Erfahrungen in der Oberschule haben gezeigt, dass Geometrieprobleme nicht vielseitig einsetzbar sind, und die Lösung für dieses Problem war ein Geometrieproblembuch (ca. 4000 Probleme), das 24 Kapitel umfasst. Der Zweck dieses Artikels ist eines der Buchkapitel: „Beschriftet und beschrieben Ball" .

Beim Studium eines Themas Multiple-Choice-Aufgaben zusammenstellen „Beschriftet und beschrieben Ball" In allgemeiner Form gelöste Probleme:

1. Die Kugel ist in eine regelmäßige Pyramide eingeschrieben – werden in Betracht gezogen R-Ball , R - Radius des am Fuß der Pyramide eingeschriebenen Kreises, r Sek – Radius des Kontaktkreises der Seitenfläche der Pyramide und der Kugel, H - Höhe der Pyramide, h 1 – Apothem, Mit- die Länge der Seitenkante, a - der Winkel zwischen der Seitenkante und der Ebene der Basis der Pyramide - unter Berücksichtigung, wenn zwei Größen bekannt sind, wird der Rest gefunden - insgesamt wurden 15 Optionen in Betracht gezogen:

(r, R w), (r, h 1), (r, h), (r, a), (r, r sec), (R w, h 1), (R w, h), (R w, a), (h 1 , h), (h 1 , a), (h 1 , r sec), (h, a), (h, r sec), (a , r sec).

2. Die Kugel ist in eine Pyramide eingeschrieben, deren Seitenflächen gleichmäßig zur Ebene der Pyramidenbasis geneigt sind – Optionen werden berücksichtigt, wenn die Basis ein Dreieck, eine Raute oder ein Trapez ist – in diesen Fällen wird eine Tabelle mit spezifischen Daten bereitgestellt.

3. Eine Kugel wird in der Nähe einer regelmäßigen Pyramide beschrieben - werden in Betracht gezogen, R-Kugeln - Radius der Kugel, Rdesc.Umgebung -Radius eines um die Basis umschriebenen Kreises, h 1 – Apothem der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide, H - Höhe der Pyramide; Mit – Länge der Seitenrippe; a ist der Winkel zwischen der Seitenkante und der Ebene der Basis der Pyramide, b ist der Winkel zwischen der Seitenkante und der Ebene der Basis der Pyramide.

4. Eine Kugel wird um eine Pyramide herum beschrieben, deren Seitenkanten gleich oder gleich geneigt zur Ebene der Grundfläche sind – eine Tabelle mit Daten ist angegeben R-Ball , R - Radius des um die Basis der Pyramide beschriebenen Kreises, H - Höhe der Pyramide, h 1 – Apothem, a – der Winkel zwischen der Seitenkante und der Ebene der Basis der Pyramide.

5. Eine Kugel wird in einen Kegel eingeschrieben – betrachtet R-Ball , R con - Radius der Kegelbasis, r Sek – Radius des Kontaktkreises der Seitenfläche der Pyramide und der Kugel, H - Höhe des Kegels, l - die Mantellinie des Kegels, a - der Winkel zwischen der Mantellinie und der Ebene der Kegelbasis - unter Berücksichtigung, wenn zwei Größen bekannt sind, wird der Rest gefunden - insgesamt wurden 15 Optionen in Betracht gezogen - ( R con, R ball), (R con, a), (R con, l), (R con, h), (R con, r section), (R ball, a), (R ball, l), (R-Kugel, h), (R-Kugel, r-Abschnitt), (l, a), (h, a), (r-Abschnitt, a), (l, h), (l, r-Abschnitt), (h, r Sek.).

6. Der Kegel ist in die Kugel eingeschrieben - werden in Betracht gezogen R-Ball , R con - Radius der Kegelbasis, D – Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zur Ebene der Kegelbasis, H - Höhe des Kegels, l ist die Erzeugende des Kegels, a ist der Winkel zwischen der Erzeugenden und der Ebene der Kegelbasis – unter Berücksichtigung, dass, wenn zwei Größen bekannt sind, der Rest gefunden wird – in Gesamtpaaren ( R-Kegel, R-Kugel), (R-Kegel, a), (R-Kegel, l), (R-Kegel, h), (R-Kegel, d, Position des Kugelmittelpunkts relativ zum Kegel), (R-Kugel, a ), (R Ball, l), (R Ball, h), (R Ball, d), (l, a), (h, a), (d, a), (l, h), (l, d), ( h, d).

7. Eine Kugel ist in einen Kegelstumpf eingeschrieben – betrachtet R-Ball , R, r – Radien der unteren und größeren Basis des Kegelstumpfes, l – Mantellinie des Kegels, a – Winkel zwischen der Mantellinie und der Ebene der Kegelbasis, r Sek – Radius des Kontaktkreises der Mantelfläche des Kegels und der Kugel; unter Berücksichtigung, wenn zwei Größen bekannt sind, wird der Rest gefunden - insgesamt werden Paare berücksichtigt - (r, R), (R Ball, R), (R, l), (r Abschnitt, R), (R, a), (R Ball, l), (R Ball, l), (R Ball, r Sek), (R Ball, a), (l, r Sek), (l, a), (r Sek, a) ; Es wurde eine Tabelle mit spezifischen numerischen Daten zusammengestellt, die den Radius der Kugel, die Radien der Basen, die Erzeugende, den Sinus des Winkels zwischen der Erzeugenden und der Ebene der Basis, die Oberfläche und das Volumen der Kugel usw. enthält Kegelstumpf.

8. Eine Kugel wird um einen Kegelstumpf beschrieben - betrachtet R-Kugeln , R, r – Radien der unteren und größeren Basis des Kegelstumpfes, l ist die Erzeugende des Kegels, a ist der Winkel zwischen der Erzeugenden und der Ebene der Kegelbasis, bei einigen Aufgaben wird die Position des Kugelmittelpunkts relativ zum Kegel eingegeben; unter Berücksichtigung, wenn drei Größen bekannt sind, wird der Rest gefunden – insgesamt werden Drillinge berücksichtigt – (r,R,h), (R, r, a), (r, R, l), (r, R, R Ball, Position des Kugelmittelpunkts), (h, R, R Ball, Position des Kugelmittelpunkts) , (l, R, R Ball, Position des Kugelmittelpunkts), (a , R, R Ball, Kugelmittelpunktposition), (h, R, l), (a , R, h), (a , R, l), (l, h, R Ball), (a , h, R Ball), (a , l, R sf ).

Basierend auf den erhaltenen Tabellen wurde eines der Kapitel des Geometrieproblembuchs zusammengestellt, das heißt: Kapitel 24. Ball und andere Körper. Das Kapitel besteht aus Absätzen, die wiederum Unterabsätze haben.

24.1. Eine Kugel ist in einen Zylinder eingeschrieben

24.1.02. Eine Kugel ist in einen Zylinder eingeschrieben. Finden Sie das Verhältnis der Volumina von Zylinder und Kugel.

24.1.03. Eine Kugel ist in einen Zylinder eingeschrieben. Ermitteln Sie das Verhältnis der Gesamtoberfläche des Zylinders zur Oberfläche der Kugel.

24.2. Eine Kugel wird von einem Zylinder umschrieben

24.2.01. Zu einer Kugel mit Volumen V-Kugel Es ist ein Zylinder eingeschrieben, dessen Erzeugende vom Mittelpunkt der Kugel aus im Winkel a sichtbar ist. Finden Sie das Volumen des Zylinders.

24.2.03. Um einen Zylinder mit Volumen V Der Ball wird beschrieben. Finden Sie die Abhängigkeit des Kugelradius von der Höhe des Zylinders und der Höhe des Zylinders, bei der die Oberfläche der Kugel am kleinsten ist.

24.3. Kugel und Zylinder

24.3.01. Metallzylinder mit Basisdurchmesser D-Zyl und Höhe h Zyl zu einer Kugel geschmolzen. Berechnen Sie den Radius dieser Kugel.

24.3.03. In einem zylindrischen Gefäß, dessen Grundradius ist R-Zyl, eine Kugel mit Radius wird platziert R-Ball. Wasser wird so in das Gefäß gegossen, dass seine freie Oberfläche die Oberfläche der Kugel berührt (die Kugel schwimmt nicht auf). Bestimmen Sie die Dicke der Wasserschicht, die entsteht, wenn die Kugel aus dem Gefäß entfernt wird.

24.4. Eine Kugel ist in einen Kegel eingeschrieben

24.4.01. Eine Kugel ist in einen Kegel eingeschrieben, dessen Axialschnitt ein gleichseitiges Dreieck ist. Finden Sie den Radius der Kugel, wenn der Radius der Kegelbasis gleich ist R con

24.4.05. Eine Kugel ist in einen Kegel eingeschrieben, dessen axialer Querschnitt ein gleichseitiges Dreieck ist, dessen Volumen gleich ist V-Kugel. Finden Sie die Höhe des Kegels, wenn:

24.4.07. Eine Kugel ist in einen Kegel eingeschrieben, dessen Axialschnitt ein gleichseitiges Dreieck ist. Finden Sie das Volumen des Kegels, wenn das Volumen der Kugel gleich ist V w.

24.4.09 In einem geraden Kreiskegel mit Grundradius R con eine Kugel mit Radius ist eingeschrieben R-Ball. Berechnen Sie das Volumen des Kegels.

24.4.14. In einem Kegel mit Volumen V Der Ball ist beschriftet. Finden Sie den Radius des Tangentialkreises der sphärischen und konischen Oberfläche, wenn der Radius der Kegelbasis gleich ist R con.

24.4.16. Eine Kugel ist in einen Kegel eingeschrieben. Die Oberfläche einer Kugel hängt mit der Fläche der Kegelbasis zusammen m:n. Finden Sie den Winkel an der Spitze des Kegels.

24.4.24. Kegelgrundfläche S-Basis. Kegelmantelfläche S-Seite. Finden Sie den Radius der Kugel, die in den Kegel eingeschrieben ist.

24.4.25. Die Grundfläche des Kegels ist gleich S-Basis und seine Gesamtoberfläche ist gleich S voll. Finden Sie den Radius einer Kugel, die in einen Kegel eingeschrieben ist.

24.4.28. Eine Kugel ist in einen Kegel eingeschrieben. Finden Sie den Radius des Tangentialkreises der sphärischen und konischen Oberfläche, wenn der Radius der Kegelbasis gleich ist R con, bildend - l.

24.4.34. Über eine Kugel mit Radius R-Ball beschreibt einen Kegel, dessen Höhe H. Finden Sie den Radius der Kegelbasis und den Radius des Tangentialkreises der sphärischen und konischen Oberfläche.

24.4.38. Eine Kugel ist in einen Kegel eingeschrieben. Der Radius des Kreises, entlang dem sich Kegel und Kugel berühren, ist gleich r Sek. Finden Sie das Volumen des Kegels, wenn der Radius der Kugel gleich ist R-Ball.

24.4.43. Die Erzeugende eines rechten Kegels ist gleich lch, der Radius des Kontaktkreises zwischen der konischen und sphärischen Oberfläche ist gleich r Sek. Finden Sie die Mantelfläche des Kegels.

24.5. Eine Kugel wird von einem Kegel umschrieben

24.5.02. Um den Kegel herum wird eine Kugel beschrieben. Finden Sie den Radius der Kugel, wenn der Radius der Kegelbasis bekannt ist - R con und der Winkel a zwischen der Erzeugenden und der Ebene der Kegelbasis.

24.5.03. Bestimmen Sie den Radius einer Kugel, die von einem Kegel umschrieben wird, dessen Basisradius gleich ist R con, und der Generator ist gleich l:

24.5.04. Bestimmen Sie die Oberfläche einer Kugel, die von einem Kegel umschrieben wird, dessen Basisradius gleich ist R con, und die Höhe ist H:

24.5.06. Ein Kegel ist in eine Kugel eingeschrieben, deren Volumen beträgt T mal kleiner als das Volumen der Kugel. Die Höhe des Kegels beträgt H. Finden Sie das Volumen des Balls.

24.5.07. Ein Kegel ist in eine Kugel eingeschrieben. Ermitteln Sie die Höhe und die Erzeugende des Kegels, wenn der Radius der Kegelbasis bekannt ist R con und Entfernung D vom Mittelpunkt der Kugel bis zur Ebene der Kegelbasis.

24.5.12. Radiuskugel R sf um den Kegel herum beschrieben. Finden Sie die Mantelfläche des Kegels, wenn seine Höhe beträgt H:

24.5.16. Eine Kugel wird von einem Kegel umschrieben. Finden Sie den Radius der Kugel, wenn der Winkel zwischen der Erzeugenden des Kegels und seiner Grundebene gleich a ist und der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zur Grundebene gleich ist D:

24.5.17. Eine Kugel wird von einem Kegel umschrieben, dessen Höhe gleich ist H, bildend - l. Ermitteln Sie den Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zur Ebene der Basis.

24.5.18. Eine Kugel wird von einem Kegel umschrieben. Finden Sie den Radius der Kugel und die Basis des Kegels, wenn die Erzeugende des Kegels gleich ist l und der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zur Basisebene D, und die Position des Mittelpunkts der Kugel relativ zum Kegel ist bekannt.

24.5.19. Eine Kugel wird von einem Kegel umschrieben. Ermitteln Sie den Radius der Kegelbasis, wenn die Höhe des Kegels gleich ist H und der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zur Ebene der Basis ist gleich D.

24.6. Kugel und Kegel

24.6.03. Der Körper besteht aus zwei Kegeln, die eine gemeinsame Basis haben und auf gegenüberliegenden Seiten der Basisebene liegen. Finden Sie den Radius einer Kugel, die in einen Körper eingeschrieben ist, wenn die Radien der Grundflächen der Kegel gleich sind R con, und Höhen h 1 Und h 2.

24.6.04. Kegelhöhe H und der Winkel zwischen der Erzeugenden und der Höhe, gleich a, wird durch eine sphärische Oberfläche, die an der Spitze des Kegels zentriert ist, in zwei Teile geschnitten. Welchen Radius müsste diese Kugel haben, damit der Kegel durch diese Kugel in zwei gleiche Teile geteilt wird?

24.7. Eine Kugel ist in einen Kegelstumpf eingeschrieben

24.7.02. Die Kugel ist in einen Kegelstumpf eingeschrieben, dessen Grundradien sind R Und R. Finden Sie das Verhältnis der Kugelfläche zur Fläche der Mantelfläche des Kegelstumpfes.

24.7.03. Um die Kugel herum wird ein Kegelstumpf beschrieben. Ermitteln Sie den Querschnittsradius der Kugeloberfläche und der Seitenfläche des Kegels, falls der Radius der größeren Basis des Kegels R und der Generator ist gleich l/

24.7.05. Um die Kugel herum wird ein Kegelstumpf beschrieben. Radius der größeren Basis des Kegels R und der Querschnittsradius der Kugeloberfläche und der Mantelfläche des Kegels ist gleich r Sek. Finden Sie den Radius der Kugel und den Radius der oberen Basis des Kegelstumpfes.

24.7.10. Eine Kugel, deren Oberfläche ist S, eingeschrieben in einem Kegelstumpf. Der Winkel zwischen der Erzeugenden des Kegels und seiner großen Basis ist gleich a. Berechnen Sie die Mantelfläche dieses Kegels.

24.7.11. Um die Kugel herum wird ein Kegelstumpf beschrieben. Die Erzeugende des Kegels ist gleich l und der Querschnittsradius der Kugeloberfläche und der Mantelfläche des Kegels ist gleich r Sek. Finden Sie den Radius der Kugel und die Radien der Grundflächen des Kegelstumpfes.

24.8. Eine Kugel wird von einem Kegelstumpf umschrieben

24.8.01. Die Kugel wird von einem Kegelstumpf umschrieben. Ermitteln Sie das Volumen der Kugel und der entsprechenden Kugelsegmente, die durch die Grundflächen des Kegels begrenzt werden, wenn die Radien der Grundfläche des Kegels gleich sind R Und R, Kegelhöhe - H.

24.8.04. Eine Kugel wird von einem Kegelstumpf umschrieben. Ermitteln Sie das Volumen eines Kegelstumpfes, wenn die Radien der Kegelbasis gleich sind R Und R, Kugelradius – R vgl(Betrachten Sie zwei Fälle).

24.8.06. Es ist bekannt, dass der Mittelpunkt einer von einem Kegelstumpf umschriebenen Kugel außerhalb des Kegels liegt. Ermitteln Sie das Volumen eines Kegelstumpfes, wenn der Radius der größeren Basis des Kegels gleich ist R, einen Kegel bildend l, Kugelradius – R vgl.

24.8.07. Eine Kugel wird um einen Kegelstumpf herum beschrieben. Bestimmen Sie die Position des Mittelpunkts der Kugel anhand des Radius der größeren Basis des Kegels R, einen Kegel bildend l, Kegelhöhe – H.

24.8.08. Finden Sie den Radius einer um einen Kegelstumpf umschriebenen Kugel, wenn der Radius der größeren Basis des Kegels ist R, einen Kegel bildend l, der Winkel zwischen der Erzeugenden und der Ebene der Basis ist gleich a.

24.8.09. Finden Sie die Radien der Grundflächen eines Kegelstumpfes, wenn die Erzeugende des Kegels ist l, Höhe H, und der Radius der um diesen Kegel beschriebenen Kugel ist gleich R sf.

24.8.10. Finden Sie das Volumen eines Kegelstumpfes, der in eine Kugel eingeschrieben ist, wenn die Erzeugende des Kegels l, der Winkel zwischen der Erzeugenden und der Ebene der Basis ist gleich a, der Radius der um diesen Kegel umschriebenen Kugel ist gleich R sf.

24.9. Eine Kugel ist in eine Pyramide eingeschrieben

Bei Aufgaben 24.9.01 – 24.9.19 . zwei davon werden bekannt sein R-Ball, A, Mit, H, h 1, a , b , r Sek und Sie müssen den Rest finden (außer den Ecken).

24.9.01. Bekannt R Und R-Ball.

24.9.02. Bekannt R Und h 1.

24.9.03. Bekannt R Und H.

24.9.20. Finden Sie die vollständige Oberfläche einer Kugel, die in eine dreieckige Pyramide eingeschrieben ist, deren Kanten alle gleich sind A.

24.9.22. Kugelradius R eingeschrieben in einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide. Ermitteln Sie das Volumen der Pyramide, wenn bekannt ist, dass das Apothem vom Mittelpunkt der Kugel aus in einem Winkel sichtbar ist A.

24.10. Die Kugel wird in der Nähe der Pyramide beschrieben

Bei Aufgaben 24.10.01 – 24.10.16 . zwei davon werden bekannt sein R-Kugeln, a (R desc.environment), Mit, H, h 1, a , b und es ist notwendig, den Rest zu finden (außer den Ecken).

24.10.01. Bekannt Rdesc.Umgebung Und R-Kugeln.

24.10.09. Bekannt R-Kugeln Und H.

24.10.14. Bekannt h 1 und B.

24.10.17. In der Nähe einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide mit einer Seitenkante Mit Die Kugel wird beschrieben. Finden Sie den Radius der Kugel, wenn die Seite der Basis gleich ist A. Finden Sie die Position des Kugelmittelpunkts im Verhältnis zur Pyramide heraus.

24.10.18. Eine Kugel wird um eine regelmäßige dreieckige Pyramide herum beschrieben. Finden Sie den Radius der Kugel, wenn das Apothem gleich ist h 1 und die Höhe der Pyramide beträgt H.

24.10.19. In der Nähe einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide mit einer Seitenkante Mit Der Ball wird beschrieben. Ermitteln Sie die Oberfläche der Kugel und das Volumen der Pyramide, wenn die Seitenkante der Pyramide mit der Ebene der Pyramidenbasis einen Winkel b bildet.

24.10.20. Finden Sie den Radius einer Kugel, die eine regelmäßige dreieckige Pyramide umschreibt, wenn ihr Volumen gleich ist V Fest, und die Höhe H.

24.10.21. In eine Kugel, deren Radius gleich ist R-Kugel ist eine regelmäßige dreieckige Pyramide eingeschrieben. Die Höhe der Pyramide beträgt T größer als die Basisseite. Finden Sie die Seite der Basis und das Volumen der Pyramide.

22.10.45. Der Radius einer um eine regelmäßige viereckige Pyramide umschriebenen Kugel ist gleich R-Kugeln r Ball. Finden Sie die Höhe, die Seiten der Basis, die Seitenkante und das Apothem dieser Pyramide.

24.10.46. Der Radius einer um eine regelmäßige viereckige Pyramide umschriebenen Kugel ist gleich R-Kugeln, der Radius der eingeschriebenen Kugel ist gleich r des Balls. Ermitteln Sie die Höhe, Kanten und das Volumen der Pyramide sowie den Winkel zwischen dem Apothem und der Ebene der Basis, wenn der Mittelpunkt der Kugel und der Kugel zusammenfallen.

Die seitlichen Rippen sind gleich oder gleich geneigt zur Ebene der Basis

10.24.48. An der Basis einer dreieckigen Pyramide liegt ein rechtwinkliges Dreieck mit Beinen A Und V, und alle Seitenrippen sind im gleichen Winkel zur Grundebene geneigt. Der Radius einer Kugel, die eine gegebene Pyramide umschreibt, ist gleich R-Kugeln. Finden Sie die Höhe der Pyramide.

24.10.49. An der Basis der Pyramide liegt ein gleichseitiges Dreieck mit Seiten A. Eine der Seitenflächen ist das gleiche Dreieck und steht senkrecht zur Grundebene. Finden Sie den Radius der Kugel, die die Pyramide umschreibt.

Seitenkante senkrecht zur Grundebene

10.24.53. Die Basis der MABC-Pyramide ist ein Dreieck . Ermitteln Sie die Höhe der Pyramide, wenn der Radius der die Pyramide umschreibenden Kugel gleich ist R-Kugeln und eine Seitenkante senkrecht zur Ebene der Basis.

10.24.54. An der Basis der Pyramide liegt ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck mit einem Bein A. Eine der Seitenflächen ist das gleiche Dreieck, außerdem steht sie senkrecht zur Grundebene. Die anderen beiden Flächen sind ebenfalls rechtwinklige Dreiecke. Finden Sie den Radius einer Kugel, die die Pyramide umschreibt.

10.24.56. Zur Radiuskugel R-Kugel Ein regelmäßiger sechseckiger Pyramidenstumpf ist eingeschrieben, bei dem die Ebene der unteren Basis durch die Mitte der Kugel verläuft und deren Seitenkante mit der Ebene der Basis einen Winkel von 60° bildet. Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide

10.24.58. Die Basis der Pyramide MABCD ist ein Trapez . Ermitteln Sie das Volumen der Pyramide, wenn der Radius der die Pyramide umschreibenden Kugel gleich ist R-Kugeln und eine Seitenkante senkrecht zur Ebene der Basis.

24.11. Kugel und Pyramide (andere Fälle)

24.11.01. Der Ball berührt zwei Flächen und eine Kante eines regelmäßigen Tetraeders mit Kante V. Finden Sie den Radius des Balls.

24.11.02. Um die Kugel herum wird ein regelmäßiger viereckiger Pyramidenstumpf beschrieben, bei dem die Seiten der Grundflächen wie folgt zusammenhängen t:p . Bestimmen Sie das Verhältnis der Volumina der Pyramide und der Kugel.

Oder eine Kugel. Jedes Segment, das den Mittelpunkt einer Kugel mit einem Punkt auf der Kugeloberfläche verbindet, wird aufgerufen Radius. Ein Segment, das zwei Punkte auf einer Kugeloberfläche verbindet und durch den Mittelpunkt der Kugel verläuft, heißt Durchmesser. Die Enden mit beliebigem Durchmesser werden als diametral gegenüberliegende Punkte der Kugel bezeichnet.Alle möglichen Dinge Kugelabschnitt Es gibt ein Flugzeug Kreis. Der Mittelpunkt dieses Kreises ist die Basis der Senkrechten, die vom Mittelpunkt zur Schnittebene gezogen wird.Die Ebene, die durch die Mitte der Kugel verläuft, heißt Mittelebene. Den Schnitt einer Kugel durch die diametrale Ebene nennt man großer Kreis, und der Abschnitt der Kugel ist großer Kreis. Jede diametrale Ebene einer Kugel ist ihre Symmetrieebene. Der Mittelpunkt des Balls ist sein Zentrum der Symmetrie. Eine Ebene, die durch einen Punkt auf einer Kugeloberfläche verläuft und senkrecht zum zu diesem Punkt gezogenen Radius verläuft, wird aufgerufen Tangentialebene. Dieser Punkt heißt Anlaufstelle. Die Tangentenebene hat mit der Kugel nur einen gemeinsamen Punkt – den Berührungspunkt.Eine gerade Linie, die durch einen bestimmten Punkt einer Kugeloberfläche senkrecht zum zu diesem Punkt gezogenen Radius verläuft, wird aufgerufen Tangente. Durch jeden Punkt der Kugeloberfläche verlaufen unendlich viele Tangenten, und alle liegen in der Tangentenebene der Kugel.Kugelsegment Der von der Ebene abgeschnittene Teil der Kugel wird genannt.Kugelschicht bezeichnet den Teil der Kugel, der sich zwischen zwei parallelen Ebenen befindet, die die Kugel schneiden.Ballsektor erhalten aus einem Kugelsegment und einem Kegel.Ist ein Kugelsegment kleiner als eine Halbkugel, dann wird das Kugelsegment durch einen Kegel ergänzt, dessen Spitze in der Mitte der Kugel liegt und dessen Basis die Basis des Segments ist.Wenn das Segment größer als eine Halbkugel ist, wird der angegebene Kegel daraus entfernt. Grundformeln Kugel (R = OB - Radius):S b = 4πR 2; V = 4πR 3 / 3.Kugelsegment (R = OB – Radius der Kugel, h = SC – Höhe des Segments, r = KV – Radius der Basis des Segments):V segm = πh 2 (R - h / 3)oder V segm = πh(h 2 + 3r 2) / 6; S segm = 2πRh.Kugelsektor (R = OB – Kugelradius, h = SK – Segmenthöhe):V = V-Segment ± V con, „+“- wenn das Segment kleiner ist, „-“ – wenn das Segment größer als eine Halbkugel ist.oder V = V segm + V con = πh 2 (R – h / 3) + πr 2 (R – h) / 3. Kugelschicht (R 1 und R 2 – Radien der Basen der Kugelschicht; h = SC – Höhe der Kugelschicht oder Abstand zwischen den Basen):V sh/sl = πh 3 / 6 + πh(R 1 2 + R 2 2 ) / 2; S w/sl = 2πRh.Beispiel 1.Das Volumen der Kugel beträgt 288π cm 3. Finden Sie den Durchmesser der Kugel.LösungV = πd 3 / 6288π = πd 3 / 6πd 3 = 1728πd3 = 1728d = 12 cm.Antwort: 12.Beispiel 2.Drei gleiche Kugeln mit dem Radius r berühren einander und eine Ebene. Bestimmen Sie den Radius der vierten Kugel tangential zu den drei Daten und der gegebenen Ebene.Lösung Seien O 1, O 2, O 3 die Mittelpunkte dieser Kugeln und O der Mittelpunkt der vierten Kugel, die die drei Daten und die gegebene Ebene berührt. Seien A, B, C, T die Berührungspunkte der Kugeln mit einer gegebenen Ebene. Die Berührungspunkte zweier Kugeln liegen also auf der Linie der Mittelpunkte dieser Kugeln O 1 O 2 = O 2 O 3 = O 3 O 1 = 2r. Die Punkte haben daher den gleichen Abstand von der ABC-Ebene AVO 2 O 1, AVO 2 O 3, AVO 3 O 1- gleiche Rechtecke, daher ist ∆ABC gleichseitig mit der Seite 2r. Lassen x ist der gewünschte Radius der vierten Kugel. Dann ist OT = x. Daher auch Das bedeutet, dass T der Mittelpunkt eines gleichseitigen Dreiecks ist. Daher von hier ausAntwort: r/3. In eine Pyramide eingeschriebene KugelIn jede regelmäßige Pyramide kann eine Kugel eingeschrieben sein. Der Mittelpunkt der Kugel liegt auf der Höhe der Pyramide am Schnittpunkt mit der Winkelhalbierenden am Rand der Pyramidenbasis.Kommentar. Wenn eine Kugel in eine Pyramide eingeschrieben werden kann, die nicht unbedingt regelmäßig ist, dann kann der Radius r dieser Kugel mit der Formel r = 3V / S pp berechnet werden, wobei V das Volumen der Pyramide und S pp die Fläche von ​ ist seine Gesamtfläche.Beispiel 3.Ein konischer Trichter mit Grundradius R und Höhe H wird mit Wasser gefüllt. Eine schwere Kugel wird in den Trichter abgesenkt. Wie groß sollte der Radius der Kugel sein, damit das vom eingetauchten Teil der Kugel aus dem Trichter verdrängte Wasservolumen maximal ist?LösungZeichnen wir einen Schnitt durch die Mitte des Kegels. Dieser Abschnitt bildet ein gleichschenkliges Dreieck. Befindet sich eine Kugel im Trichter, dann ist die maximale Größe ihres Radius gleich dem Radius des Kreises, der in das resultierende gleichschenklige Dreieck eingeschrieben ist.Der Radius eines in ein Dreieck eingeschriebenen Kreises ist gleich:r = S / p, wobei S die Fläche des Dreiecks ist, p sein Halbumfang.Die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks ist gleich der halben Höhe (H = SO) mal der Grundfläche. Da aber die Basis den doppelten Radius des Kegels hat, gilt S = RH.Der Halbumfang beträgt p = 1/2 (2R + 2m) = R + m.m ist die Länge jeder der gleichen Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks;R ist der Radius des Kreises, der die Basis des Kegels bildet.Finden wir m mit dem Satz des Pythagoras: , WoKurz gesagt sieht es so aus: Antwort: Beispiel 4.In einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide mit einem Diederwinkel an der Basis gleich α befinden sich zwei Kugeln. Der erste Ball berührt alle Flächen der Pyramide und der zweite Ball berührt alle Seitenflächen der Pyramide und des ersten Balls. Ermitteln Sie das Verhältnis des Radius der ersten Kugel zum Radius der zweiten Kugel, wenn tgα = 24/7.Lösung
Lassen RABC ist eine regelmäßige Pyramide und Punkt H ist der Mittelpunkt ihrer Basis ABC. Sei M der Mittelpunkt der Kante BC. Dann ist der lineare Winkel der Diederwinkel, der gemäß der Bedingung gleich α und α ist< 90° . Центр первого шара, касающегося всех граней пирамиды, лежит на отрезке РН в точке его пересечения с биссектрисой . Lassen НН 1 - der Durchmesser der ersten Kugel und die Ebene, die durch den Punkt Н 1 senkrecht zur Geraden РН verläuft, schneidet die Seitenkanten RA, РВ, РС jeweils an den Punkten А 1, В 1, С 1. Dann ist H 1 das Zentrum des korrekten ∆A 1 B 1 C 1 und die Pyramide RA 1 B 1 C 1 wird der Pyramide RABC mit einem Ähnlichkeitskoeffizienten k = PH 1 / PH ähnlich sein. Beachten Sie, dass die zweite Kugel mit Mittelpunkt im Punkt O 1 in die Pyramide RA 1 B 1 C 1 eingeschrieben ist und daher das Verhältnis der Radien der eingeschriebenen Kugeln gleich dem Ähnlichkeitskoeffizienten ist: OH / OH 1 = RN / RN 1. Aus der Gleichung tgα = 24/7 ergibt sich: Lassen AB = x. DannDaher ist das gewünschte Verhältnis OH / O 1 H 1 = 16/9.Antwort: 16/9. In ein Prisma eingeschriebene KugelDurchmesser D einer in ein Prisma eingeschriebenen Kugel ist gleich der Höhe H des Prismas: D = 2R = H. Radius R einer in ein Prisma eingeschriebenen Kugel ist gleich dem Radius eines Kreises, der in einen senkrechten Abschnitt des Prismas eingeschrieben ist.Wenn eine Kugel in ein gerades Prisma eingeschrieben ist, kann in die Basis dieses Prismas ein Kreis eingeschrieben werden. Radius R einer in ein rechtwinkliges Prisma eingeschriebenen Kugel ist gleich dem Radius des in die Basis des Prismas eingeschriebenen Kreises.Satz 1An der Basis eines geraden Prismas sei ein Kreis eingeschrieben, und die Höhe H des Prismas sei gleich dem Durchmesser D dieses Kreises. In dieses Prisma lässt sich dann eine Kugel mit dem Durchmesser D einschreiben. Der Mittelpunkt dieser eingeschriebenen Kugel fällt mit der Mitte des Segments zusammen, das die Mittelpunkte der an den Basen des Prismas eingeschriebenen Kreise verbindet.Nachweisen Sei ABC...A 1 B 1 C 1... ein gerades Prisma und O der Mittelpunkt eines Kreises, der an seiner Basis ABC eingeschrieben ist. Dann ist Punkt O von allen Seiten der Basis ABC gleich weit entfernt. Sei O 1 die orthogonale Projektion des Punktes O auf die Basis A 1 B 1 C 1. Dann ist O 1 von allen Seiten der Basis A 1 B 1 C 1 gleich weit entfernt und OO 1 || AA 1. Daraus folgt, dass die Gerade OO 1 parallel zu jeder Ebene der Seitenfläche des Prismas verläuft und die Länge des Segments OO 1 gleich der Höhe des Prismas und vereinbarungsgemäß dem Durchmesser des an der Basis eingeschriebenen Kreises ist des Prismas. Dies bedeutet, dass die Punkte des Segments OO 1 den gleichen Abstand von den Seitenflächen des Prismas haben und die Mitte F des Segments OO 1, die den gleichen Abstand von den Ebenen der Grundflächen des Prismas hat, den gleichen Abstand von allen Flächen des Prismas hat . Das heißt, F ist der Mittelpunkt einer in ein Prisma eingeschriebenen Kugel, und der Durchmesser dieser Kugel ist gleich dem Durchmesser eines in die Basis des Prismas eingeschriebenen Kreises. Der Satz ist bewiesen.Satz 2In den senkrechten Abschnitt eines geneigten Prismas sei ein Kreis eingeschrieben, und die Höhe des Prismas sei gleich dem Durchmesser dieses Kreises. In dieses geneigte Prisma kann dann eine Kugel eingeschrieben werden. Der Mittelpunkt dieser Kugel teilt die Höhe, die durch den Mittelpunkt eines Kreises verläuft, der in einen senkrechten Abschnitt eingeschrieben ist, in zwei Hälften.Nachweisen
Sei ABC...A 1 B 1 C 1... ein geneigtes Prisma und F der Mittelpunkt eines Kreises mit dem Radius FK, der in seinen senkrechten Abschnitt eingeschrieben ist. Da der senkrechte Abschnitt eines Prismas senkrecht zu jeder Ebene seiner Seitenfläche steht, stehen die Radien des Kreises, der in den senkrechten Abschnitt an den Seiten dieses Abschnitts eingeschrieben ist, senkrecht zu den Seitenflächen des Prismas. Daher ist Punkt F von allen Seitenflächen gleich weit entfernt.Zeichnen wir durch den Punkt F eine gerade Linie OO 1, senkrecht zur Ebene der Grundflächen des Prismas, die diese Grundflächen in den Punkten O und O 1 schneidet. Dann ist OO 1 die Höhe des Prismas. Da nach Bedingung OO 1 = 2FK, dann ist F die Mitte des Segments OO 1:FK = OO 1 / 2 = FO = FO 1, d.h. Punkt F ist ausnahmslos gleich weit von den Ebenen aller Flächen des Prismas entfernt. Dies bedeutet, dass in ein bestimmtes Prisma eine Kugel eingeschrieben werden kann, deren Mittelpunkt mit dem Punkt F zusammenfällt – dem Mittelpunkt eines Kreises, der in den senkrechten Abschnitt des Prismas eingeschrieben ist, der die Höhe des durch den Punkt F verlaufenden Prismas in zwei Hälften teilt. Der Satz ist bewiesen.Beispiel 5.Eine Kugel mit dem Radius 1 ist in ein rechteckiges Parallelepiped eingeschrieben. Bestimmen Sie das Volumen des Parallelepipeds.Lösung Zeichnen Sie die Draufsicht. Oder von der Seite. Oder von vorne. Sie werden dasselbe sehen – einen Kreis, der in ein Rechteck eingeschrieben ist. Offensichtlich wird dieses Rechteck ein Quadrat sein und das Parallelepiped wird ein Würfel sein. Länge, Breite und Höhe dieses Würfels sind doppelt so groß wie der Radius der Kugel.AB = 2, und daher beträgt das Volumen des Würfels 8.Antwort: 8.Beispiel 6.In einem regelmäßigen dreieckigen Prisma mit einer Grundseite gleich , befinden sich zwei Kugeln. Die erste Kugel ist in das Prisma eingeschrieben und die zweite Kugel berührt eine Basis des Prismas, seine beiden Seitenflächen und die erste Kugel. Finden Sie den Radius der zweiten Kugel.Lösung
Sei ABCA 1 B 1 C 1 ein regelmäßiges Prisma und die Punkte P und P 1 seien die Mittelpunkte seiner Basen. Dann ist der Mittelpunkt der in dieses Prisma eingeschriebenen Kugel O der Mittelpunkt des Segments PP 1. Betrachten wir das Flugzeug RVV 1. Da das Prisma regelmäßig ist, liegt PB auf dem Segment BN, das die Winkelhalbierende und die Höhe ΔABC darstellt. Folglich ist die Ebene die Winkelhalbierende des Diederwinkels an der Seitenkante BB 1. Daher ist jeder Punkt dieser Ebene gleich weit von den Seitenflächen AA 1 BB 1 und CC 1 B 1 B entfernt. Insbesondere liegt die Senkrechte OK, die vom Punkt O zur Fläche ACC 1 A 1 abgesenkt wird, in der Ebene RVV 1 und ist gleich dem Segment OR.Beachten Sie, dass KNPO ein Quadrat ist, dessen Seite dem Radius der in ein bestimmtes Prisma eingeschriebenen Kugel entspricht. Lassen O 1 ist der Mittelpunkt der Kugel, der die eingeschriebene Kugel mit Mittelpunkt O und den Seitenflächen AA 1 BB 1 und CC 1 B 1 B des Prismas berührt. Dann liegt Punkt O 1 auf der Ebene RVV 1 und seine Projektion P 2 auf der Ebene ABC liegt auf dem Segment RV.Je nach Bedingung ist die Seite der Basis gleich

Eine Kugel heißt in einem Polyeder eingeschrieben, und ein Polyeder heißt um eine Kugel herum umschrieben, wenn die Oberfläche der Kugel alle Flächen des Polyeders berührt.

Eine Kugel kann in ein Prisma t und tt eingeschrieben werden, und das Prisma ist gerade und seine Höhe entspricht dem Durchmesser des in die Basis des Prismas eingeschriebenen Kreises.

Folgerung 1. Der Mittelpunkt einer in ein rechtwinkliges Prisma eingeschriebenen Kugel liegt in der Mitte der Höhe des Prismas, die durch den Mittelpunkt des in die Basis eingeschriebenen Kreises verläuft.

Folgerung 2. Insbesondere eine Kugel kann in gerade Linien eingeschrieben werden: dreieckig, regelmäßig, viereckig (in denen die Summen der gegenüberliegenden Seiten der Basis einander gleich sind) unter der Bedingung H = 2r, wobei H die ist Höhe des Prismas, r ist der Radius des in die Basis eingeschriebenen Kreises.

Kombinationen einer Kugel mit Polyedern. Eine um ein Prisma herum umschriebene Kugel.

Eine Kugel heißt umschrieben von einem Polyeder, wenn alle Ecken des Polyeders auf der Kugel liegen.

Von einem Prisma spricht man, wenn es in eine Kugel eingeschrieben ist, wenn alle seine Spitzen auf der Oberfläche der Kugel liegen.

Eine Kugel kann um ein Prisma genau dann beschrieben werden, wenn das Prisma gerade ist und ein Kreis um seine Basis beschrieben werden kann.

Folgerung 1. Der Mittelpunkt einer um ein gerades Prisma umschriebenen Kugel liegt in der Mitte der Höhe des Prismas, die durch den Mittelpunkt eines um die Grundfläche umschriebenen Kreises gezogen wird.

Folgerung 2. Eine Kugel kann insbesondere beschrieben werden: in der Nähe eines geraden dreieckigen Prismas, in der Nähe eines regelmäßigen Prismas, in der Nähe eines rechteckigen Parallelepipeds, in der Nähe eines geraden viereckigen Prismas, bei dem die Summe der entgegengesetzten Winkel der Basis gleich 180 ist Grad.

Kombinationen aus Zylinder, Kegel und Kegelstumpf mit Polyedern.

Zylinder und Prisma

Eingeschriebener und umschriebener Zylinder: Ein Prisma wird als in einen Zylinder eingeschrieben bezeichnet, wenn seine Grundfläche aus gleichen Polygonen besteht, die in die Grundfläche des Zylinders eingeschrieben sind, und seine Seitenkanten Erzeugende des Zylinders sind.

Ein um einen Zylinder umschriebenes Prisma heißt, wenn seine Grundfläche aus Polygonen besteht, die um die Grundfläche des Zylinders umschrieben sind, und seine Seitenflächen den Zylinder berühren.

Ein Prisma kann in einen geraden Kreiszylinder t und mt eingeschrieben werden, und es ist gerade und um die Basis des Prismas kann ein Kreis beschrieben werden.

Ein Prisma kann um einen Zylinder t und tt beschrieben werden; es ist gerade und an seiner Basis kann ein Kreis eingeschrieben werden.

Kegel und Pyramide

Eine in einen Kegel eingeschriebene Pyramide ist eine Pyramide, deren Basis

ist ein Polygon, das in den Kreis der Basis und der Spitze eines Kegels eingeschrieben ist

ist die Spitze des Kegels. Die Seitenkanten einer solchen Pyramide sind prägend

Eine um einen Kegel umschriebene Pyramide ist eine solche Pyramide, die Basis

Dabei handelt es sich um ein Polygon, das um die Basis des Kegels und die Spitze herum umschrieben wird

fällt mit der Spitze des Kegels zusammen. Die Ebenen der Seitenflächen einer solchen Pyramide

sind Tangentenebenen des Kegels.

Eine Pyramide kann in einen geraden Kreiskegel t und t eingeschrieben werden, da die Basis der Pyramide von einem Kreis umgeben ist und die Höhe der Pyramide in die Mitte dieses Kreises projiziert wird.

Eine Pyramide kann um einen Kegel t und t herum beschrieben werden und an der Basis ist ein Kreis eingeschrieben, und die Höhe der Pyramide wird in die Mitte dieses Kreises projiziert.

Der Mittelpunkt einer beschrifteten Kugel ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, die für alle in der Pyramide vorhandenen Diederwinkel konstruiert wurden; Wenn diese Winkelhalbierenden keinen gemeinsamen Punkt haben, kann die Kugel nicht eingeschrieben werden.

Ein Sonderfall: Die Seitenflächen der Pyramide sind gleichmäßig zur Grundebene geneigt. Dann:

Sie können den Ball hineinpassen;

Der Mittelpunkt O der Kugel liegt auf der Höhe der Pyramide, genauer gesagt ist er der Schnittpunkt der Höhe mit der Winkelhalbierenden zwischen dem Apothem und der Projektion dieses Apothems auf die Basisebene.

6.2. Kugel und gerades Prisma

Eine Kugel kann genau dann in ein gerades Prisma eingeschrieben werden, wenn:

An der Basis des Prismas kann ein Kreis eingeschrieben werden.

Der Durchmesser dieses Kreises ist gleich der Höhe des Prismas.

Der Mittelpunkt der Kugel ist die Mitte des Segments, das die Mittelpunkte der an den Basen eingeschriebenen Kreise verbindet.

Wo ist der Radius der eingeschriebenen Kugel? - Radius des an der Basis eingeschriebenen Kreises; H ist die Höhe des Prismas.

6.3. Kugel und Zylinder

Eine Kugel kann genau dann in einen Zylinder eingeschrieben werden, wenn der axiale Querschnitt des Zylinders ein Quadrat ist (ein solcher Zylinder wird manchmal als gleichseitig bezeichnet). Der Mittelpunkt der Kugel ist das Symmetriezentrum des axialen Abschnitts des Zylinders.

6.4. Kugel und Kegel

Sie können immer eine Kugel in einen Kegel stecken. Der Mittelpunkt der Kugel ist der Mittelpunkt des Kreises, der in den axialen Abschnitt des Kegels eingeschrieben ist.

6.5. Kugel und Kegelstumpf

Eine Kugel kann genau dann in einen Kegelstumpf eingeschrieben werden, wenn

Um Probleme mit einer in eine Pyramide eingeschriebenen Kugel leichter lösen zu können, ist es hilfreich, ein wenig theoretisches Material durchzugehen.

Eine Kugel ist in eine Pyramide eingeschrieben (oder eine Kugel ist in eine Pyramide eingeschrieben) – das bedeutet, dass die Kugel (Kugel) jede Seite der Pyramide berührt. Die Ebenen, die die Flächen der Pyramide enthalten, sind die Tangentenebenen der Kugel. Die Segmente, die den Mittelpunkt der Kugel mit den Kontaktpunkten verbinden, stehen senkrecht zu den Tangentenebenen. Ihre Länge entspricht dem Radius der Kugel. Der Mittelpunkt einer in eine Pyramide eingeschriebenen Kugel ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden der Diederwinkel an der Basis (d. h. der Ebenen, die diese Winkel in zwei Hälften teilen).

Am häufigsten handelt es sich bei den Problemen um eine Kugel, die in eine regelmäßige Pyramide eingeschrieben ist. Der Ball passt in jede normale Pyramide. Der Mittelpunkt der Kugel liegt in diesem Fall auf der Höhe der Pyramide. Bei der Lösung des Problems ist es zweckmäßig, die Pyramide und die Kugel mit einer Ebene zu schneiden, die durch das Apothem und die Höhe der Pyramide verläuft.

Wenn die Pyramide viereckig oder sechseckig ist, ist der Querschnitt ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Seiten Apotheme sind, und die Basis ist der Durchmesser des in die Basis eingeschriebenen Kreises.

Wenn die Pyramide dreieckig oder fünfeckig ist, reicht es aus, nur einen Teil dieses Abschnitts zu betrachten – ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Schenkel die Höhe der Pyramide und den Radius des an der Basis der Pyramide eingeschriebenen Kreises sowie die Hypotenuse darstellen ist das Apothem.

Auf jeden Fall betrachten wir am Ende das entsprechende rechtwinklige Dreieck und andere verwandte Dreiecke.

In einem rechtwinkligen Dreieck SOF ist also der Schenkel SO=H die Höhe der Pyramide, der Schenkel OF=r der Radius des Kreises, der an der Basis der Pyramide eingeschrieben ist, und die Hypotenuse SF=l ist das Apothem der Pyramide . O1 ist der Mittelpunkt der Kugel und dementsprechend der Kreis, der in das im Abschnitt erhaltene Dreieck eingeschrieben ist (wir betrachten einen Teil davon). Der Winkel SFO ist der lineare Diederwinkel zwischen der Basisebene und der Seitenflächenebene SBC. Die Punkte K und O sind Tangentenpunkte, daher steht O1K senkrecht zu SF. OO1=O1K=R – Radius der Kugel.

Die rechtwinkligen Dreiecke OO1F und KO1F sind gleich (entlang der Schenkel und der Hypotenuse). Daher ist KF=OF=r.

Die rechtwinkligen Dreiecke SKO1 und SOF sind ähnlich (spitzer Winkel S), was bedeutet, dass

Im Dreieck-SOF wenden wir die Eigenschaft der Dreieckshalbierenden an:

Aus rechtwinkligem Dreieck OO1F

Bei der Lösung von Problemen mit einer Kugel, die in eine regelmäßige Pyramide eingeschrieben ist, ist eine weitere Überlegung hilfreich.

Lassen Sie uns nun das Verhältnis des Volumens der Pyramide zu ihrer Oberfläche ermitteln.