Die Linie c schneide die parallelen Linien a und b. Dadurch entstehen acht Winkel. Winkel paralleler Linien und Transversallinien werden in Problemen so häufig verwendet, dass ihnen in der Geometrie besondere Namen gegeben werden.

Winkel 1 und 3 - Vertikale. Offensichtlich, vertikale Winkel sind gleich das heißt
∠1 = ∠3,
∠2 = ∠4.

Natürlich sind auch die Winkel 5 und 7, 6 und 8 vertikal.

Winkel 1 und 2 - benachbart, das wissen wir bereits. Die Summe benachbarter Winkel beträgt 180°.

Die Winkel 3 und 5 (sowie 2 und 8, 1 und 7, 4 und 6) liegen kreuzweise. Gekreuzte Winkel sind gleich.
∠3 = ∠5,
∠1 = ∠7,
∠2 = ∠8,
∠4 = ∠6.

Winkel 1 und 6 - einseitig. Sie liegen auf einer Seite der gesamten „Struktur“. Auch die Winkel 4 und 7 sind einseitig. Summe einseitige Winkel gleich 180°, das ist
∠1 + ∠6 = 180°,
∠4 + ∠7 = 180°.

Es werden die Winkel 2 und 6 (sowie 3 und 7, 1 und 5, 4 und 8) aufgerufen geeignet.

Entsprechende Winkel sind gleich, das ist
∠2 = ∠6,
∠3 = ∠7.

Es werden die Winkel 3 und 5 (sowie 2 und 8, 1 und 7, 4 und 6) aufgerufen quer liegend.

Gekreuzte Winkel sind gleich, das ist
∠3 = ∠5,
∠1 = ∠7,
∠2 = ∠8,
∠4 = ∠6.

Alle diese Fakten in einer Lösung anzuwenden Probleme mit dem Einheitlichen Staatsexamen, Sie müssen lernen, sie in der Zeichnung zu sehen. Wenn Sie beispielsweise ein Parallelogramm oder Trapez betrachten, können Sie ein Paar paralleler Linien und eine Sekante sowie einseitige Winkel erkennen. Wenn wir die Diagonale des Parallelogramms zeichnen, sehen wir, dass die Winkel kreuzweise liegen. Dies ist einer der Schritte, aus denen die Lösung besteht.

1. Die Winkelhalbierende eines stumpfen Winkels eines Parallelogramms teilt die gegenüberliegende Seite im Verhältnis 3:4, gerechnet vom Scheitelpunkt des stumpfen Winkels. Finden Sie die längste Seite eines Parallelogramms, wenn sein Umfang 88 beträgt.

Denken Sie daran, dass die Winkelhalbierende ein Strahl ist, der vom Scheitelpunkt des Winkels ausgeht und den Winkel in zwei Hälften teilt.

Sei BM die Winkelhalbierende des stumpfen Winkels B. Gemäß der Bedingung sind die Segmente MD und AB gleich 3x bzw. 4x.

Betrachten wir die Winkel CBM und BMA. Da AD und BC parallel sind, ist BM eine Sekante, die Winkel CBM und BMA sind kreuzweise. Wir wissen, dass entgegengesetzte Winkel gleich sind. Das bedeutet, dass das Dreieck ABM gleichschenklig ist, also AB = AM = 4x.

Der Umfang eines Parallelogramms ist also die Summe aller seiner Seiten
7x + 7x + 4x + 4x = 88.
Daher ist x = 4, 7x = 28.

2. Die Diagonale eines Parallelogramms bildet mit seinen beiden Seiten Winkel von 26° und 34°. Finden Sie den größten Winkel des Parallelogramms. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Zeichnen Sie ein Parallelogramm und seine Diagonale. Wenn Sie die gekreuzten Winkel und einseitigen Winkel in der Zeichnung beachten, können Sie leicht die Antwort erhalten: 120°.

3. Was ist der größere Winkel? gleichschenkliges Trapez, wenn bekannt ist, dass der Unterschied zwischen entgegengesetzten Winkeln 50° beträgt? Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Das wissen wir gleichschenklig(oder gleichschenklig) ist ein Trapez, in dem Seiten sind gleich. Daher sind die Winkel an der oberen Basis gleich, ebenso wie die Winkel an der unteren Basis.

Schauen wir uns die Zeichnung an. Gemäß der Bedingung gilt α - β = 50°, also α = β + 50°.

Die Winkel α und β sind einseitig mit Parallelen und Transversalen, daher gilt:
α + β = 180°.

Also 2β + 50° = 180°
β = 65°, dann α = 115°.

Antwort: 115.

EGE-Studie » Methodische Materialien» Geometrie: von Null bis C4 » Höhen, Mittelwerte, Winkelhalbierende eines Dreiecks

Anzeichen der Parallelität zweier Linien

Satz 1. Wenn sich zwei Geraden mit einer Sekante schneiden:

gekreuzte Winkel sind gleich, oder

entsprechende Winkel sind gleich, oder

die Summe der einseitigen Winkel beträgt dann 180°

Linien sind parallel(Abb. 1).

Nachweisen. Wir beschränken uns auf den Beweis von Fall 1.

Die Schnittlinien a und b seien kreuzweise und die Winkel AB seien gleich. Zum Beispiel ∠ 4 = ∠ 6. Beweisen wir, dass a || B.

Angenommen, die Linien a und b sind nicht parallel. Dann schneiden sie sich in einem Punkt M und daher ist einer der Winkel 4 oder 6 der Außenwinkel des Dreiecks ABM. Der Bestimmtheit halber sei ∠ 4 der Außenwinkel des Dreiecks ABM und ∠ 6 der Innenwinkel. Aus dem Satz über den Außenwinkel eines Dreiecks folgt, dass ∠ 4 größer als ∠ 6 ist, und dies widerspricht der Bedingung, dass sich die Geraden a und 6 nicht schneiden können, also parallel sind.

Folgerung 1. Zwei verschiedene Linien in einer Ebene senkrecht zur gleichen Linie sind parallel(Abb. 2).

Kommentar. Die Art und Weise, wie wir gerade Fall 1 von Satz 1 bewiesen haben, wird als Methode des Beweises durch Widerspruch oder Reduktion auf die Absurdität bezeichnet. Diese Methode erhielt ihren ersten Namen, weil am Anfang der Argumentation eine Annahme gemacht wird, die im Widerspruch zu dem steht, was bewiesen werden muss. Man nennt es „zur Absurdität führen“, weil wir, wenn wir auf der Grundlage der getroffenen Annahmen argumentieren, zu einer absurden Schlussfolgerung (zum Absurden) kommen. Der Erhalt einer solchen Schlussfolgerung zwingt uns dazu, die zu Beginn getroffene Annahme abzulehnen und die Annahme zu akzeptieren, die bewiesen werden musste.

Aufgabe 1. Konstruieren Sie eine Gerade, die durch einen gegebenen Punkt M und parallel zu einer gegebenen Geraden a verläuft und nicht durch den Punkt M verläuft.

Lösung. Wir zeichnen eine Gerade p durch den Punkt M senkrecht zur Geraden a (Abb. 3).

Dann zeichnen wir eine Gerade b durch den Punkt M senkrecht zur Geraden p. Linie b ist gemäß der Folgerung von Satz 1 parallel zu Linie a.

Aus dem betrachteten Problem ergibt sich eine wichtige Schlussfolgerung:
Durch einen Punkt, der nicht auf einer gegebenen Geraden liegt, ist es immer möglich, eine Gerade parallel zu dieser zu zeichnen.

Die Haupteigenschaft paralleler Linien ist wie folgt.

Axiom paralleler Linien. Durch einen gegebenen Punkt, der nicht auf einer gegebenen Geraden liegt, verläuft nur eine Gerade parallel zu dieser.

Betrachten wir einige Eigenschaften paralleler Geraden, die sich aus diesem Axiom ergeben.

1) Wenn eine Gerade eine von zwei parallelen Geraden schneidet, dann schneidet sie auch die andere (Abb. 4).

2) Wenn zwei verschiedene Geraden parallel zu einer dritten Geraden verlaufen, dann sind sie parallel (Abb. 5).

Der folgende Satz ist ebenfalls wahr.

Satz 2. Wenn zwei parallele Geraden von einer Transversallinie geschnitten werden, dann gilt:

Querwinkel sind gleich;

entsprechende Winkel sind gleich;

die Summe der einseitigen Winkel beträgt 180°.

Folgerung 2. Steht eine Gerade senkrecht auf einer von zwei parallelen Geraden, dann steht sie auch senkrecht auf der anderen(siehe Abb. 2).

Kommentar. Satz 2 wird die Umkehrung von Satz 1 genannt. Die Konklusion von Satz 1 ist die Bedingung von Satz 2. Und die Bedingung von Satz 1 ist die Konklusion von Satz 2. Nicht jeder Satz hat eine Umkehrung, das heißt, wenn ein bestimmter Satz vorhanden ist wahr, dann kann der Umkehrsatz falsch sein.

Lassen Sie uns dies am Beispiel des Satzes über vertikale Winkel erklären. Dieser Satz lässt sich wie folgt formulieren: Wenn zwei Winkel vertikal sind, dann sind sie gleich. Der umgekehrte Satz wäre: Wenn zwei Winkel gleich sind, dann sind sie vertikal. Und das stimmt natürlich nicht. Zwei gleiche Winkel müssen überhaupt nicht vertikal sein.

Beispiel 1. Zwei parallele Linien werden von einer dritten gekreuzt. Es ist bekannt, dass der Unterschied zwischen zwei einseitigen Innenwinkeln 30° beträgt. Finden Sie diese Winkel.

Lösung. Abbildung 6 soll die Bedingung erfüllen.

Die in derselben Ebene liegen und entweder zusammenfallen oder sich nicht schneiden. In einigen Schuldefinitionen gelten zusammenfallende Linien nicht als parallel; eine solche Definition wird hier nicht berücksichtigt.

Eigenschaften

1. Parallelität ist eine binäre Äquivalenzrelation und unterteilt daher die gesamte Menge von Geraden in Klassen von zueinander parallelen Geraden.
2. Durch jeden Punkt kann man genau eine Gerade parallel zum gegebenen Punkt ziehen. Dies ist eine charakteristische Eigenschaft der euklidischen Geometrie; in anderen Geometrien wird die Zahl 1 durch andere ersetzt (in der Lobatschewski-Geometrie gibt es mindestens zwei solcher Linien).
3. 2 parallele Linien im Raum liegen in derselben Ebene.
4. Wenn sich zwei parallele Geraden schneiden, wird eine dritte genannt Sekante:
   1. Die Sekante schneidet notwendigerweise beide Geraden.
   2. Beim Schneiden entstehen 8 Winkel, von denen einige charakteristische Paare besondere Namen und Eigenschaften haben:
      1. Quer liegend die Winkel sind gleich.
      2. Relevant die Winkel sind gleich.
      3. Einseitig die Winkel addieren sich zu 180°.

In Lobatschewski-Geometrie

In Lobatschewskis Geometrie liegt die Ebene durch einen Punkt C außerhalb dieser Linie AB Es gibt unendlich viele Geraden, die sich nicht schneiden AB. Davon parallel zu AB nur zwei werden genannt. Gerade CE wird als gleichseitige (parallele) Linie bezeichnet AB in Richtung von A Zu B, Wenn:

1. Punkte B Und E auf einer Seite einer geraden Linie liegen AC ;
2. gerade CE schneidet die Linie nicht AB, sondern jeder Strahl, der innerhalb eines Winkels verläuft ACE, kreuzt den Strahl AB .

Eine gerade Linie wird auf ähnliche Weise definiert AB in Richtung von B Zu A .

Alle anderen Geraden, die diese nicht schneiden, werden aufgerufen ultraparallel oder divergent.

Siehe auch

Wikimedia-Stiftung.

2010.

Sehen Sie in anderen Wörterbüchern, was „querliegend“ ist: In diesem Satz geht es um parallele Geraden. Für einen Winkel basierend auf einem Durchmesser siehe einen anderen Satz. Der Satz von Thales ist einer der Sätze der Planimetrie. Wenn wir auf einer von zwei Geraden mehrere zeichnen gleiche Segmente

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Frage 1. Welche Winkel heißen benachbart?
Antwort. Zwei Winkel heißen benachbart, wenn sie eine Seite gemeinsam haben und die anderen Seiten dieser Winkel komplementäre Halblinien sind.
In Abbildung 31 liegen die Winkel (a 1 b) und (a 2 b) nebeneinander. Sie haben die Seite b gemeinsam und die Seiten a 1 und a 2 sind zusätzliche Halblinien.

Frage 2. Beweisen Sie, dass die Summe benachbarter Winkel 180° beträgt.
Antwort. Satz 2.1. Die Summe benachbarter Winkel beträgt 180°.
Nachweisen. Winkel (a 1 b) und Winkel (a 2 b) seien benachbarte Winkel (siehe Abb. 31). Strahl b verläuft zwischen den Seiten a 1 und a 2 eines geraden Winkels. Daher ist die Summe der Winkel (a 1 b) und (a 2 b) gleich dem entfalteten Winkel, also 180°. Q.E.D.

Frage 3. Beweisen Sie: Wenn zwei Winkel gleich sind, dann sind auch ihre benachbarten Winkel gleich.
Antwort.

Aus dem Satz 2.1 Daraus folgt, dass, wenn zwei Winkel gleich sind, auch die benachbarten Winkel gleich sind.
Nehmen wir an, die Winkel (a 1 b) und (c 1 d) sind gleich. Wir müssen beweisen, dass auch die Winkel (a 2 b) und (c 2 d) gleich sind.
Die Summe benachbarter Winkel beträgt 180°. Daraus folgt, dass a 1 b + a 2 b = 180° und c 1 d + c 2 d = 180°. Daher ist a 2 b = 180° - a 1 b und c 2 d = 180° - c 1 d. Da die Winkel (a 1 b) und (c 1 d) gleich sind, erhalten wir a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Aus der Transitivitätseigenschaft des Gleichheitszeichens folgt a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Frage 4. Welcher Winkel heißt rechts (spitz, stumpf)?
Antwort. Ein Winkel von 90° wird rechter Winkel genannt.
Ein Winkel kleiner als 90° wird als spitzer Winkel bezeichnet.
Ein Winkel größer als 90° und kleiner als 180° wird als stumpf bezeichnet.

Frage 5. Beweisen Sie, dass ein an einen rechten Winkel angrenzender Winkel ein rechter Winkel ist.
Antwort. Aus dem Satz über die Summe benachbarter Winkel folgt, dass ein an einen rechten Winkel angrenzender Winkel ein rechter Winkel ist: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

Frage 6. Welche Winkel werden als vertikal bezeichnet?
Antwort. Zwei Winkel heißen vertikal, wenn die Seiten des einen Winkels komplementäre Halblinien der Seiten des anderen sind.

Frage 7. Beweisen Sie, dass die vertikalen Winkel gleich sind.
Antwort. Satz 2.2. Vertikale Winkel sind gleich.
Nachweisen. Seien (a 1 b 1) und (a 2 b 2) die gegebenen vertikalen Winkel (Abb. 34). Winkel (a 1 b 2) grenzt an Winkel (a 1 b 1) und an Winkel (a 2 b 2). Daraus schließen wir unter Verwendung des Satzes über die Summe benachbarter Winkel, dass jeder der Winkel (a 1 b 1) und (a 2 b 2) den Winkel (a 1 b 2) zu 180° ergänzt, d. h. Winkel (a 1 b 1) und (a 2 b 2) sind gleich. Q.E.D.

Frage 8. Beweisen Sie: Wenn beim Schnittpunkt zweier Geraden einer der Winkel recht ist, dann sind auch die anderen drei Winkel recht.
Antwort. Angenommen, die Linien AB und CD schneiden sich im Punkt O. Angenommen, der Winkel AOD beträgt 90°. Da die Summe benachbarter Winkel 180° beträgt, ergibt sich AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Der Winkel COB ist vertikal zum Winkel AOD, daher sind sie gleich. Das heißt, Winkel COB = 90°. Der Winkel COA ist vertikal zum Winkel BOD, daher sind sie gleich. Das heißt, Winkel BOD = 90°. Somit sind alle Winkel gleich 90°, also alle rechten Winkel. Q.E.D.

Frage 9. Welche Geraden heißen Senkrechte? Welches Zeichen wird verwendet, um die Rechtwinkligkeit von Linien anzuzeigen?
Antwort. Zwei Geraden heißen senkrecht, wenn sie sich im rechten Winkel schneiden.
Die Rechtwinkligkeit von Geraden wird durch das Zeichen \(\perp\) angegeben. Der Eintrag \(a\perp b\) lautet: „Linie a steht senkrecht auf Linie b.“

Frage 10. Beweisen Sie, dass Sie durch jeden Punkt einer Geraden eine Gerade senkrecht dazu zeichnen können, und zwar nur eine.
Antwort. Satz 2.3. Durch jede Linie können Sie eine Linie senkrecht dazu zeichnen, und zwar nur eine.
Nachweisen. Sei a die gegebene Gerade und A angegebenen Punkt auf ihr. Bezeichnen wir mit a 1 eine der Halbgeraden der Geraden a mit dem Startpunkt A (Abb. 38). Subtrahieren wir von der Halbgeraden a 1 einen Winkel (a 1 b 1) gleich 90°. Dann steht die Gerade, die den Strahl b 1 enthält, senkrecht zur Geraden a.

Nehmen wir an, dass es eine weitere Gerade gibt, die ebenfalls durch Punkt A verläuft und senkrecht zur Geraden a steht. Bezeichnen wir mit c 1 die Halblinie dieser Linie, die in derselben Halbebene mit dem Strahl b 1 liegt.
Die Winkel (a 1 b 1) und (a 1 c 1), jeweils gleich 90°, werden in einer Halbebene ausgehend von der Halblinie a 1 angelegt. Aber von der Halblinie a 1 kann in eine gegebene Halbebene nur ein Winkel gleich 90° gelegt werden. Daher kann es keine andere Gerade geben, die durch Punkt A verläuft und senkrecht zur Geraden a verläuft. Der Satz ist bewiesen.

Frage 11. Was steht senkrecht zu einer Geraden?
Antwort. Eine Senkrechte zu einer gegebenen Geraden ist ein Segment einer Geraden senkrecht zu einer gegebenen Geraden, deren eines ihrer Enden an ihrem Schnittpunkt liegt. Dieses Ende des Segments wird aufgerufen Basis senkrecht.

Frage 12. Erklären Sie, woraus ein Widerspruchsbeweis besteht.
Antwort. Die Beweismethode, die wir in Satz 2.3 verwendet haben, wird Widerspruchsbeweis genannt. Diese Beweismethode besteht darin, dass wir zunächst eine Annahme machen, die dem Satz entgegengesetzt ist. Dann kommen wir durch Argumentation, die sich auf Axiome und bewährte Theoreme stützt, zu einer Schlussfolgerung, die entweder den Bedingungen des Theorems oder einem der Axiome oder einem zuvor bewiesenen Theorem widerspricht. Auf dieser Grundlage kommen wir zu dem Schluss, dass unsere Annahme falsch war und daher die Aussage des Theorems wahr ist.

Frage 13. Was ist die Winkelhalbierende?
Antwort. Die Winkelhalbierende ist ein Strahl, der vom Scheitelpunkt des Winkels ausgeht, zwischen seinen Seiten verläuft und den Winkel in zwei Hälften teilt.