Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte verläuft. Im Artikel" " Ich habe Ihnen versprochen, den zweiten Weg zur Lösung der vorgestellten Probleme der Ermittlung der Ableitung zu betrachten, wenn ein Graph einer Funktion und eine Tangente an diesen Graphen gegeben sind. Wir werden diese Methode in besprechen , verpassen Sie es nicht! Warum im nächsten?

Tatsache ist, dass dort die Formel für die Gleichung einer Geraden verwendet wird. Natürlich könnten wir diese Formel einfach zeigen und Ihnen raten, sie zu lernen. Aber es ist besser zu erklären, woher es kommt (wie es abgeleitet wird). Das ist notwendig! Wenn Sie es vergessen, können Sie es schnell wiederherstellenwird nicht schwierig sein. Im Folgenden wird alles im Detail beschrieben. Das haben wir also Koordinatenebene Es gibt zwei Punkte A(x 1;y 1) und B(x 2;y 2) wird eine Gerade durch die angegebenen Punkte gezogen:

Hier ist die direkte Formel selbst:

*Das heißt, wenn wir bestimmte Koordinaten von Punkten ersetzen, erhalten wir eine Gleichung der Form y=kx+b.

**Wenn Sie sich diese Formel einfach „auswendig lernen“, besteht eine hohe Wahrscheinlichkeit, dass Sie mit den Indizes verwechselt werden X. Darüber hinaus können Indizes auf unterschiedliche Weise bezeichnet werden, zum Beispiel:

Deshalb ist es wichtig, die Bedeutung zu verstehen.

Nun die Herleitung dieser Formel. Es ist ganz einfach!

Die Dreiecke ABE und ACF ähneln sich im spitzen Winkel (das erste Zeichen der Ähnlichkeit). rechtwinklige Dreiecke). Daraus folgt, dass die Verhältnisse der entsprechenden Elemente gleich sind, das heißt:

Jetzt drücken wir diese Segmente einfach durch die Differenz der Koordinaten der Punkte aus:

Natürlich entsteht kein Fehler, wenn Sie die Beziehungen der Elemente in einer anderen Reihenfolge schreiben (Hauptsache, die Konsistenz bleibt erhalten):

Das Ergebnis wird die gleiche Geradengleichung sein. Das ist alles!

Das heißt, egal wie die Punkte selbst (und ihre Koordinaten) bezeichnet werden, wenn Sie diese Formel verstehen, werden Sie immer die Gleichung einer geraden Linie finden.

Die Formel kann mithilfe der Eigenschaften von Vektoren abgeleitet werden, das Ableitungsprinzip bleibt jedoch dasselbe, da es sich um die Proportionalität ihrer Koordinaten handelt. In diesem Fall funktioniert die gleiche Ähnlichkeit rechtwinkliger Dreiecke. Meiner Meinung nach ist die oben beschriebene Schlussfolgerung klarer)).

Ausgabe mit Vektorkoordinaten anzeigen >>>

Auf der Koordinatenebene soll eine Gerade konstruiert werden, die durch zwei gegebene Punkte A(x 1;y 1) und B(x 2;y 2) verläuft. Markieren wir einen beliebigen Punkt C auf der Geraden mit Koordinaten ( X; j). Wir bezeichnen auch zwei Vektoren:

Es ist bekannt, dass für Vektoren, die auf parallelen Linien (oder auf derselben Linie) liegen, ihre entsprechenden Koordinaten proportional sind, das heißt:

— Wir schreiben die Gleichheit der Verhältnisse der entsprechenden Koordinaten auf:

Schauen wir uns ein Beispiel an:

Finden Sie die Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte mit den Koordinaten (2;5) und (7:3) verläuft.

Sie müssen nicht einmal die gerade Linie selbst erstellen. Wir wenden die Formel an:

Es ist wichtig, dass Sie bei der Erstellung des Verhältnisses die Zusammenhänge verstehen. Sie können nichts falsch machen, wenn Sie schreiben:

Antwort: y=-2/5x+29/5 go y=-0,4x+5,8

Um sicherzustellen, dass die resultierende Gleichung korrekt gefunden wird, überprüfen Sie unbedingt die Koordinaten der Daten in der Bedingung der darin enthaltenen Punkte. Die Gleichungen sollten korrekt sein.

Das ist alles. Ich hoffe, das Material war für Sie nützlich.

Beste Grüße, Alexander.

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir in den sozialen Netzwerken von der Seite erzählen würden.

In diesem Artikel wird die Ableitung der Gleichung einer geraden Linie beschrieben, die durch zwei gegebene Punkte in einem rechteckigen Koordinatensystem auf einer Ebene verläuft. Lassen Sie uns die Gleichung einer Geraden herleiten, die durch zwei gegebene Punkte in einem rechtwinkligen Koordinatensystem verläuft. Wir werden mehrere Beispiele im Zusammenhang mit dem behandelten Material anschaulich zeigen und lösen.

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Bevor man die Gleichung einer Geraden erhält, die durch zwei gegebene Punkte verläuft, müssen einige Fakten beachtet werden. Es gibt ein Axiom, das besagt, dass es möglich ist, durch zwei divergierende Punkte auf einer Ebene eine gerade Linie zu zeichnen, und zwar nur einen. Mit anderen Worten: Zwei gegebene Punkte auf einer Ebene werden durch eine gerade Linie definiert, die durch diese Punkte verläuft.

Wenn die Ebene durch das rechtwinklige Koordinatensystem Oxy definiert ist, entspricht jede darin dargestellte Gerade der Gleichung einer Geraden auf der Ebene. Es besteht auch ein Zusammenhang mit dem Richtungsvektor der Geraden. Diese Daten reichen aus, um die Gleichung einer Geraden zu erstellen, die durch zwei gegebene Punkte verläuft.

Schauen wir uns ein Beispiel für die Lösung eines ähnlichen Problems an. Es ist notwendig, eine Gleichung für eine Gerade a zu erstellen, die durch zwei divergierende Punkte M 1 (x 1, y 1) und M 2 (x 2, y 2) verläuft Kartesisches System Koordinaten

In der kanonischen Gleichung einer Linie auf einer Ebene mit der Form x - x 1 a x = y - y 1 a y wird ein rechteckiges Koordinatensystem O x y mit einer Linie angegeben, die es in einem Punkt mit den Koordinaten M 1 (x schneidet 1, y 1) mit einem Führungsvektor a → = (a x , a y) .

Es ist notwendig, eine kanonische Gleichung einer Geraden a zu erstellen, die durch zwei Punkte mit den Koordinaten M 1 (x 1, y 1) und M 2 (x 2, y 2) verläuft.

Die Gerade a hat einen Richtungsvektor M 1 M 2 → mit Koordinaten (x 2 - x 1, y 2 - y 1), da sie die Punkte M 1 und M 2 schneidet. Wir haben die notwendigen Daten erhalten, um die kanonische Gleichung mit den Koordinaten des Richtungsvektors M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) und den Koordinaten der darauf liegenden Punkte M 1 zu transformieren (x 1, y 1) und M 2 (x 2 , y 2) . Wir erhalten eine Gleichung der Form x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 oder x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.

Betrachten Sie die Abbildung unten.

Im Anschluss an die Berechnungen schreiben wir die parametrischen Gleichungen einer Geraden auf einer Ebene auf, die durch zwei Punkte mit den Koordinaten M 1 (x 1, y 1) und M 2 (x 2, y 2) verläuft. Wir erhalten eine Gleichung der Form x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ oder x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

Schauen wir uns die Lösung einiger Beispiele genauer an.

Beispiel 1

Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden auf, die durch 2 gegebene Punkte mit den Koordinaten M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6 verläuft.

Lösung

Die kanonische Gleichung für eine Linie, die sich in zwei Punkten mit den Koordinaten x 1, y 1 und x 2, y 2 schneidet, hat die Form x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Gemäß den Bedingungen des Problems gilt x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Es ist notwendig, die Zahlenwerte in die Gleichung x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 einzusetzen. Daraus ergibt sich, dass die kanonische Gleichung die Form x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 annimmt.

Antwort: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Wenn Sie ein Problem mit einer anderen Gleichungsart lösen müssen, können Sie zunächst zur kanonischen Gleichung übergehen, da es einfacher ist, von dieser zu jeder anderen Gleichung zu gelangen.

Beispiel 2

Stellen Sie die allgemeine Gleichung einer Geraden auf, die durch Punkte mit den Koordinaten M 1 (1, 1) und M 2 (4, 2) im O x y-Koordinatensystem verläuft.

Lösung

Zuerst müssen Sie die kanonische Gleichung einer gegebenen Geraden aufschreiben, die durch zwei gegebene Punkte verläuft. Wir erhalten eine Gleichung der Form x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Bringen wir die kanonische Gleichung in die gewünschte Form, dann erhalten wir:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Antwort: x - 3 y + 2 = 0 .

Beispiele für solche Aufgaben wurden in Schulbüchern im Algebraunterricht besprochen. Schulaufgaben unterschieden sich dadurch, dass die Gleichung einer Geraden mit einem Winkelkoeffizienten bekannt war und die Form y = k x + b hatte. Wenn Sie den Wert der Steigung k und die Zahl b finden müssen, für die die Gleichung y = k x + b eine Linie im O x y-System definiert, die durch die Punkte M 1 (x 1, y 1) und M 2 verläuft (x 2, y 2) , wobei x 1 ≠ x 2. Wenn x 1 = x 2 , dann nimmt der Winkelkoeffizient den Wert Unendlich an und die Gerade M 1 M 2 wird durch das Allgemeine definiert unvollständige Gleichung der Form x - x 1 = 0 .

Denn die Punkte M 1 Und M 2 liegen auf einer Geraden, dann erfüllen ihre Koordinaten die Gleichung y 1 = k x 1 + b und y 2 = k x 2 + b. Es ist notwendig, das Gleichungssystem y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b nach k und b zu lösen.

Dazu finden wir k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 oder k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Mit diesen Werten von k und b ergibt sich die Gleichung einer Geraden, die durch die gegebenen zwei Punkte verläuft nächste Ansicht y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 oder y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Merken Sie sich das sofort riesige Menge Formeln funktionieren nicht. Dazu ist es notwendig, die Anzahl der Wiederholungen bei der Lösung von Problemen zu erhöhen.

Beispiel 3

Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden mit einem Winkelkoeffizienten auf, die durch Punkte mit den Koordinaten M 2 (2, 1) und y = k x + b verläuft.

Lösung

Um das Problem zu lösen, verwenden wir eine Formel mit einer Steigung, die die Form y = k x + b hat. Die Koeffizienten k und b müssen einen solchen Wert annehmen, dass diese Gleichung einer Geraden entspricht, die durch zwei Punkte mit den Koordinaten M 1 (- 7, - 5) und M 2 (2, 1) verläuft.

Punkte M 1 Und M 2 liegen auf einer Geraden, dann müssen ihre Koordinaten die Gleichung y = k x + b zu einer echten Gleichheit machen. Daraus erhalten wir - 5 = k · (- 7) + b und 1 = k · 2 + b. Lassen Sie uns die Gleichung zu dem System - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b kombinieren und lösen.

Bei der Auswechslung bekommen wir das

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Nun werden die Werte k = 2 3 und b = - 1 3 in die Gleichung y = k x + b eingesetzt. Wir stellen fest, dass die erforderliche Gleichung, die durch die gegebenen Punkte geht, eine Gleichung der Form y = 2 3 x - 1 3 sein wird.

Diese Lösungsmethode bestimmt die Ausgaben große Menge Zeit. Es gibt eine Möglichkeit, die Aufgabe buchstäblich in zwei Schritten zu lösen.

Schreiben wir die kanonische Gleichung der Geraden, die durch M 2 (2, 1) und M 1 (- 7, - 5) verläuft, mit der Form x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Kommen wir nun zur Steigungsgleichung. Wir erhalten: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Antwort: y = 2 3 x - 1 3 .

Wenn es im dreidimensionalen Raum ein rechtwinkliges Koordinatensystem O x y z mit zwei gegebenen nicht zusammenfallenden Punkten mit den Koordinaten M 1 (x 1, y 1, z 1) und M 2 (x 2, y 2, z 2) gibt, die gerade Linie M durch sie gehen 1 M 2 , es ist notwendig, die Gleichung dieser Linie zu erhalten.

Wir haben kanonische Gleichungen der Form x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z und parametrische Gleichungen der Form x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ können eine Linie im Koordinatensystem O x y z definieren, die durch Punkte mit Koordinaten (x 1, y 1, z 1) mit einem Richtungsvektor a → = (a x, a y, a z) verläuft.

Gerade M 1 M 2 hat einen Richtungsvektor der Form M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), wobei die Gerade durch den Punkt M 1 (x 1, y 1, z 1) und M 2 (x 2 , y 2 , z 2), daher kann die kanonische Gleichung die Form haben x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 oder x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, wiederum parametrisch x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ oder x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Betrachten Sie eine Zeichnung, die zwei gegebene Punkte im Raum und die Gleichung einer geraden Linie zeigt.

Beispiel 4

Schreiben Sie die Gleichung einer Linie, die in einem rechteckigen Koordinatensystem O x y z des dreidimensionalen Raums definiert ist und durch zwei gegebene Punkte mit den Koordinaten M 1 (2, - 3, 0) und M 2 (1, - 3, - 5) verläuft.

Lösung

Es ist notwendig, die kanonische Gleichung zu finden. Weil wir reden darüberüber den dreidimensionalen Raum, was bedeutet, dass, wenn eine gerade Linie durch bestimmte Punkte verläuft, die gewünschte kanonische Gleichung die Form x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 annimmt z 2 - z 1 .

Als Bedingung gilt: x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Daraus folgt, dass die notwendigen Gleichungen wie folgt geschrieben werden:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Antwort: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

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Eigenschaften einer Geraden in der euklidischen Geometrie.

Durch jeden Punkt können unendlich viele Geraden gezogen werden.

Durch zwei beliebige nicht zusammenfallende Punkte kann eine einzelne gerade Linie gezogen werden.

Zwei divergierende Linien in einer Ebene schneiden sich entweder in einem Punkt oder sind es

parallel (folgt aus dem vorherigen).

Im dreidimensionalen Raum gibt es drei Möglichkeiten relative Position zwei Geraden:

• Linien schneiden sich;

• Linien sind parallel;

• Geraden schneiden sich.

Gerade Linie— algebraische Kurve erster Ordnung: eine Gerade im kartesischen Koordinatensystem

ist in der Ebene durch eine Gleichung ersten Grades (lineare Gleichung) gegeben.

Allgemeine Gleichung einer Geraden.

Definition. Jede gerade Linie in der Ebene kann durch eine Gleichung erster Ordnung angegeben werden

Axt + Wu + C = 0,

und konstant A, B nicht gleichzeitig Null sind. Diese Gleichung erster Ordnung heißt allgemein

Gleichung einer Geraden. Abhängig von den Werten der Konstanten A, B Und MIT Folgende Sonderfälle sind möglich:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- Eine Gerade geht durch den Ursprung

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- Gerade parallel zur Achse Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- Gerade parallel zur Achse Oh

. B = C = 0, A ≠0- Die Gerade fällt mit der Achse zusammen Oh

. A = C = 0, B ≠0- Die Gerade fällt mit der Achse zusammen Oh

Die Gleichung einer Geraden lässt sich darstellen in in verschiedenen Formen je nach gegebenem

Anfangsbedingungen.

Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einem Normalenvektor.

Definition. In einem kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem ein Vektor mit den Komponenten (A, B)

senkrecht zu der durch die Gleichung gegebenen Geraden

Axt + Wu + C = 0.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer Geraden, die durch einen Punkt verläuft A(1, 2) senkrecht zum Vektor (3, -1).

Lösung. Mit A = 3 und B = -1 stellen wir die Gleichung der Geraden auf: 3x - y + C = 0. Um den Koeffizienten C zu finden

Ersetzen wir die Koordinaten des gegebenen Punktes A in den resultierenden Ausdruck. Wir erhalten also: 3 - 2 + C = 0

C = -1. Gesamt: die erforderliche Gleichung: 3x - y - 1 = 0.

Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte verläuft.

Gegeben seien zwei Punkte im Raum M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Und M2 (x 2, y 2, z 2), Dann Gleichung einer Geraden,

durch diese Punkte gehen:

Wenn einer der Nenner Null ist, sollte der entsprechende Zähler gleich Null gesetzt werden. An

Ebene, die Gleichung der oben geschriebenen Geraden wird vereinfacht:

Wenn x 1 ≠ x 2 Und x = x 1, Wenn x 1 = x 2 .

Fraktion = k angerufen Neigung direkt.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte A(1, 2) und B(3, 4) verläuft.

Lösung. Wenn wir die oben geschriebene Formel anwenden, erhalten wir:

Gleichung einer Geraden unter Verwendung eines Punktes und einer Steigung.

Wenn die allgemeine Gleichung der Linie Axt + Wu + C = 0 führen zu:

und benennen , dann heißt die resultierende Gleichung

Gleichung einer Geraden mit Steigung k.

Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einem Richtungsvektor.

In Analogie zum Punkt, der die Gleichung einer Geraden durch den Normalenvektor betrachtet, können Sie die Aufgabe eingeben

eine Gerade durch einen Punkt und ein Richtungsvektor einer Geraden.

Definition. Jeder Vektor ungleich Null (α 1 , α 2), deren Komponenten die Bedingung erfüllen

Aα 1 + Bα 2 = 0 angerufen Richtungsvektor einer Geraden.

Axt + Wu + C = 0.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer Geraden mit einem Richtungsvektor (1, -1), die durch Punkt A(1, 2) verläuft.

Lösung. Wir suchen nach der Gleichung der gewünschten Geraden in der Form: Ax + By + C = 0. Laut Definition ist

Koeffizienten müssen die folgenden Bedingungen erfüllen:

1 * A + (-1) * B = 0, d.h. A = B.

Dann hat die Geradengleichung die Form: Ax + Ay + C = 0, oder x + y + C / A = 0.

bei x = 1, y = 2 wir bekommen C/A = -3, d.h. erforderliche Gleichung:

x + y - 3 = 0

Gleichung einer Geraden in Segmenten.

Wenn in der allgemeinen Gleichung der Geraden Ах + Ву + С = 0 С≠0, dann erhalten wir durch Division durch -С:

oder wo

Die geometrische Bedeutung der Koeffizienten besteht darin, dass der Koeffizient a die Koordinate des Schnittpunkts ist

gerade mit Achse Oh, A B- Koordinate des Schnittpunkts der Linie mit der Achse Oh.

Beispiel. Die allgemeine Gleichung einer Geraden ist gegeben x - y + 1 = 0. Finden Sie die Gleichung dieser Geraden in Segmenten.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normalgleichung einer Geraden.

Wenn beide Seiten der Gleichung Axt + Wu + C = 0 durch Zahl dividieren was heißt

Normalisierungsfaktor, dann bekommen wir

xcosφ + ysinφ - p = 0 -Normalgleichung einer Geraden.

Das Vorzeichen ± des Normierungsfaktors muss so gewählt werden μ*C< 0.

R- die Länge der Senkrechten, die vom Ursprung zur Geraden fällt,

A φ - der Winkel, den diese Senkrechte mit der positiven Richtung der Achse bildet Oh.

Beispiel. Die allgemeine Gleichung der Geraden ist gegeben 12x - 5y - 65 = 0. Zum Schreiben erforderlich verschiedene Arten Gleichungen

diese gerade Linie.

Die Gleichung dieser Geraden in Segmenten:

Die Gleichung dieser Geraden mit der Steigung: (durch 5 dividieren)

Gleichung einer Geraden:

cos φ = 12/13; Sünde φ= -5/13; p = 5.

Es ist zu beachten, dass nicht jede Gerade durch eine Gleichung in Segmenten dargestellt werden kann, zum Beispiel Geraden,

parallel zu den Achsen oder durch den Ursprung verlaufend.

Der Winkel zwischen geraden Linien in einer Ebene.

Definition. Wenn zwei Zeilen angegeben sind y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, dann der spitze Winkel zwischen diesen Linien

wird definiert als

Zwei Geraden sind parallel, wenn k 1 = k 2. Zwei Linien stehen senkrecht zueinander

Wenn k 1 = -1/ k 2 .

Satz.

Direkt Axt + Wu + C = 0 Und A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 parallel, wenn die Koeffizienten proportional sind

A 1 = λA, B 1 = λB. Wenn auch С 1 = λС, dann fallen die Linien zusammen. Koordinaten des Schnittpunkts zweier Geraden

werden als Lösung des Gleichungssystems dieser Geraden gefunden.

Gleichung einer durchgehenden Geraden dieser Punkt senkrecht zu dieser Linie.

Definition. Linie, die durch einen Punkt geht M 1 (x 1, y 1) und senkrecht zur Linie y = kx + b

dargestellt durch die Gleichung:

Abstand von einem Punkt zu einer Linie.

Satz. Wenn ein Punkt gegeben wird M(x 0, y 0), dann der Abstand zur Geraden Axt + Wu + C = 0 definiert als:

Nachweisen. Lassen Sie den Punkt M 1 (x 1, y 1)- die Basis einer Senkrechten, die von einem Punkt aus fällt M für eine gegebene

direkt. Dann der Abstand zwischen Punkten M Und M 1:

(1)

Koordinaten x 1 Und am 1 kann als Lösung des Gleichungssystems gefunden werden:

Die zweite Gleichung des Systems ist die Gleichung einer Geraden, die senkrecht durch einen gegebenen Punkt M 0 verläuft

gegebene gerade Linie. Wenn wir die erste Gleichung des Systems in die Form umwandeln:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

dann erhalten wir beim Lösen:

Wenn wir diese Ausdrücke in Gleichung (1) einsetzen, finden wir:

Der Satz ist bewiesen.

Lassen Sie die Linie durch die Punkte M 1 (x 1; y 1) und M 2 (x 2; y 2) verlaufen. Die Gleichung einer Geraden, die durch den Punkt M 1 verläuft, hat die Form y-y 1 = k (x - x 1), (10.6)

Wo k - noch unbekannter Koeffizient.

Da die Gerade durch den Punkt M 2 (x 2 y 2) verläuft, müssen die Koordinaten dieses Punktes Gleichung (10.6) erfüllen: y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Von hier aus finden wir den gefundenen Wert ersetzen k in Gleichung (10.6) erhalten wir die Gleichung einer Geraden, die durch die Punkte M 1 und M 2 verläuft:

Es wird angenommen, dass in dieser Gleichung x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Wenn x 1 = x 2, dann ist die Gerade, die durch die Punkte M 1 (x 1,y I) und M 2 (x 2,y 2) verläuft, parallel zur Ordinatenachse. Seine Gleichung lautet x = x 1 .

Wenn y 2 = y I, dann kann die Geradengleichung als y = y 1 geschrieben werden, die Gerade M 1 M 2 verläuft parallel zur Abszissenachse.

Gleichung einer Geraden in Segmenten

Die Gerade schneide die Ox-Achse im Punkt M 1 (a;0) und die Oy-Achse im Punkt M 2 (0;b). Die Gleichung wird die Form annehmen:
diese.
. Diese Gleichung heißt Gleichung einer Geraden in Segmenten, weil Die Zahlen a und b geben an, welche Segmente die Linie auf den Koordinatenachsen abschneidet.

Gleichung einer Geraden, die senkrecht zu einem gegebenen Vektor durch einen gegebenen Punkt verläuft

Finden wir die Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt Mo (x O; y o) senkrecht zu einem gegebenen Vektor ungleich Null n = (A; B) verläuft.

Nehmen wir einen beliebigen Punkt M(x; y) auf der Geraden und betrachten den Vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (siehe Abb. 1). Da die Vektoren n und M o M senkrecht zueinander stehen, ist ihr Skalarprodukt gleich Null: das heißt

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Gleichung (10.8) wird aufgerufen Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einem gegebenen Vektor verläuft .

Vektor n= (A; B), senkrecht zur Linie, heißt normal Normalenvektor dieser Geraden .

Gleichung (10.8) kann umgeschrieben werden als Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

wobei A und B die Koordinaten des Normalenvektors sind, C = -Ax o - Vu o der freie Term ist. Gleichung (10.9) ist die allgemeine Gleichung der Geraden(siehe Abb. 2).

Abb.1 Abb.2

Kanonische Gleichungen der Linie

,

Wo
- Koordinaten des Punktes, durch den die Linie verläuft, und
- Richtungsvektor.

Kurven zweiter Ordnung Kreis

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte der Ebene, die von einem bestimmten Punkt, der als Mittelpunkt bezeichnet wird, den gleichen Abstand haben.

Kanonische Gleichung eines Kreises mit Radius R an einem Punkt zentriert
:

Insbesondere wenn der Mittelpunkt des Pfahls mit dem Koordinatenursprung übereinstimmt, sieht die Gleichung wie folgt aus:

Ellipse

Eine Ellipse ist eine Menge von Punkten auf einer Ebene, deren Summe die Abstände von jedem Punkt zu zwei gegebenen Punkten ist Und , die Brennpunkte genannt werden, ist eine konstante Größe
, größer als der Abstand zwischen den Brennpunkten
.

Die kanonische Gleichung einer Ellipse, deren Brennpunkte auf der Ox-Achse liegen und deren Koordinatenursprung in der Mitte zwischen den Brennpunkten liegt, hat die Form
G de A Länge der großen Halbachse; B – Länge der kleinen Halbachse (Abb. 2).