 из двухмерной генеральной совокупности (х, у) взята выборка объемом n, где (х, у,) результат i-го наблюдения (i = 1, 2,..., n). В этом случае модель регрессионного анализа имеет вид:

y j = в 0 + в 1 x+е j .

где е j .- независимые нормально распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и дисперсией у 2 , т. е. М е j . = 0;

D е j .= у 2 для всех i = 1, 2,..., n.

Согласно методу наименьших квадратов в качестве оценок неизвестных параметров в 0 и в 1 следует брать такие значения выборочных характеристик b 0 и b 1 , которые минимизируют сумму квадратов отклонений значений результативного признака у i от условного математического ожидания? i

Методику определения влияния характеристик маркетинга на прибыль предприятия рассмотрим на примере семнадцати типичных предприятий, имеющих средние размеры и показатели хозяйственной деятельности.

При решении задачи учитывались следующие характеристики, выявленные в результате анкетного опроса как наиболее значимые (важные):

* инновационная деятельность предприятия;

* планирование ассортимента производимой продукции;

* формирование ценовой политики;

* взаимоотношения с общественностью;

* система сбыта;

* система стимулирования работников.

На основе системы сравнений по факторам были построены квадратные матрицы смежности, в которых вычислялись значения относительных приоритетов по каждому фактору: инновационная деятельность предприятия, планирование ассортимента производимой продукции, формирование ценовой политики, реклама, взаимоотношения с общественностью, система сбыта, система стимулирования работников.

Оценки приоритетов по фактору «взаимоотношения с общественностью» получены в результате анкетирования специалистов предприятия. Приняты следующие обозначения: > (лучше), > (лучше или одинаково), = (одинаково), < (хуже или одинаково), <

Далее решалась задача комплексной оценки уровня маркетинга предприятия. При расчете показателя была определена значимость (вес) рассмотренных частных признаков и решалась задача линейного свертывания частных показателей. Обработка данных производилась по специально разработанным программам.

Далее рассчитывается комплексная оценка уровня маркетинга предприятия -- коэффициент маркетинга, который вносится в таблице 1. Кроме того, в названую таблицу включены показатели, характеризующие предприятие в целом. Данные в таблице будут использованы для проведения регрессионного анализа. Результативным признаком является прибыль. В качестве факторных признаков наряду с коэффициентом маркетинга использованы следующие показатели: объем валовой продукции, стоимость основных фондов, численность работников, коэффициент специализации.

Таблица 1 - Исходные данные для регрессионного анализа

По данным таблицы и на основе факторов с наиболее существенными значениями коэффициентов корреляции были построены регрессионные функции зависимости прибыли от факторов.

Уравнение регрессии в нашем случае примет вид:

О количественном влиянии рассмотренных выше факторов на величину прибыли говорят коэффициенты уравнения регрессии. Они показывают, на сколько тысяч рублей изменяется ее величина при изменении факторного признака на одну единицу. Как следует из уравнения, увеличение коэффициента комплекса маркетинга на одну единицу дает прирост прибыли на 1547,7 тыс. руб. Это говорит о том, что в совершенствовании маркетинговой деятельности кроется огромный потенциал улучшения экономических показателей предприятий.

При исследовании эффективности маркетинга наиболее интересным и самым важным факторным признаком является фактор Х5 -- коэффициент маркетинга. В соответствии с теорией статистики достоинство имеющегося уравнения множественной регрессии является возможность оценивать изолированное влияние каждого фактора, в том числе фактора маркетинга.

Результаты проведенного регрессионного анализа имеют и более широкое применение, чем для расчета параметров уравнения. Критерий отнесения (КЭф,) предприятий к относительно лучшим или относительно худшим основан на относительном показателе результата:

где Y фактi - фактическая величина i-го предприятия, тыс. руб.;

Y расчi -величина прибыли i-го предприятия, полученная расчетным путем по уравнению регрессии

В терминах решаемой задачи величина носит название «коэффициент эффективности». Деятельность предприятия можно признать эффективной в тех случаях, когда величина коэффициента больше единицы. Это означает, что фактическая прибыль больше прибыли, усредненной по выборке.

Фактические и расчетные значения прибыли представлены в табл. 2.

Таблица 2 - Анализ результативного признака в регрессионной модели

Анализ таблицы показывает, что в нашем случае деятельность предприятий 3, 5, 7, 9, 12, 14, 15, 17 за рассматриваемый период можно признать успешной.

ВЫВОД ИТОГОВ

Таблица 8.3а. Регрессионная статистика

Регрессионная статистика
Множественный R	0,998364
R-квадрат	0,99673
Нормированный R-квадрат	0,996321
Стандартная ошибка	0,42405
Наблюдения	10

Сначала рассмотрим верхнюю часть расчетов, представленную в таблице 8.3а , - регрессионную статистику.

Величина R-квадрат , называемая также мерой определенности, характеризует качество полученной регрессионной прямой. Это качество выражается степенью соответствия между исходными данными и регрессионной моделью (расчетными данными). Мера определенности всегда находится в пределах интервала .

В большинстве случаев значение R-квадрат находится между этими значениями, называемыми экстремальными, т.е. между нулем и единицей.

Если значение R-квадрата близко к единице, это означает, что построенная модель объясняет почти всю изменчивость соответствующих переменных. И наоборот, значение R-квадрата , близкое к нулю, означает плохое качество построенной модели.

В нашем примере мера определенности равна 0,99673, что говорит об очень хорошей подгонке регрессионной прямой к исходным данным.

Множественный R - коэффициент множественной корреляции R - выражает степень зависимости независимых переменных (X) и зависимой переменной (Y).

Множественный R равен квадратному корню из коэффициента детерминации, эта величина принимает значения в интервале от нуля до единицы.

В простом линейном регрессионном анализе множественный R равен коэффициенту корреляции Пирсона. Действительно, множественный R в нашем случае равен коэффициенту корреляции Пирсона из предыдущего примера (0,998364).

Таблица 8.3б. Коэффициенты регрессии

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	2,694545455	0,33176878	8,121757129
Переменная X 1	2,305454545	0,04668634	49,38177965
* Приведен усеченный вариант расчетов

Теперь рассмотрим среднюю часть расчетов, представленную в таблице 8.3б . Здесь даны коэффициент регрессии b (2,305454545) и смещение по оси ординат, т.е. константа a (2,694545455).

Исходя из расчетов, можем записать уравнение регрессии таким образом:

Y= x*2,305454545+2,694545455

Направление связи между переменными определяется на основании знаков (отрицательный или положительный) коэффициентов регрессии (коэффициента b).

Если знак при коэффициенте регрессии - положительный, связь зависимой переменной с независимой будет положительной. В нашем случае знак коэффициента регрессии положительный, следовательно, связь также является положительной.

Если знак при коэффициенте регрессии - отрицательный, связь зависимой переменной с независимой является отрицательной (обратной).

В таблице 8.3в . представлены результаты вывода остатков . Для того чтобы эти результаты появились в отчете, необходимо при запуске инструмента "Регрессия" активировать чекбокс "Остатки".

ВЫВОД ОСТАТКА

Таблица 8.3в. Остатки

Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки	Стандартные остатки
1	9,610909091	-0,610909091	-1,528044662
2	7,305454545	-0,305454545	-0,764022331
3	11,91636364	0,083636364	0,209196591
4	14,22181818	0,778181818	1,946437843
5	16,52727273	0,472727273	1,182415512
6	18,83272727	0,167272727	0,418393181
7	21,13818182	-0,138181818	-0,34562915
8	23,44363636	-0,043636364	-0,109146047
9	25,74909091	-0,149090909	-0,372915662
10	28,05454545	-0,254545455	-0,636685276

При помощи этой части отчета мы можем видеть отклонения каждой точки от построенной линии регрессии. Наибольшее абсолютное значение

Основная особенность регрессионного анализа: при его помощи можно получить конкретные сведения о том, какую форму и характер имеет зависимость между исследуемыми переменными.

Последовательность этапов регрессионного анализа

Рассмотрим кратко этапы регрессионного анализа.

Формулировка задачи. На этом этапе формируются предварительные гипотезы о зависимости исследуемых явлений.

Определение зависимых и независимых (объясняющих) переменных.

Сбор статистических данных. Данные должны быть собраны для каждой из переменных, включенных в регрессионную модель.

Формулировка гипотезы о форме связи (простая или множественная, линейная или нелинейная).

Определение функции регрессии (заключается в расчете численных значений параметров уравнения регрессии)

Оценка точности регрессионного анализа.

Интерпретация полученных результатов. Полученные результаты регрессионного анализа сравниваются с предварительными гипотезами. Оценивается корректность и правдоподобие полученных результатов.

Предсказание неизвестных значений зависимой переменной.

При помощи регрессионного анализа возможно решение задачи прогнозирования и классификации. Прогнозные значения вычисляются путем подстановки в уравнение регрессии параметров значений объясняющих переменных. Решение задачи классификации осуществляется таким образом: линия регрессии делит все множество объектов на два класса, и та часть множества, где значение функции больше нуля, принадлежит к одному классу, а та, где оно меньше нуля, - к другому классу.

Задачи регрессионного анализа

Рассмотрим основные задачи регрессионного анализа: установление формы зависимости, определение функции регрессии , оценка неизвестных значений зависимой переменной.

Установление формы зависимости.

Характер и форма зависимости между переменными могут образовывать следующие разновидности регрессии:

положительная линейная регрессия (выражается в равномерном росте функции);

положительная равноускоренно возрастающая регрессия;

положительная равнозамедленно возрастающая регрессия;

отрицательная линейная регрессия (выражается в равномерном падении функции);

отрицательная равноускоренно убывающая регрессия;

отрицательная равнозамедленно убывающая регрессия.

Однако описанные разновидности обычно встречаются не в чистом виде, а в сочетании друг с другом. В таком случае говорят о комбинированных формах регрессии.

Определение функции регрессии.

Вторая задача сводится к выяснению действия на зависимую переменную главных факторов или причин, при неизменных прочих равных условиях, и при условии исключения воздействия на зависимую переменную случайных элементов. Функция регрессии определяется в виде математического уравнения того или иного типа.

Оценка неизвестных значений зависимой переменной.

Решение этой задачи сводится к решению задачи одного из типов:

Оценка значений зависимой переменной внутри рассматриваемого интервала исходных данных, т.е. пропущенных значений; при этом решается задача интерполяции.

Оценка будущих значений зависимой переменной, т.е. нахождение значений вне заданного интервала исходных данных; при этом решается задача экстраполяции.

Обе задачи решаются путем подстановки в уравнение регрессии найденных оценок параметров значений независимых переменных. Результат решения уравнения представляет собой оценку значения целевой (зависимой) переменной.

Рассмотрим некоторые предположения, на которые опирается регрессионный анализ.

Предположение линейности, т.е. предполагается, что связь между рассматриваемыми переменными является линейной. Так, в рассматриваемом примере мы построили диаграмму рассеивания и смогли увидеть явную линейную связь. Если же на диаграмме рассеивания переменных мы видим явное отсутствие линейной связи, т.е. присутствует нелинейная связь, следует использовать нелинейные методы анализа.

Предположение о нормальности остатков . Оно допускает, что распределение разницы предсказанных и наблюдаемых значений является нормальным. Для визуального определения характера распределения можно воспользоваться гистограммамиостатков .

При использовании регрессионного анализа следует учитывать его основное ограничение. Оно состоит в том, что регрессионный анализ позволяет обнаружить лишь зависимости, а не связи, лежащие в основе этих зависимостей.

Регрессионный анализ дает возможность оценить степень связи между переменными путем вычисления предполагаемого значения переменной на основании нескольких известных значений.

Уравнение регрессии.

Уравнение регрессии выглядит следующим образом: Y=a+b*X

При помощи этого уравнения переменная Y выражается через константу a и угол наклона прямой (или угловой коэффициент) b, умноженный на значение переменной X. Константу a также называют свободным членом, а угловой коэффициент - коэффициентом регрессии или B-коэффициентом.

В большинстве случав (если не всегда) наблюдается определенный разброс наблюдений относительно регрессионной прямой.

Остаток - это отклонение отдельной точки (наблюдения) от линии регрессии (предсказанного значения).

Для решения задачи регрессионного анализа в MS Excel выбираем в меню Сервис "Пакет анализа" и инструмент анализа "Регрессия". Задаем входные интервалы X и Y. Входной интервал Y - это диапазон зависимых анализируемых данных, он должен включать один столбец. Входной интервал X - это диапазон независимых данных, которые необходимо проанализировать. Число входных диапазонов должно быть не больше 16.

На выходе процедуры в выходном диапазоне получаем отчет, приведенный в таблице 8.3а -8.3в .

ВЫВОД ИТОГОВ

Таблица 8.3а. Регрессионная статистика
Регрессионная статистика
Множественный R
R-квадрат
Нормированный R-квадрат
Стандартная ошибка
Наблюдения

Сначала рассмотрим верхнюю часть расчетов, представленную в таблице 8.3а , - регрессионную статистику.

Величина R-квадрат , называемая также мерой определенности, характеризует качество полученной регрессионной прямой. Это качество выражается степенью соответствия между исходными данными и регрессионной моделью (расчетными данными). Мера определенности всегда находится в пределах интервала .

В большинстве случаев значение R-квадрат находится между этими значениями, называемыми экстремальными, т.е. между нулем и единицей.

Если значение R-квадрата близко к единице, это означает, что построенная модель объясняет почти всю изменчивость соответствующих переменных. И наоборот, значениеR-квадрата , близкое к нулю, означает плохое качество построенной модели.

В нашем примере мера определенности равна 0,99673, что говорит об очень хорошей подгонке регрессионной прямой к исходным данным.

множественный R - коэффициент множественной корреляции R - выражает степень зависимости независимых переменных (X) и зависимой переменной (Y).

Множественный R равен квадратному корню из коэффициента детерминации, эта величина принимает значения в интервале от нуля до единицы.

В простом линейном регрессионном анализе множественный R равен коэффициенту корреляции Пирсона. Действительно,множественный R в нашем случае равен коэффициенту корреляции Пирсона из предыдущего примера (0,998364).

Таблица 8.3б. Коэффициенты регрессии
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение
Переменная X 1
* Приведен усеченный вариант расчетов

Теперь рассмотрим среднюю часть расчетов, представленную в таблице 8.3б . Здесь даны коэффициент регрессии b (2,305454545) и смещение по оси ординат, т.е. константа a (2,694545455).

Исходя из расчетов, можем записать уравнение регрессии таким образом:

Y= x*2,305454545+2,694545455

Направление связи между переменными определяется на основании знаков (отрицательный или положительный) коэффициентов регрессии (коэффициента b).

Если знак при коэффициенте регрессии - положительный, связь зависимой переменной с независимой будет положительной. В нашем случае знак коэффициента регрессии положительный, следовательно, связь также является положительной.

Если знак при коэффициенте регрессии - отрицательный, связь зависимой переменной с независимой является отрицательной (обратной).

В таблице 8.3в . представлены результаты выводаостатков . Для того чтобы эти результаты появились в отчете, необходимо при запуске инструмента "Регрессия" активировать чекбокс "Остатки".

ВЫВОД ОСТАТКА

Таблица 8.3в. Остатки
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки	Стандартные остатки

При помощи этой части отчета мы можем видеть отклонения каждой точки от построенной линии регрессии. Наибольшее абсолютное значение остатка в нашем случае - 0,778, наименьшее - 0,043. Для лучшей интерпретации этих данных воспользуемся графиком исходных данных и построенной линией регрессии, представленными нарис. 8.3 . Как видим, линия регрессии достаточно точно "подогнана" под значения исходных данных.

Следует учитывать, что рассматриваемый пример является достаточно простым и далеко не всегда возможно качественное построение регрессионной прямой линейного вида.

Рис. 8.3. Исходные данные и линия регрессии

Осталась нерассмотренной задача оценки неизвестных будущих значений зависимой переменной на основании известных значений независимой переменной, т.е. задача прогнозирования.

Имея уравнение регрессии, задача прогнозирования сводится к решению уравнения Y= x*2,305454545+2,694545455 с известными значениями x. Результаты прогнозирования зависимой переменной Y на шесть шагов вперед представлены в таблице 8.4 .

Таблица 8.4. Результаты прогнозирования переменной Y
	Y(прогнозируемое)

Таким образом, в результате использования регрессионного анализа в пакете Microsoft Excel мы:

построили уравнение регрессии;

установили форму зависимости и направление связи между переменными - положительная линейная регрессия, которая выражается в равномерном росте функции;

установили направление связи между переменными;

оценили качество полученной регрессионной прямой;

смогли увидеть отклонения расчетных данных от данных исходного набора;

предсказали будущие значения зависимой переменной.

Если функция регрессии определена, интерпретирована и обоснована, и оценка точности регрессионного анализа соответствует требованиям, можно считать, что построенная модель и прогнозные значения обладают достаточной надежностью.

Прогнозные значения, полученные таким способом, являются средними значениями, которые можно ожидать.

В этой работе мы рассмотрели основные характеристики описательной статистики и среди них такие понятия, каксреднее значение ,медиана ,максимум ,минимум и другие характеристики вариации данных.

Также было кратко рассмотрено понятие выбросов . Рассмотренные характеристики относятся к так называемому исследовательскому анализу данных, его выводы могут относиться не к генеральной совокупности, а лишь к выборке данных. Исследовательский анализ данных используется для получения первичных выводов и формирования гипотез относительно генеральной совокупности.

Также были рассмотрены основы корреляционного и регрессионного анализа, их задачи и возможности практического использования.

А) Графический анализ простой линейной регрессии.

Простое линейное уравнение регрессии y=a+bx. Если между случайными величинами У и X существует корреляционная связь, то значение у = ý + ,

где ý – теоретическое значение у, полученное из уравнения ý = f(x),

 – погрешность отклонения теоретического уравнения ý от фактических (экспериментальных) данных.

Уравнение зависимости средней величины ý от х, то есть ý = f(x) называют уравнением регрессии. Регрессионный анализ состоит из четырёх зтапов:

1) постановка задачи и установление причин связи.

2) ограничение объекта исследований, сбор статастической информации.

3) выбор уравнения связи на основе анализа и характера собранных данных.

4) расчёт числовых значений, характеристик корреляционной связи.

Если две переменные связаны таким образом, что изменение одной переменной соответствует систематическому изменению другой переменной, то для оценки и выбора уравнения связи между ними применяют регрессионный анализ в том случае, если эти переменные известны. В отличие от регрессионного анализа, корреляционный анализ применяют для анализа тесноты связи между X и У.

Рассмотрим нахождение прямой при регрессионном анализе:

Теоретическое уравнение регрессии.

Термин «простая регрессия» указывает на то, что величина одной переменной оценивается на основе знаний о другой переменной. В отличие от простой многофакторная регрессия применяется для оценки переменной на основе знания двух, трёх и более переменных. Рассмотрим графический анализ простой линейной регрессии.

Предположим, имеются результаты отборочных испытании по предварительному найму на работу и производительности труда.

	Результаты отбора (100 баллов), x	Производительность (20 баллов), y

Нанеся точки на график, получим диаграмму (поле) рассеяния. Используем её для анализа результатов отборочных испытаний и производительности труда.

По диаграмме рассеяния проанализируем линию регрессии. В регрессионном анализе всегда указываются хотя бы две переменные. Систематическое изменение одной переменной связано с изменением другой. Основная цель регрессионного анализа заключается в оценке величины одной переменной, если величина другой переменной известна. Для полной задачи важна оценка производительности труда.

Независимой переменной в регрессионном анализе называется величина, которая используется в качестве основы для анализа другой переменной. В данном случае – это результаты отборочных испытаний (по оси X).

Зависимой переменной называется оцениваемая величина (по оси У). В регрессионном анализе может быть только одна зависимая переменная и несколько независимых переменных.

Для простого регрессионного анализа зависимость можно представить в двухкоординатной системе (х и у), по оси X – независимая переменная, по оси У – зависимая. Наносим точки пересечения таким образом, чтобы на графике была представлена пара величин. График называют диаграммой рассеяния . Ее построение – это второй этап регрессионного анализа, поскольку первый – это выбор анализируемых величин и сбор данных выборки. Таким образом, регрессионный анализ применяется для статистического анализа. Связь между выборочными данными диаграммы линейная.

Для оценки величины переменной у на основе переменной х необходимо определить положение линии, которая наилучшим образом представляет связь между х и у на основе расположения точек диаграммы рассеяния. В нашем примере это анализ производительности. Линия, проведенная через точки рассеяния – линия регрессии . Одним из способов построения линии регрессии, основанном на визуальном опыте, является способ построения от руки. По нашей линии регрессии можно определить производительность труда. При нахождении уравнения линии регрессии

часто применяют критерий наименьших квадратов. Наиболее подходящей является та линия, где сумма квадратов отклонений минимальна

Математическое уравнение линии роста представляет закон роста в арифметической прогрессии:

у = а – b х .

Y = а + b х – приведённое уравнение с одним параметром является простейшим видом уравнения связи. Оно приемлемо для средних величин. Чтобы точнее выразить связь между х и у , вводится дополнительный коэффициент пропорциональности b , который указывает наклон линии регрессии.

Б) Построение теоретической линии регрессии.

Процесс её нахождения заключается в выборе и обосновании типа кривой и расчётов параметров а , b , с и т.д. Процесс построения называют выравниванием, и запас кривых, предлагаемых мат. анализом, разнообразен. Чаще всего в экономических задачах используют семейство кривых, уравнения которые выражаются многочленами целых положительных степеней.

1)
– уравнение прямой,

2)
– уравнение гиперболы,

3)
– уравнение параболы,

где ý – ординаты теоретической линии регрессии.

Выбрав тип уравнения, необходимо найти параметры, от которых зависит это уравнение. Например, характер расположения точек в поле рассеяния показал, что теоретическая линия регрессии является прямой.

Диаграмма рассеяния позволяет представить производительность труда с помощью регрессионного анализа. В экономике с помощью регрессионного анализа предсказываются многие характеристики, влияющие на конечный продукт (с учётом ценообразования).

В) Критерий наименьших кадратов для нахождения прямой линии.

Один из критериев, которые мы могли бы применить для подходящей линии регрессии на диаграмме рассеяния, основан на выборе линии, для которой сумма квадратов погрешностей будет минимальна.

Близость точек рассеяния к прямой измеряется ординатами отрезков. Отклонения этих точек могут быть положительными и отрицательными, но сумма квадратов отклонений теоретической прямой от экспериментальной всегда положительна и должна быть минимальна. Факт несовпадения всех точек рассеяния с положением линии регрессии указывает на существование расхождения между экспериментальными и теоретическими данными. Таким образом, можно сказать, что никакая другая линия регрессии, кроме той, которую нашли, не может дать меньшую сумму отклонений между экспериментальными и опытными данными. Следовательно, найдя теоретическое уравнение ý и линию регрессии, мы удовлетворяем требованию наименьших квадратов.

Это делается с помощью уравнения связи
, используя формулы для нахождения параметров а и b . Взяв теоретическое значение
и обозначив левую часть уравнения черезf , получим функцию
от неизвестных параметрова и b . Значения а и b будут удовлетворять минимуму функции f и находятся из уравнений частных производных
и
. Этонеобходимое условие , однако для положительной квадратической функции это является и достаточным условием для нахождения а и b .

Выведем из уравнений частных производных формулы параметров а и b :

получим систему уравнений:

где
– среднеарифметические погрешности.

Подставив числовые значения, найдем параметры а и b .

Существует понятие
. Это коэффициент аппроксимации.

Если е < 33%, то модель приемлема для дальнейшего анализа;

Если е > 33%, то берём гиперболу, параболу и т.д. Это даёт право для анализа в различных ситуациях.

Вывод: по критерию коэффициента аппроксимации наиболее подходящей является та линия, для которых

, и никакая другая линия регрессии для нашей задачи не даёт минимум отклонений.

Г) Квадратическая ошибка оценки, проверка их типичности.

Применительно к совокупности, у которой число параметров исследования меньше 30 (n < 30), для проверки типичности параметров уравнения регрессии используется t -критерий Стьюдента. При этом вычисляется фактическое значение t -критерия:

Отсюда

где – остаточная среднеквадратическая погрешность. Полученныеt a и t b сравнивают с критическим t k из таблицы Стьюдента с учётом принятого уровня значимости ( = 0,01 = 99% или  = 0,05 = 95%). P = f = k 1 = m – число параметров исследуемого уравнения (степень свободы). Например, если y = a + bx ; m = 2, k 2 = f 2 = p 2 = n – (m + 1), где n – количество исследуемых признаков.

t a < t k < t b .

Вывод : по проверенным на типичность параметрам уравнения регрессии производится построение математической модели связи
. При этом параметры примененной в анализе математической функции (линейная, гипербола, парабола) получают соответствующие количественные значения. Смысловое содержание полученных таким образом моделей состоит в том, что они характеризуют среднюю величину результативного признака
от факторного признака X .

Д) Криволинейная регрессия.

Довольно часто встречается криволинейная зависимость, когда между переменными устанавливается меняющееся соотношение. Интенсивность возрастания (убывания) зависит от уровня нахождения X. Криволинейная зависимость бывает разных видов. Например, рассмотрим зависимость между урожаем и осадками. С увеличением осадков при равных природных условиях интенсивное увеличение урожая, но до определенного предела. После критической точки осадки оказываются излишними, и урожайность катастрофически падает. Из примера видно, что вначале связь была положительной, а потом отрицательной. Критическая точка - оптимальный уровень признака X, которому соответствует максимальное или минимальное значение признака У.

В экономике такая связь наблюдается между ценой и потреблением, производительностью и стажем.

Параболическая зависимость.

Если данные показывают, что увеличение факторного признака приводит к росту результативного признака, то в качестве уравнения регрессии берется уравнение второго порядка (парабола).

. Коэффициенты a,b,c находятся из уравнений частных производных:

Получаем систему уравнений:

Виды криволинейных уравнений:

,

,

Вправе предполагать, что между производительностью труда и баллами отборочных испытаний существует криволинейная зависимость. Это означает, что с ростом бальной системы производительность начнёт на каком-то уровне уменьшаться, поэтому прямая модель может оказаться криволинейной.

Третьей моделью будет гипербола, и во всех уравнениях вместо переменной х будет стоять выражение .