Eine unvollständige quadratische Gleichung unterscheidet sich von klassischen (vollständigen) Gleichungen dadurch, dass ihre Faktoren oder ihr freier Term gleich Null sind. Die Graphen solcher Funktionen sind Parabeln. Abhängig von ihrem allgemeinen Erscheinungsbild werden sie in 3 Gruppen eingeteilt. Die Lösungsprinzipien für alle Arten von Gleichungen sind gleich.

Es ist nicht schwierig, den Typ eines unvollständigen Polynoms zu bestimmen. Am besten betrachten Sie die wesentlichen Unterschiede anhand anschaulicher Beispiele:

1. Wenn b = 0, dann lautet die Gleichung ax 2 + c = 0.
2. Wenn c = 0, dann sollte der Ausdruck ax 2 + bx = 0 gelöst werden.
3. Wenn b = 0 und c = 0, dann wird das Polynom zu einer Gleichheit wie ax 2 = 0.

Letzterer Fall ist eher eine theoretische Möglichkeit und kommt bei Wissenstestaufgaben nie vor, da der einzig korrekte Wert der Variablen x im Ausdruck Null ist. Zukünftig werden Methoden und Beispiele zur Lösung unvollständiger Probleme betrachtet. quadratische Gleichungen 1) und 2) Typen.

Allgemeiner Algorithmus zum Suchen von Variablen und Beispielen mit Lösungen

Unabhängig von der Art der Gleichung reduziert sich der Lösungsalgorithmus auf folgende Schritte:

1. Reduzieren Sie den Ausdruck auf eine Form, die zum Finden von Wurzeln geeignet ist.
2. Berechnungen durchführen.
3. Schreiben Sie die Antwort auf.

Der einfachste Weg, unvollständige Gleichungen zu lösen, besteht darin, sie zu faktorisieren linke Seite und rechts eine Null hinterlassen. Somit reduziert sich die Formel für eine unvollständige quadratische Gleichung zum Finden von Wurzeln auf die Berechnung des Werts von x für jeden der Faktoren.

Wie man es löst, kann man nur in der Praxis lernen, also lassen Sie uns darüber nachdenken konkretes Beispiel Finden der Wurzeln einer unvollständigen Gleichung:

Wie man sehen kann, in in diesem Fall b = 0. Lassen Sie uns die linke Seite faktorisieren und den Ausdruck erhalten:

4(x – 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.

Offensichtlich ist das Produkt gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Die Werte der Variablen x1 = 0,5 und (oder) x2 = -0,5 erfüllen ähnliche Anforderungen.

Um das Problem der Faktorisierung eines quadratischen Trinoms einfach und schnell zu bewältigen, sollten Sie sich die folgende Formel merken:

Wenn der Ausdruck keinen freien Term enthält, wird das Problem stark vereinfacht. Es genügt, den gemeinsamen Nenner zu finden und einzuklammern. Betrachten Sie zur Verdeutlichung ein Beispiel für die Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen der Form ax2 + bx = 0.

Nehmen wir die Variable x aus der Klammer und erhalten den folgenden Ausdruck:

x ⋅ (x + 3) = 0.

Von der Logik geleitet kommen wir zu dem Schluss, dass x1 = 0 und x2 = -3.

Traditionelle Lösungsmethode und unvollständige quadratische Gleichungen

Was passiert, wenn Sie die Diskriminanzformel anwenden und versuchen, die Wurzeln eines Polynoms mit Koeffizienten gleich Null zu finden? Nehmen wir ein Beispiel aus einer Sammlung von Standardaufgaben für das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik 2017 und lösen es mit Standardformeln und der Faktorisierungsmethode.

7x 2 – 3x = 0.

Berechnen wir den Diskriminanzwert: D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Es stellt sich heraus, dass das Polynom zwei Wurzeln hat:

Nun lösen wir die Gleichung durch Faktorisieren und vergleichen die Ergebnisse.

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.

Wie Sie sehen, liefern beide Methoden das gleiche Ergebnis, aber die Lösung der Gleichung mit der zweiten Methode war viel einfacher und schneller.

Satz von Vieta

Aber was tun mit Vietas Lieblingssatz? Kann diese Methode verwendet werden, wenn das Trinom unvollständig ist? Versuchen wir zu verstehen, wie man unvollständige Gleichungen in die klassische Form ax2 + bx + c = 0 bringt.

Tatsächlich ist es in diesem Fall möglich, den Satz von Vieta anzuwenden. Es ist lediglich erforderlich, den Ausdruck in seine allgemeine Form zu bringen und die fehlenden Terme durch Nullen zu ersetzen.

Beispielsweise sollte bei b = 0 und a = 1 die Aufgabe in der Form geschrieben werden, um Verwechslungen auszuschließen: ax2 + 0 + c = 0. Dann wird das Verhältnis von Summe und Produkt der Wurzeln und berechnet Faktoren des Polynoms können wie folgt ausgedrückt werden:

Theoretische Berechnungen helfen, sich mit dem Kern der Sache vertraut zu machen, und erfordern immer die Entwicklung von Fähigkeiten bei der Lösung konkreter Probleme. Schauen wir uns noch einmal das Nachschlagewerk der Standardaufgaben für das Einheitliche Staatsexamen an und finden ein passendes Beispiel:

Schreiben wir den Ausdruck in einer für die Anwendung des Satzes von Vieta geeigneten Form:

x 2 + 0 – 16 = 0.

Der nächste Schritt besteht darin, ein System von Bedingungen zu erstellen:

Offensichtlich sind die Wurzeln des quadratischen Polynoms x 1 = 4 und x 2 = -4.

Nun üben wir, die Gleichung in ihre allgemeine Form zu bringen. Nehmen wir nächstes Beispiel: 1/4× x 2 – 1 = 0

Um den Satz von Vieta auf einen Ausdruck anzuwenden, ist es notwendig, den Bruch loszuwerden. Multiplizieren wir die linke und rechte Seite mit 4 und sehen uns das Ergebnis an: x2– 4 = 0. Die resultierende Gleichheit kann durch den Satz von Vieta gelöst werden, aber es ist viel einfacher und schneller, die Antwort zu erhalten, indem man einfach c = verschiebt 4 auf der rechten Seite der Gleichung: x2 = 4.

Zusammenfassend lässt sich sagen: der beste Weg Das Lösen unvollständiger Gleichungen ist Faktorisierung, die einfachste und einfachste schnelle Methode. Sollten bei der Suche nach Wurzeln Schwierigkeiten auftreten, können Sie sich an uns wenden traditionelle Methode Finden von Wurzeln durch eine Diskriminante.

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Im Begriff „quadratische Gleichung“ lautet das Schlüsselwort „quadratisch“. Das bedeutet, dass die Gleichung notwendigerweise eine Variable (dasselbe x) im Quadrat enthalten muss und es keine x mit der dritten (oder höheren) Potenz geben darf.

Die Lösung vieler Gleichungen läuft darauf hinaus, quadratische Gleichungen zu lösen.

Lassen Sie uns lernen, festzustellen, dass es sich um eine quadratische Gleichung und nicht um eine andere Gleichung handelt.

Beispiel 1.

Lassen Sie uns den Nenner loswerden und jeden Term der Gleichung mit multiplizieren

Verschieben wir alles auf die linke Seite und ordnen die Terme in absteigender Reihenfolge der Potenzen von X an

Jetzt können wir mit Sicherheit sagen, dass diese Gleichung quadratisch ist!

Beispiel 2.

Multiplizieren Sie die linke und rechte Seite mit:

Obwohl diese Gleichung ursprünglich enthalten war, ist sie nicht quadratisch!

Beispiel 3.

Multiplizieren wir alles mit:

Beängstigend? Der vierte und zweite Grad... Wenn wir jedoch eine Ersetzung vornehmen, werden wir sehen, dass wir eine einfache quadratische Gleichung haben:

Beispiel 4.

Es scheint da zu sein, aber schauen wir uns das genauer an. Verschieben wir alles auf die linke Seite:

Sehen Sie, es ist reduziert – und jetzt ist es eine einfache lineare Gleichung!

Versuchen Sie nun selbst herauszufinden, welche der folgenden Gleichungen quadratisch sind und welche nicht:

Beispiele:

Antworten:

1. Quadrat;
2. Quadrat;
3. nicht quadratisch;
4. nicht quadratisch;
5. nicht quadratisch;
6. Quadrat;
7. nicht quadratisch;
8. Quadrat.

Mathematiker unterteilen herkömmlicherweise alle quadratischen Gleichungen in die folgenden Typen:

• Vollständige quadratische Gleichungen- Gleichungen, in denen die Koeffizienten und sowie der freie Term c ungleich Null sind (wie im Beispiel). Darüber hinaus gibt es unter den vollständigen quadratischen Gleichungen gegeben- das sind Gleichungen, in denen der Koeffizient (die Gleichung aus Beispiel eins ist nicht nur vollständig, sondern auch reduziert!)

• Unvollständige quadratische Gleichungen- Gleichungen, in denen der Koeffizient und/oder der freie Term c gleich Null sind:

  Sie sind unvollständig, weil ihnen ein Element fehlt. Aber die Gleichung muss immer X im Quadrat enthalten!!! Andernfalls handelt es sich nicht mehr um eine quadratische Gleichung, sondern um eine andere Gleichung.

Warum haben sie sich eine solche Einteilung ausgedacht? Es scheint, dass es ein X im Quadrat gibt, und okay. Diese Einteilung wird durch die Lösungsmethoden bestimmt. Schauen wir uns jeden von ihnen genauer an.

Unvollständige quadratische Gleichungen lösen

Konzentrieren wir uns zunächst auf die Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen – sie sind viel einfacher!

Es gibt Arten unvollständiger quadratischer Gleichungen:

1. , in dieser Gleichung ist der Koeffizient gleich.
2. , in dieser Gleichung ist der freie Term gleich.
3. , in dieser Gleichung sind der Koeffizient und der freie Term gleich.

1. ich. Weil wir wissen, wie man extrahiert Quadratwurzel, dann lassen Sie uns aus dieser Gleichung ausdrücken

Der Ausdruck kann entweder negativ oder positiv sein. Eine quadrierte Zahl kann nicht negativ sein, denn wenn man zwei negative oder zwei positive Zahlen multipliziert, erhält man immer ein negatives Ergebnis positive Zahl, also: wenn, dann hat die Gleichung keine Lösungen.

Und wenn, dann bekommen wir zwei Wurzeln. Es besteht keine Notwendigkeit, diese Formeln auswendig zu lernen. Die Hauptsache ist, dass Sie wissen und immer daran denken müssen, dass es nicht weniger sein kann.

Versuchen wir, einige Beispiele zu lösen.

Beispiel 5:

Lösen Sie die Gleichung

Jetzt müssen Sie nur noch die Wurzel von der linken und rechten Seite extrahieren. Erinnern Sie sich schließlich daran, wie man Wurzeln zieht?

Antwort:

Vergessen Sie niemals Wurzeln mit negativem Vorzeichen!!!

Beispiel 6:

Lösen Sie die Gleichung

Antwort:

Beispiel 7:

Lösen Sie die Gleichung

Oh! Das Quadrat einer Zahl kann nicht negativ sein, was bedeutet, dass die Gleichung

keine Wurzeln!

Für solche Gleichungen, die keine Wurzeln haben, haben Mathematiker ein spezielles Symbol erfunden – (leere Menge). Und die Antwort kann so geschrieben werden:

Antwort:

Somit hat diese quadratische Gleichung zwei Wurzeln. Hier gibt es keine Einschränkungen, da wir den Root nicht extrahiert haben.
Beispiel 8:

Lösen Sie die Gleichung

Nehmen wir den gemeinsamen Faktor aus Klammern heraus:

Daher,

Diese Gleichung hat zwei Wurzeln.

Antwort:

Die einfachste Art unvollständiger quadratischer Gleichungen (obwohl sie alle einfach sind, oder?). Offensichtlich hat diese Gleichung immer nur eine Wurzel:

Auf Beispiele verzichten wir hier.

Komplette quadratische Gleichungen lösen

Wir erinnern Sie daran, dass eine vollständige quadratische Gleichung eine Gleichung der Form Gleichung wo ist

Das Lösen vollständiger quadratischer Gleichungen ist etwas schwieriger (nur ein wenig) als diese.

Erinnern Jede quadratische Gleichung kann mit einer Diskriminante gelöst werden! Sogar unvollständig.

Mit den anderen Methoden geht es schneller, aber wenn Sie Probleme mit quadratischen Gleichungen haben, meistern Sie zunächst die Lösung mit der Diskriminante.

1. Lösen quadratischer Gleichungen mit einer Diskriminante.

Das Lösen quadratischer Gleichungen mit dieser Methode ist sehr einfach; die Hauptsache ist, sich die Reihenfolge der Aktionen und einige Formeln zu merken.

Wenn ja, dann hat die Gleichung eine Wurzel. besondere Aufmerksamkeit einen Schritt machen. Diskriminant() gibt uns die Anzahl der Wurzeln der Gleichung an.

• Wenn ja, wird die Formel im Schritt reduziert auf. Somit hat die Gleichung nur eine Wurzel.
• Wenn ja, können wir in diesem Schritt die Wurzel der Diskriminante nicht extrahieren. Dies zeigt an, dass die Gleichung keine Wurzeln hat.

Kehren wir zu unseren Gleichungen zurück und schauen wir uns einige Beispiele an.

Beispiel 9:

Lösen Sie die Gleichung

Schritt 1 wir überspringen.

Schritt 2.

Wir finden die Diskriminante:

Das bedeutet, dass die Gleichung zwei Wurzeln hat.

Schritt 3.

Antwort:

Beispiel 10:

Lösen Sie die Gleichung

Die Gleichung wird in Standardform dargestellt, also Schritt 1 wir überspringen.

Schritt 2.

Wir finden die Diskriminante:

Das bedeutet, dass die Gleichung eine Wurzel hat.

Antwort:

Beispiel 11:

Lösen Sie die Gleichung

Die Gleichung wird in Standardform dargestellt, also Schritt 1 wir überspringen.

Schritt 2.

Wir finden die Diskriminante:

Das bedeutet, dass wir die Wurzel der Diskriminante nicht extrahieren können. Es gibt keine Wurzeln der Gleichung.

Jetzt wissen wir, wie man solche Antworten richtig aufschreibt.

Antwort: keine Wurzeln

2. Lösen quadratischer Gleichungen mit dem Satz von Vieta.

Wenn Sie sich erinnern, gibt es eine Art Gleichung, die als reduziert bezeichnet wird (wenn der Koeffizient a gleich ist):

Solche Gleichungen lassen sich sehr einfach mit dem Satz von Vieta lösen:

Summe der Wurzeln gegeben Die quadratische Gleichung ist gleich und das Produkt der Wurzeln ist gleich.

Beispiel 12:

Lösen Sie die Gleichung

Diese Gleichung kann mit dem Satz von Vieta gelöst werden, weil .

Die Summe der Wurzeln der Gleichung ist gleich, d.h. wir erhalten die erste Gleichung:

Und das Produkt ist gleich:

Lassen Sie uns das System zusammenstellen und lösen:

• Und. Der Betrag beträgt;
• Und. Der Betrag beträgt;
• Und. Der Betrag ist gleich.

und sind die Lösung des Systems:

Antwort: ; .

Beispiel 13:

Lösen Sie die Gleichung

Antwort:

Beispiel 14:

Lösen Sie die Gleichung

Die Gleichung ist gegeben, was bedeutet:

Antwort:

QUADRATGLEICHUNGEN. MITTLERE EBENE

Was ist eine quadratische Gleichung?

Mit anderen Worten, eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form, bei der - die Unbekannte, - einige Zahlen und.

Die Zahl wird als höchste oder bezeichnet erster Koeffizient quadratische Gleichung, - zweiter Koeffizient, A - kostenloses Mitglied.

Warum? Denn wenn die Gleichung sofort linear wird, weil wird verschwinden.

In diesem Fall kann und gleich Null sein. In diesem Stuhl heißt die Gleichung unvollständig. Wenn alle Terme vorhanden sind, ist die Gleichung vollständig.

Lösungen für verschiedene Arten quadratischer Gleichungen

Methoden zur Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen:

Schauen wir uns zunächst Methoden zum Lösen unvollständiger quadratischer Gleichungen an – sie sind einfacher.

Wir können die folgenden Arten von Gleichungen unterscheiden:

I., in dieser Gleichung sind der Koeffizient und der freie Term gleich.

II. , in dieser Gleichung ist der Koeffizient gleich.

III. , in dieser Gleichung ist der freie Term gleich.

Schauen wir uns nun die Lösung für jeden dieser Untertypen an.

Offensichtlich hat diese Gleichung immer nur eine Wurzel:

Eine quadrierte Zahl kann nicht negativ sein, denn wenn man zwei negative oder zwei positive Zahlen multipliziert, ist das Ergebnis immer eine positive Zahl. Deshalb:

wenn, dann hat die Gleichung keine Lösungen;

wenn wir zwei Wurzeln haben

Es besteht keine Notwendigkeit, diese Formeln auswendig zu lernen. Das Wichtigste ist, dass es nicht weniger sein kann.

Beispiele:

Lösungen:

Antwort:

Vergessen Sie niemals Wurzeln mit negativem Vorzeichen!

Das Quadrat einer Zahl kann nicht negativ sein, was bedeutet, dass die Gleichung

keine Wurzeln.

Um kurz zu beschreiben, dass es für ein Problem keine Lösungen gibt, verwenden wir das leere Set-Symbol.

Antwort:

Diese Gleichung hat also zwei Wurzeln: und.

Antwort:

Nehmen wir den gemeinsamen Faktor aus Klammern heraus:

Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Das bedeutet, dass die Gleichung eine Lösung hat, wenn:

Diese quadratische Gleichung hat also zwei Wurzeln: und.

Beispiel:

Lösen Sie die Gleichung.

Lösung:

Lassen Sie uns die linke Seite der Gleichung faktorisieren und die Wurzeln finden:

Antwort:

Methoden zur Lösung vollständiger quadratischer Gleichungen:

1. Diskriminant

Das Lösen quadratischer Gleichungen auf diese Weise ist einfach. Die Hauptsache ist, sich die Abfolge der Aktionen und ein paar Formeln zu merken. Denken Sie daran, dass jede quadratische Gleichung mit einer Diskriminante gelöst werden kann! Sogar unvollständig.

Ist Ihnen in der Formel für Wurzeln die Wurzel aus der Diskriminante aufgefallen? Aber die Diskriminante kann negativ sein. Was zu tun? Wir müssen Schritt 2 besondere Aufmerksamkeit schenken. Die Diskriminante gibt uns die Anzahl der Wurzeln der Gleichung an.

• Wenn, dann hat die Gleichung Wurzeln:
• Wenn ja, dann hat die Gleichung die gleichen Wurzeln und tatsächlich eine Wurzel:

  Solche Wurzeln werden Doppelwurzeln genannt.

• Wenn ja, wird die Wurzel der Diskriminante nicht extrahiert. Dies zeigt an, dass die Gleichung keine Wurzeln hat.

Warum sind unterschiedliche Anzahlen von Wurzeln möglich? Wenden wir uns der geometrischen Bedeutung der quadratischen Gleichung zu. Der Graph der Funktion ist eine Parabel:

In einem Sonderfall, bei dem es sich um eine quadratische Gleichung handelt, . Das bedeutet, dass die Wurzeln einer quadratischen Gleichung die Schnittpunkte mit der Abszissenachse (Achse) sind. Eine Parabel schneidet die Achse möglicherweise überhaupt nicht oder an einem (wenn der Scheitelpunkt der Parabel auf der Achse liegt) oder zwei Punkten.

Darüber hinaus ist der Koeffizient für die Richtung der Äste der Parabel verantwortlich. Wenn, dann sind die Äste der Parabel nach oben gerichtet, und wenn, dann nach unten.

Beispiele:

Lösungen:

Antwort:

Antwort: .

Antwort:

Das heißt, es gibt keine Lösungen.

Antwort: .

2. Satz von Vieta

Es ist sehr einfach, den Satz von Vieta anzuwenden: Sie müssen lediglich ein Zahlenpaar auswählen, dessen Produkt gleich dem freien Term der Gleichung ist und dessen Summe gleich dem zweiten Koeffizienten ist, der mit dem entgegengesetzten Vorzeichen genommen wird.

Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass der Satz von Vieta nur in angewendet werden kann reduzierte quadratische Gleichungen ().

Schauen wir uns ein paar Beispiele an:

Beispiel Nr. 1:

Lösen Sie die Gleichung.

Lösung:

Diese Gleichung kann mit dem Satz von Vieta gelöst werden, weil . Andere Koeffizienten: ; .

Die Summe der Wurzeln der Gleichung ist:

Und das Produkt ist gleich:

Wählen wir Zahlenpaare aus, deren Produkt gleich ist, und prüfen wir, ob ihre Summe gleich ist:

• Und. Der Betrag beträgt;
• Und. Der Betrag beträgt;
• Und. Der Betrag ist gleich.

und sind die Lösung des Systems:

Somit sind und die Wurzeln unserer Gleichung.

Antwort: ; .

Beispiel #2:

Lösung:

Wählen wir Zahlenpaare aus, die das Produkt ergeben, und prüfen wir dann, ob ihre Summe gleich ist:

und: sie geben insgesamt.

und: sie geben insgesamt. Um zu erhalten, reicht es aus, einfach die Vorzeichen der vermeintlichen Wurzeln zu ändern: und schließlich auch des Produkts.

Antwort:

Beispiel #3:

Lösung:

Der freie Term der Gleichung ist negativ und daher ist das Produkt der Wurzeln negativ negative Zahl. Dies ist nur möglich, wenn eine der Wurzeln negativ und die andere positiv ist. Daher ist die Summe der Wurzeln gleich Unterschiede ihrer Module.

Wählen wir Zahlenpaare aus, die das Produkt ergeben und deren Differenz gleich ist:

und: ihr Unterschied ist gleich – passt nicht;

und: - nicht geeignet;

und: - nicht geeignet;

und: - geeignet. Es bleibt nur noch, sich daran zu erinnern, dass eine der Wurzeln negativ ist. Da ihre Summe gleich sein muss, muss die Wurzel mit einem kleineren Modul negativ sein: . Wir prüfen:

Antwort:

Beispiel #4:

Lösen Sie die Gleichung.

Lösung:

Die Gleichung ist gegeben, was bedeutet:

Der freie Term ist negativ und daher ist das Produkt der Wurzeln negativ. Und das ist nur möglich, wenn eine Wurzel der Gleichung negativ und die andere positiv ist.

Wählen wir Zahlenpaare aus, deren Produkt gleich ist, und bestimmen wir dann, welche Wurzeln ein negatives Vorzeichen haben sollen:

Offensichtlich sind nur die Wurzeln für die erste Bedingung geeignet:

Antwort:

Beispiel #5:

Lösen Sie die Gleichung.

Lösung:

Die Gleichung ist gegeben, was bedeutet:

Die Summe der Wurzeln ist negativ, was bedeutet, dass mindestens eine der Wurzeln negativ ist. Da ihr Produkt jedoch positiv ist, bedeutet dies, dass beide Wurzeln ein Minuszeichen haben.

Wählen wir Zahlenpaare aus, deren Produkt gleich ist:

Offensichtlich sind die Wurzeln die Zahlen und.

Antwort:

Stimmen Sie zu, es ist sehr praktisch, Wurzeln mündlich zu finden, anstatt diese unangenehme Diskriminante zu zählen. Versuchen Sie, den Satz von Vieta so oft wie möglich anzuwenden.

Aber der Satz von Vieta wird benötigt, um das Auffinden der Wurzeln zu erleichtern und zu beschleunigen. Damit Sie davon profitieren können, müssen Sie die Aktionen automatisch durchführen. Und lösen Sie dazu fünf weitere Beispiele. Aber betrügen Sie nicht: Sie können keine Diskriminante verwenden! Nur der Satz von Vieta:

Aufgabenlösungen für selbstständiges Arbeiten:

Aufgabe 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Nach dem Satz von Vieta:

Wie üblich beginnen wir die Auswahl mit dem Stück:

Aufgrund der Menge nicht geeignet;

: Die Menge ist genau das, was Sie brauchen.

Antwort: ; .

Aufgabe 2.

Und wieder unser Lieblingssatz von Vieta: Die Summe muss gleich sein und das Produkt muss gleich sein.

Da es aber nicht sein darf, ändern wir die Vorzeichen der Wurzeln: und (insgesamt).

Antwort: ; .

Aufgabe 3.

Hmm... Wo ist das?

Sie müssen alle Begriffe in einen Teil verschieben:

Die Summe der Wurzeln ist gleich dem Produkt.

Okay, hör auf! Die Gleichung ist nicht gegeben. Der Satz von Vieta ist jedoch nur in den gegebenen Gleichungen anwendbar. Zuerst müssen Sie also eine Gleichung angeben. Wenn Sie nicht führen können, geben Sie diese Idee auf und lösen Sie sie auf andere Weise (z. B. durch eine Diskriminante). Ich möchte Sie daran erinnern, dass die Angabe einer quadratischen Gleichung bedeutet, den führenden Koeffizienten gleich zu machen:

Großartig. Dann ist die Summe der Wurzeln gleich und das Produkt.

Hier ist die Auswahl so einfach wie das Schälen von Birnen: Schließlich handelt es sich um eine Primzahl (sorry für die Tautologie).

Antwort: ; .

Aufgabe 4.

Das freie Mitglied ist negativ. Was ist das Besondere daran? Und Tatsache ist, dass die Wurzeln unterschiedliche Vorzeichen haben werden. Und jetzt prüfen wir bei der Auswahl nicht die Summe der Wurzeln, sondern den Unterschied in ihren Modulen: Dieser Unterschied ist gleich, aber ein Produkt.

Die Wurzeln sind also gleich und, aber eine davon ist minus. Der Satz von Vieta sagt uns, dass die Summe der Wurzeln gleich dem zweiten Koeffizienten mit umgekehrtem Vorzeichen ist. Das bedeutet, dass die kleinere Wurzel ein Minus hat: und, da.

Antwort: ; .

Aufgabe 5.

Was sollten Sie zuerst tun? Richtig, geben Sie die Gleichung an:

Nochmals: Wir wählen die Faktoren der Zahl aus und ihre Differenz sollte gleich sein:

Die Wurzeln sind gleich und, aber eine davon ist minus. Welche? Ihre Summe sollte gleich sein, was bedeutet, dass das Minus eine größere Wurzel hat.

Antwort: ; .

Lassen Sie mich zusammenfassen:

1. Der Satz von Vieta wird nur in den angegebenen quadratischen Gleichungen verwendet.
2. Mit dem Satz von Vieta können Sie die Wurzeln durch mündliche Auswahl finden.
3. Wenn die Gleichung nicht gegeben ist oder kein passendes Faktorenpaar des freien Termes gefunden wird, dann gibt es keine ganzen Wurzeln und Sie müssen sie auf andere Weise lösen (z. B. durch eine Diskriminante).

3. Methode zur Auswahl eines vollständigen Quadrats

Wenn alle Terme, die die Unbekannte enthalten, in Form von Termen aus abgekürzten Multiplikationsformeln – dem Quadrat der Summe oder Differenz – dargestellt werden, kann die Gleichung nach dem Ersetzen der Variablen in Form einer unvollständigen quadratischen Gleichung dieser Art dargestellt werden.

Zum Beispiel:

Beispiel 1:

Lösen Sie die Gleichung: .

Lösung:

Antwort:

Beispiel 2:

Lösen Sie die Gleichung: .

Lösung:

Antwort:

IN Gesamtansicht Die Transformation wird so aussehen:

Daraus folgt: .

Erinnert Sie an nichts? Das ist eine diskriminierende Sache! Genau so haben wir die Diskriminanzformel erhalten.

QUADRATGLEICHUNGEN. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Quadratische Gleichung- Dies ist eine Gleichung der Form, wobei - die Unbekannte, - die Koeffizienten der quadratischen Gleichung, - der freie Term.

Vollständige quadratische Gleichung- eine Gleichung, in der die Koeffizienten ungleich Null sind.

Reduzierte quadratische Gleichung- eine Gleichung, in der der Koeffizient, also: .

Unvollständige quadratische Gleichung- eine Gleichung, in der der Koeffizient und/oder der freie Term c gleich Null sind:

• Wenn der Koeffizient, sieht die Gleichung wie folgt aus: ,
• Wenn ein freier Term vorhanden ist, hat die Gleichung die Form: ,
• Wenn und, sieht die Gleichung wie folgt aus: .

1. Algorithmus zur Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen

1.1. Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form, wobei:

1) Lassen Sie uns das Unbekannte ausdrücken: ,

2) Überprüfen Sie das Vorzeichen des Ausdrucks:

• wenn, dann hat die Gleichung keine Lösungen,
• Wenn ja, dann hat die Gleichung zwei Wurzeln.

1.2. Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form, wobei:

1) Nehmen wir den gemeinsamen Faktor aus Klammern heraus: ,

2) Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Daher hat die Gleichung zwei Wurzeln:

1.3. Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form, wobei:

Diese Gleichung hat immer nur eine Wurzel: .

2. Algorithmus zur Lösung vollständiger quadratischer Gleichungen der Form wo

2.1. Lösung mit Diskriminanz

1) Reduzieren wir die Gleichung auf Standardansicht: ,

2) Berechnen wir die Diskriminante mit der Formel: , die die Anzahl der Wurzeln der Gleichung angibt:

3) Finden Sie die Wurzeln der Gleichung:

• Wenn, dann hat die Gleichung Wurzeln, die durch die Formel gefunden werden:
• Wenn, dann hat die Gleichung eine Wurzel, die durch die Formel gefunden wird:
• Wenn, dann hat die Gleichung keine Wurzeln.

2.2. Lösung mit dem Satz von Vieta

Die Summe der Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung (Gleichung der Form wo) ist gleich und das Produkt der Wurzeln ist gleich, d.h. , A.

2.3. Lösung durch Auswahl eines vollständigen Quadrats

Wenn eine quadratische Gleichung der Form Wurzeln hat, kann sie in der Form geschrieben werden: .

Nun, das Thema ist vorbei. Wenn Sie diese Zeilen lesen, bedeutet das, dass Sie sehr cool sind.

Denn nur 5 % der Menschen sind in der Lage, etwas alleine zu meistern. Und wenn Sie bis zum Ende lesen, dann sind Sie bei diesen 5 %!

Jetzt das Wichtigste.

Sie haben die Theorie zu diesem Thema verstanden. Und ich wiederhole, das... das ist einfach super! Sie sind bereits besser als die überwiegende Mehrheit Ihrer Kollegen.

Das Problem ist, dass dies möglicherweise nicht ausreicht ...

Wofür?

Für das erfolgreiche Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens, für den Eintritt ins College mit kleinem Budget und vor allem für das Leben.

Ich werde Sie von nichts überzeugen, ich sage nur eines ...

Menschen, die eine gute Ausbildung erhalten haben, verdienen viel mehr als diejenigen, die diese nicht erhalten haben. Das ist Statistik.

Aber das ist nicht die Hauptsache.

Hauptsache, sie sind GLÜCKLICHER (es gibt solche Studien). Vielleicht, weil vor ihnen viel mehr Offenheit liegt mehr Möglichkeiten und das Leben wird heller? Ich weiß es nicht...

Aber denken Sie selbst...

Was braucht es, um beim Einheitlichen Staatsexamen sicher besser zu sein als andere und letztendlich ... glücklicher zu sein?

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Video-Tutorial 2: Quadratische Gleichungen lösen

Vortrag: Quadratische Gleichungen

Gleichung

Gleichung- Dies ist eine Art Gleichheit, in deren Ausdrücken eine Variable vorhanden ist.

Lösen Sie die Gleichung- bedeutet, eine Zahl anstelle einer Variablen zu finden, die sie in die richtige Gleichheit bringt.

Eine Gleichung kann eine Lösung, mehrere oder gar keine Lösung haben.

Um eine Gleichung zu lösen, sollte sie so weit wie möglich auf die Form vereinfacht werden:

Linear: a*x = b;

Quadrat: a*x 2 + b*x + c = 0.

Das heißt, alle Gleichungen müssen vor der Lösung in die Standardform umgewandelt werden.

Jede Gleichung kann auf zwei Arten gelöst werden: analytisch und grafisch.

In der Grafik gelten als Lösung der Gleichung die Punkte, an denen die Grafik die OX-Achse schneidet.

Quadratische Gleichungen

Eine Gleichung kann als quadratisch bezeichnet werden, wenn sie vereinfacht die Form annimmt:

a*x 2 + b*x + c = 0.

Gleichzeitig a, b, c sind Koeffizienten der Gleichung, die von Null verschieden sind. A "X"- die Wurzel der Gleichung. Es wird angenommen, dass eine quadratische Gleichung zwei Wurzeln hat oder möglicherweise überhaupt keine Lösung hat. Die resultierenden Wurzeln können dieselben sein.

"A"- der Koeffizient, der vor der Quadratwurzel steht.

"B"- steht im ersten Grad vor dem Unbekannten.

"Mit" ist der freie Term der Gleichung.

Wenn wir zum Beispiel eine Gleichung der Form haben:

2x 2 -5x+3=0

Darin ist „2“ der Koeffizient des führenden Termes der Gleichung, „-5“ der zweite Koeffizient und „3“ der freie Term.

Eine quadratische Gleichung lösen

Es gibt eine Vielzahl von Möglichkeiten, eine quadratische Gleichung zu lösen. In einem Schulmathematikkurs wird die Lösung jedoch mithilfe des Satzes von Vieta und einer Diskriminante untersucht.

Diskriminante Lösung:

Beim Lösen mit diese Methode Es ist notwendig, die Diskriminante nach folgender Formel zu berechnen:

Wenn Sie bei Ihren Berechnungen feststellen, dass die Diskriminante kleiner als Null ist, bedeutet dies, dass diese Gleichung keine Lösungen hat.

Wenn die Diskriminante Null ist, hat die Gleichung zwei identische Lösungen. In diesem Fall kann das Polynom mit der abgekürzten Multiplikationsformel in das Quadrat der Summe oder Differenz zerlegt werden. Dann lösen Sie es als lineare Gleichung. Oder verwenden Sie die Formel:

Wenn die Diskriminante größer als Null ist, müssen Sie die folgende Methode verwenden:

Satz von Vieta

Wenn die Gleichung gegeben ist, das heißt, der Koeffizient des führenden Termes gleich eins ist, können Sie verwenden Satz von Vieta.

Nehmen wir also an, die Gleichung lautet:

Die Wurzeln der Gleichung ergeben sich wie folgt:

Unvollständige quadratische Gleichung

Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine unvollständige quadratische Gleichung zu erhalten, deren Form vom Vorhandensein von Koeffizienten abhängt.

1. Wenn der zweite und dritte Koeffizient Null sind (b = 0, c = 0), dann sieht die quadratische Gleichung so aus:

Diese Gleichung wird eine eindeutige Lösung haben. Die Gleichheit ist nur dann wahr, wenn die Lösung der Gleichung Null ist.

Es ist bekannt, dass es sich um eine besondere Version der Gleichheit ax 2 + bx + c = o handelt, wobei a, b und c reelle Koeffizienten für das unbekannte x sind und a ≠ o ist und b und c Nullen sind – gleichzeitig oder separat. Zum Beispiel c = o, b ≠ o oder umgekehrt. Wir erinnerten uns fast an die Definition einer quadratischen Gleichung.

Das Trinom zweiten Grades ist Null. Sein erster Koeffizient a ≠ o, b und c kann beliebige Werte annehmen. Der Wert der Variablen x wird dann sein, wenn die Substitution sie in eine korrekte numerische Gleichheit umwandelt. Konzentrieren wir uns auf reale Wurzeln, obwohl die Gleichungen auch Lösungen sein können. Es ist üblich, eine Gleichung als vollständig zu bezeichnen, bei der keiner der Koeffizienten gleich o ist, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
Lassen Sie uns ein Beispiel lösen. 2x 2 -9x-5 = oh, wir finden
D = 81+40 = 121,
D ist positiv, was bedeutet, dass es Wurzeln gibt, x 1 = (9+√121):4 = 5 und die zweite x 2 = (9-√121):4 = -o.5. Eine Überprüfung hilft dabei, sicherzustellen, dass sie korrekt sind.

Hier ist eine schrittweise Lösung der quadratischen Gleichung

Mithilfe der Diskriminante können Sie jede Gleichung lösen, auf deren linker Seite ein bekanntes quadratisches Trinom für a ≠ o existiert. In unserem Beispiel. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+s = o)

Betrachten wir, was unvollständige Gleichungen zweiten Grades sind

1. Axt 2 +in = o. Der freie Term, der Koeffizient c bei x 0, ist hier gleich Null, in ≠ o.
   Wie löst man eine unvollständige quadratische Gleichung dieser Art? Nehmen wir x aus Klammern. Erinnern wir uns daran, wann das Produkt zweier Faktoren gleich Null ist.
   x(ax+b) = o, dies kann der Fall sein, wenn x = o oder wenn ax+b = o.
   Nachdem wir den 2. gelöst haben, haben wir x = -в/а.
   Als Ergebnis haben wir Wurzeln x 1 = 0, nach Berechnungen x 2 = -b/a.
2. Nun ist der Koeffizient von x gleich o und c ist ungleich (≠) o.
   x 2 +c = o. Verschieben wir c auf die rechte Seite der Gleichheit, erhalten wir x 2 = -с. Diese Gleichung hat nur dann reelle Wurzeln, wenn -c eine positive Zahl ist (c ‹ o),
   x 1 ist dann gleich √(-c) bzw. x 2 ist -√(-c). Ansonsten hat die Gleichung überhaupt keine Wurzeln.
3. Die letzte Option: b = c = o, also ax 2 = o. Natürlich hat eine solche einfache Gleichung eine Wurzel, x = o.

Sonderfälle

Wir haben uns angeschaut, wie man eine unvollständige quadratische Gleichung löst, und nun nehmen wir beliebige Typen.

• In einer vollständigen quadratischen Gleichung ist der zweite Koeffizient von x eine gerade Zahl.
  Sei k = o.5b. Wir haben Formeln zur Berechnung der Diskriminante und der Wurzeln.
  D/4 = k 2 - ac, die Wurzeln werden berechnet als x 1,2 = (-k±√(D/4))/a für D › o.
  x = -k/a bei D = o.
  Es gibt keine Wurzeln für D‹o.
• Es gibt quadratische Gleichungen, wenn der Koeffizient von x im Quadrat 1 ist, werden sie normalerweise geschrieben x 2 + рх + q = o. Für sie gelten alle oben genannten Formeln, die Berechnungen sind jedoch etwas einfacher.
  Beispiel: x 2 -4x-9 = 0. Berechnen Sie D: 2 2 +9, D = 13.
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
• Darüber hinaus lässt es sich leicht auf die gegebenen Gleichungen anwenden. Es besagt, dass die Summe der Wurzeln der Gleichung gleich -p ist, der zweite Koeffizient mit einem Minus (was das entgegengesetzte Vorzeichen bedeutet) und das Produkt dieser gleichen Wurzeln ist sei gleich q, dem freien Term. Sehen Sie, wie einfach es wäre, die Wurzeln dieser Gleichung verbal zu bestimmen. Für nichtreduzierte Koeffizienten (für alle Koeffizienten ungleich Null) gilt dieser Satz wie folgt: Die Summe x 1 + x 2 ist gleich -b/a, das Produkt x 1 ·x 2 ist gleich c/a.

Die Summe aus dem freien Term c und dem ersten Koeffizienten a ist gleich dem Koeffizienten b. In dieser Situation hat die Gleichung mindestens eine Wurzel (leicht zu beweisen), die erste ist notwendigerweise gleich -1 und die zweite -c/a, falls vorhanden. Sie können selbst überprüfen, wie Sie eine unvollständige quadratische Gleichung lösen können. Es könnte nicht einfacher sein. Die Koeffizienten können in bestimmten Beziehungen zueinander stehen

• x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
• Die Summe aller Koeffizienten ist gleich o.
  Die Wurzeln einer solchen Gleichung sind 1 und c/a. Beispiel: 2x 2 -15x+13 = o.
  x 1 = 1, x 2 = 13/2.

Es gibt eine Reihe anderer Möglichkeiten, verschiedene Gleichungen zweiten Grades zu lösen. Hier ist zum Beispiel eine Methode zum Extrahieren eines vollständigen Quadrats aus einem gegebenen Polynom. Es gibt verschiedene grafische Methoden. Wenn Sie sich oft mit solchen Beispielen befassen, werden Sie lernen, sie wie Samen anzuklicken, weil Ihnen alle Methoden automatisch in den Sinn kommen.

Betrachten Sie die quadratische Gleichung:
(1) .
Wurzeln einer quadratischen Gleichung(1) werden durch die Formeln bestimmt:
; .
Diese Formeln können wie folgt kombiniert werden:
.
Wenn die Wurzeln einer quadratischen Gleichung bekannt sind, kann ein Polynom zweiten Grades als Produkt von Faktoren (faktorisiert) dargestellt werden:
.

Wir gehen weiterhin davon aus, dass - reelle Zahlen.
Lassen Sie uns überlegen Diskriminante einer quadratischen Gleichung:
.
Wenn die Diskriminante positiv ist, dann hat die quadratische Gleichung (1) zwei verschiedene reelle Wurzeln:
; .
Dann hat die Faktorisierung des quadratischen Trinoms die Form:
.
Wenn die Diskriminante gleich Null ist, dann hat die quadratische Gleichung (1) zwei mehrfache (gleiche) reelle Wurzeln:
.
Faktorisierung:
.
Wenn die Diskriminante negativ ist, hat die quadratische Gleichung (1) zwei komplex konjugierte Wurzeln:
;
.
Hier ist die imaginäre Einheit ;
und sind die Real- und Imaginärteile der Wurzeln:
; .
Dann

.

Grafische Interpretation

Wenn Sie bauen Graph einer Funktion
,
das ist eine Parabel, dann sind die Schnittpunkte des Graphen mit der Achse die Wurzeln der Gleichung
.
Bei schneidet der Graph die x-Achse (Achse) an zwei Punkten.
Wenn , berührt der Graph die x-Achse an einem Punkt.
Wenn , schneidet der Graph die x-Achse nicht.

Nachfolgend finden Sie Beispiele für solche Diagramme.

Nützliche Formeln im Zusammenhang mit quadratischen Gleichungen

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Herleitung der Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Wir führen Transformationen durch und wenden die Formeln (f.1) und (f.3) an:




,
Wo
; .

Wir haben also die Formel für ein Polynom zweiten Grades in der Form erhalten:
.
Dies zeigt, dass die Gleichung

durchgeführt bei
Und .
Das heißt, und sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung
.

Beispiele für die Bestimmung der Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Beispiel 1

(1.1) .

Lösung

.
Im Vergleich mit unserer Gleichung (1.1) finden wir die Werte der Koeffizienten:
.
Wir finden die Diskriminante:
.
Da die Diskriminante positiv ist, hat die Gleichung zwei reelle Wurzeln:
;
;
.

Von hier aus erhalten wir die Faktorisierung des quadratischen Trinoms:

.

Graph der Funktion y = 2 x 2 + 7 x + 3 schneidet die x-Achse in zwei Punkten.

Lassen Sie uns die Funktion grafisch darstellen
.
Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Es schneidet die Abszissenachse (Achse) an zwei Punkten:
Und .
Diese Punkte sind die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung (1.1).

Antwort

;
;
.

Beispiel 2

Finden Sie die Wurzeln einer quadratischen Gleichung:
(2.1) .

Lösung

Schreiben wir die quadratische Gleichung in allgemeiner Form:
.
Im Vergleich zur ursprünglichen Gleichung (2.1) finden wir die Werte der Koeffizienten:
.
Wir finden die Diskriminante:
.
Da die Diskriminante Null ist, hat die Gleichung zwei mehrfache (gleiche) Wurzeln:
;
.

Dann hat die Faktorisierung des Trinoms die Form:
.

Graph der Funktion y = x 2 - 4 x + 4 berührt die x-Achse in einem Punkt.

Lassen Sie uns die Funktion grafisch darstellen
.
Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Es berührt die x-Achse (Achse) in einem Punkt:
.
Dieser Punkt ist die Wurzel der ursprünglichen Gleichung (2.1). Da diese Wurzel zweimal faktorisiert wird:
,
dann wird eine solche Wurzel üblicherweise als Vielfaches bezeichnet. Das heißt, sie glauben, dass es zwei gleiche Wurzeln gibt:
.

Antwort

;
.

Beispiel 3

Finden Sie die Wurzeln einer quadratischen Gleichung:
(3.1) .

Lösung

Schreiben wir die quadratische Gleichung in allgemeiner Form:
(1) .
Schreiben wir die ursprüngliche Gleichung (3.1) um:
.
Im Vergleich zu (1) finden wir die Werte der Koeffizienten:
.
Wir finden die Diskriminante:
.
Die Diskriminante ist negativ, .

Daher gibt es keine wirklichen Wurzeln.
;
;

Lassen Sie uns die Funktion grafisch darstellen
.
Sie können komplexe Wurzeln finden:

Antwort

Es gibt keine wirklichen Wurzeln. Komplexe Wurzeln:
;
;
.