In diesem Artikel finden Sie alles notwendige Informationen Beantwortung der Frage wie man eine Zahl in Primfaktoren zerlegt. Zunächst wird eine allgemeine Vorstellung von der Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren gegeben und Beispiele für Zerlegungen gegeben. Das Folgende zeigt die kanonische Form der Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren. Anschließend wird ein Algorithmus zur Zerlegung beliebiger Zahlen in Primfaktoren angegeben und Beispiele für die Zerlegung von Zahlen mithilfe dieses Algorithmus gegeben. Auch berücksichtigt alternative Wege, mit denen Sie kleine ganze Zahlen mithilfe von Teilbarkeitstests und Multiplikationstabellen schnell in Primfaktoren zerlegen können.

Seitennavigation.

Was bedeutet es, eine Zahl in Primfaktoren zu zerlegen?

Schauen wir uns zunächst an, was Primfaktoren sind.

Da in diesem Satz das Wort „Faktoren“ vorkommt, ist klar, dass es sich um ein Produkt einiger Zahlen handelt, und das qualifizierende Wort „einfach“ bedeutet, dass jeder Faktor eine Primzahl ist. Beispielsweise gibt es in einem Produkt der Form 2·7·7·23 vier Primfaktoren: 2, 7, 7 und 23.

Was bedeutet es, eine Zahl in Primfaktoren zu zerlegen?

Das bedeutet das angegebene Nummer muss als Produkt von Primfaktoren dargestellt werden und der Wert dieses Produkts muss gleich der ursprünglichen Zahl sein. Betrachten Sie als Beispiel das Produkt der drei Primzahlen 2, 3 und 5, es ist gleich 30, daher ist die Zerlegung der Zahl 30 in Primfaktoren 2·3·5. Normalerweise wird die Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren als Gleichheit geschrieben; in unserem Beispiel sieht sie so aus: 30=2·3·5. Wir betonen gesondert, dass Primfaktoren in der Entwicklung wiederholt werden können. Dies zeigt deutlich nächstes Beispiel: 144=2·2·2·2·3·3 . Aber eine Darstellung der Form 45=3·15 ist keine Zerlegung in Primfaktoren, da die Zahl 15 eine zusammengesetzte Zahl ist.

Es stellt sich die Frage: „Welche Zahlen lassen sich in Primfaktoren zerlegen?“

Auf der Suche nach einer Antwort darauf präsentieren wir die folgende Argumentation. Primzahlen gehören per Definition zu denen, die größer als eins sind. Unter Berücksichtigung dieser Tatsache und kann argumentiert werden, dass das Produkt mehrerer Primfaktoren eine ganze Zahl ist positive Zahl, mehr als eins. Daher findet die Faktorisierung nur für positive ganze Zahlen statt, die größer als 1 sind.

Aber können alle ganzen Zahlen größer als eins in Primfaktoren zerlegt werden?

Es ist klar, dass es nicht möglich ist, einfache ganze Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen. Dies liegt daran, dass Primzahlen nur zwei positive Faktoren haben – einen und sich selbst – und daher nicht als Produkt von zwei oder mehr Primzahlen dargestellt werden können. Wenn die ganze Zahl z als Produkt der Primzahlen a und b dargestellt werden könnte, dann würde uns das Konzept der Teilbarkeit den Schluss erlauben, dass z sowohl durch a als auch durch b teilbar ist, was aufgrund der Einfachheit der Zahl z unmöglich ist. Sie glauben jedoch, dass jede Primzahl selbst eine Zerlegung ist.

Was ist mit zusammengesetzten Zahlen? Werden zusammengesetzte Zahlen in Primfaktoren zerlegt und unterliegen alle zusammengesetzten Zahlen einer solchen Zerlegung? Der Grundsatz der Arithmetik gibt auf eine Reihe dieser Fragen eine positive Antwort. Der Grundsatz der Arithmetik besagt, dass jede ganze Zahl a, die größer als 1 ist, in das Produkt der Primfaktoren p 1, p 2, ..., p n zerlegt werden kann und die Zerlegung die Form a = p 1 · p 2 · hat. … · p n, und damit ist die Entwicklung eindeutig, wenn man die Reihenfolge der Faktoren nicht berücksichtigt

Kanonische Faktorisierung einer Zahl in Primfaktoren

Bei der Entwicklung einer Zahl können sich Primfaktoren wiederholen. Wiederkehrende Primfaktoren können mit kompakter geschrieben werden. Bei der Zerlegung einer Zahl soll der Primfaktor p 1 s 1-mal vorkommen, der Primfaktor p 2 – s 2-mal und so weiter, p n – s n-mal. Dann kann die Primfaktorzerlegung der Zahl a geschrieben werden als a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n. Diese Form der Aufzeichnung ist die sogenannte kanonische Faktorisierung einer Zahl in Primfaktoren.

Lassen Sie uns ein Beispiel für die kanonische Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren geben. Teilen Sie uns die Zerlegung mit 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, seine kanonische Notation hat die Form 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

Durch die kanonische Faktorisierung einer Zahl in Primfaktoren können Sie alle Teiler der Zahl und die Anzahl der Teiler der Zahl ermitteln.

Algorithmus zum Zerlegen einer Zahl in Primfaktoren

Um die Aufgabe, eine Zahl in Primfaktoren zu zerlegen, erfolgreich zu bewältigen, müssen Sie über sehr gute Kenntnisse der Informationen im Artikel Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen verfügen.

Das Wesen des Prozesses der Zerlegung einer positiven ganzen Zahl a, die eins überschreitet, wird aus dem Beweis des Grundsatzes der Arithmetik deutlich. Es geht darum, nacheinander die kleinsten Primteiler p 1, p 2, ..., p n der Zahlen a, a 1, a 2, ..., a n-1 zu finden, wodurch wir eine Reihe von Gleichheiten erhalten können a=p 1 ·a 1, wobei a 1 = a:p 1 , a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2 , wobei a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n , wobei a n =a n-1:p n . Wenn sich herausstellt, dass a n =1 ist, dann liefert uns die Gleichung a=p 1 ·p 2 ·…·p n die gewünschte Zerlegung der Zahl a in Primfaktoren. Auch hier gilt es zu beachten p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.

Es bleibt bei jedem Schritt herauszufinden, wie man die kleinsten Primfaktoren findet, und wir werden einen Algorithmus zum Zerlegen einer Zahl in Primfaktoren haben. Eine Tabelle mit Primzahlen hilft uns, Primfaktoren zu finden. Lassen Sie uns zeigen, wie man damit den kleinsten Primteiler der Zahl z erhält.

Wir nehmen nacheinander Primzahlen aus der Tabelle der Primzahlen (2, 3, 5, 7, 11 usw.) und dividieren die gegebene Zahl z durch sie. Die erste Primzahl, durch die z gleichmäßig geteilt wird, ist ihr kleinster Primteiler. Wenn die Zahl z eine Primzahl ist, dann ist ihr kleinster Primteiler die Zahl z selbst. Es sei hier daran erinnert, dass, wenn z keine Primzahl ist, ihr kleinster Primteiler die Zahl nicht überschreitet, wobei von z ausgeht. Wenn es also unter den Primzahlen, die nicht größer als sind, keinen einzigen Teiler der Zahl z gibt, können wir daraus schließen, dass z eine Primzahl ist (mehr dazu finden Sie im Abschnitt „Theorie“ unter der Überschrift „Diese Zahl ist eine Primzahl oder eine zusammengesetzte Zahl“) ).

Als Beispiel zeigen wir, wie man den kleinsten Primteiler der Zahl 87 findet. Nehmen wir die Nummer 2. Teilen Sie 87 durch 2, wir erhalten 87:2=43 (restlich 1) (ggf. siehe Artikel). Das heißt, wenn man 87 durch 2 dividiert, ist der Rest 1, also ist 2 kein Teiler der Zahl 87. Wir nehmen die nächste Primzahl aus der Primzahlentabelle, das ist die Zahl 3. Teilen Sie 87 durch 3, wir erhalten 87:3=29. Somit ist 87 durch 3 teilbar, daher ist die Zahl 3 der kleinste Primteiler der Zahl 87.

Beachten Sie, dass wir im allgemeinen Fall zum Zerlegen einer Zahl a in Primfaktoren eine Tabelle mit Primzahlen bis zu einer Zahl nicht kleiner als benötigen. Wir müssen bei jedem Schritt auf diese Tabelle zurückgreifen, also müssen wir sie zur Hand haben. Um beispielsweise die Zahl 95 in Primfaktoren zu zerlegen, benötigen wir nur eine Tabelle mit Primzahlen bis 10 (da 10 größer als ist). Und um die Zahl 846.653 zu zerlegen, benötigen Sie bereits eine Tabelle mit Primzahlen bis 1.000 (da 1.000 größer als ist).

Wir haben jetzt genug Informationen, um sie aufzuschreiben Algorithmus zum Zerlegen einer Zahl in Primfaktoren. Der Algorithmus zum Zerlegen der Zahl a lautet wie folgt:

• Durch sequentielles Sortieren der Zahlen aus der Tabelle der Primzahlen finden wir den kleinsten Primteiler p 1 der Zahl a und berechnen anschließend a 1 =a:p 1. Wenn a 1 =1, dann ist die Zahl a eine Primzahl und sie selbst ist ihre Zerlegung in Primfaktoren. Wenn a 1 nicht gleich 1 ist, gilt a=p 1 ·a 1 und wir fahren mit dem nächsten Schritt fort.
• Wir finden den kleinsten Primteiler p 2 der Zahl a 1 , dazu sortieren wir der Reihe nach die Zahlen aus der Primzahlentabelle, beginnend mit p 1 , und berechnen dann a 2 =a 1:p 2 . Wenn a 2 =1, dann hat die erforderliche Zerlegung der Zahl a in Primfaktoren die Form a=p 1 ·p 2. Wenn a 2 ungleich 1 ist, dann gilt a=p 1 ·p 2 ·a 2 und wir fahren mit dem nächsten Schritt fort.
• Indem wir die Zahlen aus der Tabelle der Primzahlen durchgehen, beginnend mit p 2, finden wir den kleinsten Primteiler p 3 der Zahl a 2 und berechnen anschließend a 3 =a 2:p 3. Wenn a 3 =1, dann hat die erforderliche Zerlegung der Zahl a in Primfaktoren die Form a=p 1 ·p 2 ·p 3. Wenn a 3 ungleich 1 ist, dann gilt a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 und wir fahren mit dem nächsten Schritt fort.
• Wir finden den kleinsten Primteiler p n der Zahl a n-1, indem wir die Primzahlen durchsortieren, beginnend mit p n-1, sowie a n =a n-1:p n, und a n ist gleich 1. Dieser Schritt ist der letzte Schritt des Algorithmus; hier erhalten wir die gewünschte Zerlegung der Zahl a in Primfaktoren: a=p 1 ·p 2 ·…·p n.

Der Übersichtlichkeit halber werden alle bei jedem Schritt des Algorithmus zum Zerlegen einer Zahl in Primfaktoren erhaltenen Ergebnisse in Form der folgenden Tabelle dargestellt, in der die Zahlen a, a 1, a 2, ..., a n nacheinander geschrieben sind in einer Spalte links von der vertikalen Linie und rechts von der Linie - die entsprechenden kleinsten Primteiler p 1, p 2, ..., p n.

Es bleibt nur noch, einige Beispiele für die Anwendung des resultierenden Algorithmus zur Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren zu betrachten.

Beispiele für Primfaktorzerlegung

Jetzt schauen wir uns das genauer an Beispiele für die Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren. Bei der Zerlegung verwenden wir den Algorithmus aus dem vorherigen Absatz. Beginnen wir mit einfache Fälle, und wir werden sie nach und nach komplizieren, um alle möglichen Nuancen kennenzulernen, die bei der Zerlegung von Zahlen in einfache Faktoren auftreten.

Beispiel.

Zerlegen Sie die Zahl 78 in ihre Primfaktoren.

Lösung.

Wir beginnen mit der Suche nach dem ersten kleinsten Primteiler p 1 der Zahl a=78. Dazu beginnen wir, die Primzahlen aus der Primzahlentabelle der Reihe nach zu sortieren. Wir nehmen die Zahl 2 und teilen 78 durch sie, wir erhalten 78:2=39. Die Zahl 78 wird ohne Rest durch 2 geteilt, daher ist p 1 =2 der erste gefundene Primteiler der Zahl 78. In diesem Fall ist a 1 =a:p 1 =78:2=39. Wir kommen also zur Gleichung a=p 1 ·a 1 mit der Form 78=2·39. Offensichtlich unterscheidet sich eine 1 =39 von 1, also fahren wir mit dem zweiten Schritt des Algorithmus fort.

Nun suchen wir den kleinsten Primteiler p 2 der Zahl a 1 =39. Wir beginnen mit der Aufzählung der Zahlen aus der Tabelle der Primzahlen, beginnend mit p 1 =2. Teilen Sie 39 durch 2, wir erhalten 39:2=19 (restlich 1). Da 39 nicht gleichmäßig durch 2 teilbar ist, ist 2 nicht ihr Teiler. Dann nehmen wir nächste Nummer aus der Tabelle der Primzahlen (Zahl 3) und dividiere 39 durch diese, wir erhalten 39:3=13. Daher ist p 2 =3 der kleinste Primteiler der Zahl 39, während a 2 =a 1:p 2 =39:3=13. Wir haben die Gleichheit a=p 1 ·p 2 ·a 2 in der Form 78=2·3·13. Da a 2 =13 von 1 verschieden ist, fahren wir mit dem nächsten Schritt des Algorithmus fort.

Hier müssen wir den kleinsten Primteiler der Zahl a 2 =13 finden. Auf der Suche nach dem kleinsten Primteiler p 3 der Zahl 13 sortieren wir der Reihe nach die Zahlen aus der Primzahlentabelle, beginnend mit p 2 =3. Die Zahl 13 ist nicht durch 3 teilbar, da 13:3=4 (Rest. 1), auch 13 ist nicht durch 5, 7 und 11 teilbar, da 13:5=2 (Rest. 3), 13:7=1 (Rest. 6) und 13:11=1 (Rest. 2). Die nächste Primzahl ist 13, und 13 ist ohne Rest durch sie teilbar, daher ist der kleinste Primteiler p 3 von 13 die Zahl 13 selbst und a 3 =a 2:p 3 =13:13=1. Da a 3 =1 ist, ist dieser Schritt des Algorithmus der letzte und die gewünschte Zerlegung der Zahl 78 in Primfaktoren hat die Form 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ).

Antwort:

78=2·3·13.

Beispiel.

Drücken Sie die Zahl 83.006 als Produkt von Primfaktoren aus.

Lösung.

Im ersten Schritt des Algorithmus zur Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren finden wir p 1 =2 und a 1 =a:p 1 =83.006:2=41.503, woraus 83.006=2·41.503.

Im zweiten Schritt finden wir heraus, dass 2, 3 und 5 keine Primteiler der Zahl a 1 =41.503 sind, wohl aber die Zahl 7, da 41.503:7=5.929. Wir haben p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41.503:7=5.929. Somit ist 83.006 = 2 7 5 929.

Der kleinste Primteiler der Zahl a 2 =5 929 ist die Zahl 7, da 5 929:7 = 847. Somit ist p 3 =7, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7 = 847, woraus 83 006 = 2·7·7·847.

Als nächstes stellen wir fest, dass der kleinste Primteiler p 4 der Zahl a 3 =847 gleich 7 ist. Dann ist a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, also 83 006=2·7·7·7·121.

Nun finden wir den kleinsten Primteiler der Zahl a 4 =121, es ist die Zahl p 5 =11 (da 121 durch 11 teilbar und nicht durch 7 teilbar ist). Dann ist a 5 =a 4:p 5 =121:11=11 und 83 006=2·7·7·7·11·11.

Schließlich ist der kleinste Primteiler der Zahl a 5 =11 die Zahl p 6 =11. Dann ist a 6 =a 5:p 6 =11:11=1. Da a 6 =1 ist, ist dieser Schritt des Algorithmus zur Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren der letzte und die gewünschte Zerlegung hat die Form 83 006 = 2·7·7·7·11·11.

Das erhaltene Ergebnis kann als kanonische Zerlegung der Zahl in Primfaktoren 83 006 = 2·7 3 ·11 2 geschrieben werden.

Antwort:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 ist eine Primzahl. Tatsächlich gibt es keinen einzigen Primteiler, der nicht größer ist als ( kann grob geschätzt werden als , da es offensichtlich ist, dass 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Antwort:

897 924 289 = 937 967 991 .

Verwendung von Teilbarkeitstests zur Primfaktorzerlegung

In einfachen Fällen können Sie eine Zahl in Primfaktoren zerlegen, ohne den Zerlegungsalgorithmus aus dem ersten Absatz dieses Artikels zu verwenden. Wenn die Zahlen nicht groß sind, reicht es oft aus, die Teilbarkeitszeichen zu kennen, um sie in Primfaktoren zu zerlegen. Lassen Sie uns Beispiele zur Verdeutlichung geben.

Beispielsweise müssen wir die Zahl 10 in Primfaktoren zerlegen. Aus der Multiplikationstabelle wissen wir, dass 2·5=10 ist und die Zahlen 2 und 5 offensichtlich Primzahlen sind, sodass die Primfaktorzerlegung der Zahl 10 wie folgt aussieht: 10=2·5.

Ein weiteres Beispiel. Mithilfe der Multiplikationstabelle zerlegen wir die Zahl 48 in Primfaktoren. Wir wissen, dass sechs acht ist – achtundvierzig, also 48 = 6·8. Allerdings sind weder 6 noch 8 Primzahlen. Aber wir wissen, dass zweimal drei sechs ist und zweimal vier acht ist, also 6=2·3 und 8=2·4. Dann ist 48=6·8=2·3·2·4. Es bleibt zu bedenken, dass zwei mal zwei vier ist, dann erhalten wir die gewünschte Zerlegung in Primfaktoren 48 = 2·3·2·2·2. Schreiben wir diese Erweiterung in kanonischer Form: 48=2 4 ·3.

Aber wenn Sie die Zahl 3.400 in Primfaktoren zerlegen, können Sie die Teilbarkeitskriterien verwenden. Die Vorzeichen der Teilbarkeit durch 10, 100 erlauben uns die Aussage, dass 3.400 durch 100 teilbar ist, mit 3.400=34·100, und 100 ist durch 10 teilbar, mit 100=10·10, also 3.400=34·10·10. Und basierend auf dem Test der Teilbarkeit durch 2 können wir sagen, dass jeder der Faktoren 34, 10 und 10 durch 2 teilbar ist, wir erhalten 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Alle Faktoren bei der resultierenden Erweiterung sind einfach, daher ist diese Erweiterung die gewünschte. Es bleibt nur noch, die Faktoren so umzuordnen, dass sie in aufsteigender Reihenfolge vorliegen: 3 400 = 2·2·2·5·5·17. Schreiben wir auch die kanonische Zerlegung dieser Zahl in Primfaktoren auf: 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17.

Wenn Sie eine bestimmte Zahl in Primfaktoren zerlegen, können Sie abwechselnd sowohl die Teilbarkeitszeichen als auch die Multiplikationstabelle verwenden. Stellen wir uns die Zahl 75 als Produkt von Primfaktoren vor. Der Test der Teilbarkeit durch 5 ermöglicht uns die Aussage, dass 75 durch 5 teilbar ist, und wir erhalten, dass 75 = 5·15. Und aus der Multiplikationstabelle wissen wir, dass 15=3·5, also 75=5·3·5. Dies ist die erforderliche Zerlegung der Zahl 75 in Primfaktoren.

Referenzen.

• Vilenkin N.Ya. und andere. 6. Klasse: Lehrbuch für allgemeinbildende Einrichtungen.
• Winogradow I.M. Grundlagen der Zahlentheorie.
• Mikhelovich Sh.H. Zahlentheorie.
• Kulikov L.Ya. und andere. Sammlung von Problemen der Algebra und Zahlentheorie: Lehrbuch für Studierende der Physik und Mathematik. Spezialitäten pädagogischer Institute.

Was bedeutet Factoring? Das bedeutet, Zahlen zu finden, deren Produkt gleich der ursprünglichen Zahl ist.

Um zu verstehen, was es bedeutet, Faktor zu berücksichtigen, schauen wir uns ein Beispiel an.

Ein Beispiel für die Faktorisierung einer Zahl

Faktorisieren Sie die Zahl 8.

Die Zahl 8 kann als Produkt von 2 mal 4 dargestellt werden:

Die Darstellung von 8 als Produkt von 2 * 4 bedeutet Faktorisierung.

Beachten Sie, dass dies nicht die einzige Faktorisierung von 8 ist.

Schließlich wird 4 wie folgt faktorisiert:

Von hier aus können 8 dargestellt werden:

8 = 2 * 2 * 2 = 2 3

Schauen wir uns unsere Antwort an. Finden wir heraus, was die Faktorisierung ist:

Das heißt, wir haben die ursprüngliche Nummer erhalten, die Antwort ist richtig.

Zerlegen Sie die Zahl 24 in Primfaktoren

Wie zerlegt man die Zahl 24 in Primfaktoren?

Eine Zahl heißt Primzahl, wenn sie nur durch eins und sich selbst teilbar ist.

Die Zahl 8 kann als Produkt von 3 mal 8 dargestellt werden:

Hier wird die Zahl 24 faktorisiert. Aber in der Aufgabe heißt es: „Faktoriere die Zahl 24 in Primfaktoren“, d. h. Es sind die Primfaktoren, die benötigt werden. Und in unserer Erweiterung ist 3 ein Primfaktor und 8 kein Primfaktor.

Wir wissen bereits, wie man die Faktorisierung von Potenzdifferenzen teilweise nutzt – beim Studium der Themen „Quadratdifferenz“ und „Würfeldifferenz“ haben wir gelernt, die Differenz von Ausdrücken, die als Quadrate oder als Würfel einiger dargestellt werden können, als Produkt darzustellen Ausdrücke oder Zahlen.

Abgekürzte Multiplikationsformeln

Verwendung abgekürzter Multiplikationsformeln:

Die Quadratdifferenz kann als Produkt der Differenz zweier Zahlen oder Ausdrücke und ihrer Summe dargestellt werden

Die Differenz von Würfeln kann als Produkt der Differenz zweier Zahlen mit dem unvollständigen Quadrat der Summe dargestellt werden

Übergang zur Differenz der Ausdrücke zur 4. Potenz

Versuchen wir anhand der Quadratdifferenzformel, den Ausdruck $a^4-b^4$ zu faktorisieren

Erinnern wir uns daran, wie ein Grad zu einem Grad erhöht wird – dabei bleibt die Basis gleich und die Exponenten werden multipliziert, d. h. $((a^n))^m=a^(n*m)$

Dann können Sie sich vorstellen:

$a^4=(((a)^2))^2$

$b^4=(((b)^2))^2$

Das bedeutet, dass unser Ausdruck als $a^4-b^4=(((a)^2))^2$-$(((b)^2))^2$ dargestellt werden kann

Nun haben wir in der ersten Klammer wieder die Differenz von Zahlen erhalten, was bedeutet, dass wir sie erneut als Produkt der Differenz zweier Zahlen oder Ausdrücke durch ihre Summe faktorisieren können: $a^2-b^2=\left(a-b\right )(a+b)$.

Berechnen wir nun das Produkt der zweiten und dritten Klammer mithilfe der Polynomproduktregel: Multiplizieren Sie jeden Term des ersten Polynoms mit jedem Term des zweiten Polynoms und addieren Sie das Ergebnis. Dazu multiplizieren Sie zunächst den ersten Term des ersten Polynoms – $a$ – mit dem ersten und zweiten Term des zweiten (mit $a^2$ und $b^2$), d. h. wir erhalten $a\cdot a^2+a\cdot b^2$, dann multiplizieren wir den zweiten Term des ersten Polynoms -$b$- mit dem ersten und zweiten Term des zweiten Polynoms (mit $a^2$ und $b^2$), jene. wir erhalten $b\cdot a^2 + b\cdot b^2$ und bilden die Summe der resultierenden Ausdrücke

$\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)=a\cdot a^2+a\cdot b^2+ b \cdot a^2 + b\cdot b^ 2 = a^3+ab^2+a^2b+b^3$

Schreiben wir die Differenz der Monome vom Grad 4 unter Berücksichtigung des berechneten Produkts:

$a^4-b^4=(((a)^2))^2$-$(((b)^2))^2=((a)^2-b^2)(a^2 +b^2)$=$\ \left(a-b\right)(a+b)(a^2+b^2)\ $=

Übergang zur Differenz der Ausdrücke zur 6. Potenz

Versuchen wir anhand der Quadratdifferenzformel, den Ausdruck $a^6-b^6$ zu faktorisieren

Erinnern wir uns, wie ein Grad zu einem Grad erhöht wird – dabei bleibt die Basis gleich und die Exponenten werden multipliziert, d. h. $((a^n))^m=a^(n\cdot m)$

Dann können Sie sich vorstellen:

$a^6=(((a)^3))^2$

$b^6=(((b)^3))^2$

Das bedeutet, dass unser Ausdruck als $a^6-b^6=(((a)^3))^2-(((b)^3))^2$ dargestellt werden kann

In der ersten Klammer erhalten wir die Differenz der Kubikzahlen der Monome, in der zweiten die Summe der Kubikzahlen der Monome. Jetzt können wir die Differenz der Kubikzahlen der Monome wieder als Produkt der Differenz zweier Zahlen mit dem unvollständigen Quadrat der Summe faktorisieren $a^3-b^3=\left(a-b\right)( a^2+ab+b^2)$

Der ursprüngliche Ausdruck nimmt die Form an

$a^6-b^6=((a)^3-b^3)\left(a^3+b^3\right)=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^ 2)(a^3+b^3)$

Berechnen wir das Produkt der zweiten und dritten Klammer mithilfe der Regel für das Produkt von Polynomen: Multiplizieren Sie jeden Term des ersten Polynoms mit jedem Term des zweiten Polynoms und addieren Sie das Ergebnis.

$(a^2+ab+b^2)(a^3+b^3)=a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5$

Schreiben wir die Differenz der Monome vom Grad 6 unter Berücksichtigung des berechneten Produkts:

$a^6-b^6=((a)^3-b^3)\left(a^3+b^3\right)=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^ 2)(a^3+b^3)=(a-b)(a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5)$

Berücksichtigung von Leistungsunterschieden

Lassen Sie uns die Formeln für die Würfeldifferenz, die Differenz von 4 Grad und die Differenz von 6 Grad analysieren

Wir sehen, dass es in jeder dieser Erweiterungen eine gewisse Analogie gibt, die wir verallgemeinernd erhalten:

Beispiel 1

Faktorisieren Sie $(32x)^(10)-(243y)^(15)$

Lösung: Stellen wir uns zunächst jedes Monom als ein Monom der 5. Potenz dar:

\[(32x)^(10)=((2x^2))^5\]\[(243y)^(15)=((3y^3))^5\]

Wir verwenden die Leistungsdifferenzformel

Abbildung 1.

Dieser Online-Rechner zerlegt Zahlen in Primfaktoren, indem er Primfaktoren aufzählt. Wenn die Zahl groß ist, verwenden Sie zur einfacheren Darstellung ein Zifferntrennzeichen.

Das Ergebnis liegt bereits vor!

Eine Zahl in Primfaktoren zerlegen – Theorie, Algorithmus, Beispiele und Lösungen

Eine der einfachsten Möglichkeiten, eine Zahl zu faktorisieren, besteht darin, zu prüfen, ob die Zahl durch 2, 3, 5 usw. teilbar ist, d. h. Überprüfen Sie, ob eine Zahl durch eine Reihe von Primzahlen teilbar ist. Wenn die Nummer N durch keine Primzahl bis teilbar ist, dann ist diese Zahl eine Primzahl, weil Wenn die Zahl zusammengesetzt ist, hat sie mindestens zwei Faktoren und beide können nicht größer als sein.

Stellen wir uns den Zahlenzerlegungsalgorithmus vor N in Primfaktoren zerlegen. Lassen Sie uns im Voraus eine Tabelle mit Primzahlen vorbereiten S=. Bezeichnen wir eine Reihe von Primzahlen mit P 1 , P 2 , P 3 , ...

Algorithmus zur Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren:

Beispiel 1. Zerlegen Sie die Zahl 153 in Primfaktoren.

Lösung. Es reicht uns, eine Tabelle mit Primzahlen bis zu zu haben , d.h. 2, 3, 5, 7, 11.

Teilen Sie 153 durch 2. 153 ist nicht ohne Rest durch 2 teilbar. Teilen Sie als nächstes 153 durch das nächste Element der Primzahlentabelle, d. h. bei 3. 153:3=51. Füllen Sie die Tabelle aus:

Als nächstes prüfen wir, ob die Zahl 17 durch 3 teilbar ist. Die Zahl 17 ist nicht durch 3 teilbar. Sie ist nicht durch die Zahlen 5, 7, 11 teilbar. Der nächste Teiler ist größer . Daher ist 17 eine Primzahl, die nur durch sich selbst teilbar ist: 17:17=1. Der Vorgang wurde gestoppt. Füllen Sie die Tabelle aus:

Wir wählen diejenigen Teiler, durch die die Zahlen 153, 51, 17 ohne Rest geteilt werden, d.h. Alle Zahlen stehen auf der rechten Seite der Tabelle. Das sind die Teiler 3, 3, 17. Nun lässt sich die Zahl 153 als Produkt von Primzahlen darstellen: 153=3·3·17.

Beispiel 2. Zerlegen Sie die Zahl 137 in Primfaktoren.

Lösung. Wir rechnen . Das heißt, wir müssen die Teilbarkeit der Zahl 137 durch Primzahlen bis 11 prüfen: 2,3,5,7,11. Indem wir die Zahl 137 einzeln durch diese Zahlen dividieren, finden wir heraus, dass die Zahl 137 durch keine der Zahlen 2,3,5,7,11 teilbar ist. Daher ist 137 eine Primzahl.

Schauen wir uns konkrete Beispiele für die Faktorisierung eines Polynoms an.

Wir werden die Polynome gemäß entwickeln.

Faktorpolynome:

Lassen Sie uns prüfen, ob es einen gemeinsamen Faktor gibt. ja, es entspricht 7cd. Nehmen wir es mal aus der Klammer:

Der Ausdruck in Klammern besteht aus zwei Begriffen. Es gibt keinen gemeinsamen Faktor mehr, der Ausdruck ist keine Formel für die Summe der Würfel, was bedeutet, dass die Zerlegung abgeschlossen ist.

Lassen Sie uns prüfen, ob es einen gemeinsamen Faktor gibt. NEIN. Das Polynom besteht aus drei Termen, daher prüfen wir, ob es eine Formel für ein vollständiges Quadrat gibt. Zwei Terme sind die Quadrate der Ausdrücke: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², der dritte Term ist gleich dem Doppelprodukt dieser Ausdrücke: 2∙5x∙3y=30xy. Das bedeutet, dass dieses Polynom ein perfektes Quadrat ist. Da das Doppelprodukt ein Minuszeichen hat, lautet es:

Wir prüfen, ob es möglich ist, den gemeinsamen Faktor aus Klammern herauszunehmen. Es gibt einen gemeinsamen Faktor, er ist gleich a. Nehmen wir es mal aus der Klammer:

In Klammern stehen zwei Begriffe. Wir prüfen, ob es eine Formel für die Quadratdifferenz oder die Kubikdifferenz gibt. a² ist das Quadrat von a, 1=1². Das bedeutet, dass der Ausdruck in Klammern mit der Quadratdifferenzformel geschrieben werden kann:

Es gibt einen gemeinsamen Faktor, er ist gleich 5. Nehmen wir ihn aus der Klammer:

In Klammern stehen drei Begriffe. Wir prüfen, ob der Ausdruck ein perfektes Quadrat ist. Zwei Terme sind Quadrate: 16=4² und a² – das Quadrat von a, der dritte Term ist gleich dem Doppelprodukt von 4 und a: 2∙4∙a=8a. Daher ist es ein perfektes Quadrat. Da alle Terme ein „+“-Zeichen haben, ist der Ausdruck in Klammern das perfekte Quadrat der Summe:

Wir nehmen den gesamten -2x-Multiplikator aus den Klammern:

In Klammern steht die Summe zweier Terme. Wir prüfen, ob dieser Ausdruck eine Summe von Kubikzahlen ist. 64=4³, x³- Würfel x. Das bedeutet, dass das Binomial mit der Formel erweitert werden kann:

Es gibt einen gemeinsamen Multiplikator. Da das Polynom aber aus 4 Termen besteht, werden wir zuerst und nur dann den gemeinsamen Faktor aus den Klammern herausnehmen. Gruppieren wir den ersten Term mit dem vierten und den zweiten mit dem dritten:

Aus der ersten Klammer entnehmen wir den gemeinsamen Faktor 4a, aus der zweiten - 8b:

Einen gemeinsamen Multiplikator gibt es noch nicht. Um es zu erhalten, entfernen wir das „-“ aus der zweiten Klammer und jedes Zeichen in der Klammer ändert sich in das Gegenteil:

Nehmen wir nun den gemeinsamen Faktor (1-3a) aus der Klammer:

In der zweiten Klammer steht ein gemeinsamer Faktor 4 (dies ist derselbe Faktor, den wir zu Beginn des Beispiels nicht aus Klammern gesetzt haben):

Da das Polynom aus vier Termen besteht, führen wir eine Gruppierung durch. Gruppieren wir den ersten Term mit dem zweiten, den dritten mit dem vierten:

In der ersten Klammer gibt es keinen gemeinsamen Faktor, aber eine Formel für die Differenz der Quadrate, in der zweiten Klammer ist der gemeinsame Faktor -5:

Es ist ein gemeinsamer Multiplikator erschienen (4m-3n). Nehmen wir es aus der Gleichung heraus.