A középiskolai tapasztalatok azt mutatják, hogy a geometriai feladatok nem sokoldalúak, erre a feladatra egy geometriai feladatfüzet (kb. 4000 feladat) jelentett megoldást, amely 24 fejezetből áll. Ennek a cikknek a célja a könyv egyik fejezete: „Felírva és leírva labda" .
Téma tanulmányozása során feleletválasztós feladatok összeállítása „Felírva és leírva labda" Általános formában megoldott problémák:
1. A golyó szabályos piramisba van beírva – mérlegelik R labda , r - a piramis alapjába írt kör sugara, r mp – a gúla és a golyó oldalfelülete érintkezési körének sugara, h - a piramis magassága, h 1 - apotém, Val vel– az oldalél hossza, a – az oldalél és a gúla alapjának síkja közötti szög – figyelembe véve, ha két mennyiség ismert, a többi megtalálható – összesen 15 lehetőséget vettünk figyelembe:
(r, R w), (r, h 1), (r, h), (r, a), (r, r sec), (R w, h 1), (R w, h), (R w, a), (h 1 , h), (h 1, a), (h 1 , r sec), (h, a), (h, r sec), (a , r sec).
2. A golyó egy piramisba van írva, amelynek oldallapjai egyformán dőlnek a gúla alapjának síkjához – az opciókat akkor veszik figyelembe, ha az alap háromszög, rombusz, trapéz – ezekben az esetekben a konkrét adatok táblázatát adjuk meg.
3. Egy gömböt írnak le egy szabályos piramis közelében - fontolgatják, R gömbök - a gömb sugara, Rdesc.environment - az alap körül körülírt kör sugara, h 1 – szabályos piramis oldallapjának apotémája, h - a piramis magassága; Val vel – az oldalborda hossza; a a gúla oldaléle és alapsíkja közötti szög, b az oldalél és az alap síkja közötti szög.
4. Leírunk egy gömböt egy gúla körül, amelynek oldalsó élei megegyeznek az alap síkjával, vagy egyenlő ferdeséggel - adattáblázat a R labda , R - a piramis alapja körül leírt kör sugara, h - a piramis magassága, h 1 – apotém, a – a gúla oldaléle és alapsíkja közötti szög.
5. Kúpba egy golyó van beírva – úgy R labda , R con - a kúp alapjának sugara, r mp – a gúla és a golyó oldalfelülete érintkezési körének sugara, h - a kúp magassága, l - a kúp generatrixa, a - a generatrix és a kúp alapsíkja közötti szög - figyelembe véve, ha két mennyiség ismert, a többi megtalálható - összesen 15 opciót vettek figyelembe - ( R con, R ball), (R con, a), (R con, l), (R con, h), (R con, r szakasz), (R ball, a), (R ball, l), (R labda, h), (R labda, r szakasz), (l, a), (h, a), (r szakasz, a), (l, h), (l, r szakasz), (h, r mp).
6. A kúp a gömbbe van írva - mérlegelés alatt állnak R labda , R con - a kúp alapjának sugara, d - a gömb középpontja és a kúp alapjának síkja közötti távolság, h - a kúp magassága, l a kúp generatrixa, a a generatrix és a kúp alapjának síkja közötti szög - figyelembe véve, ha két mennyiség ismert, a többi megtalálható - összesen párokban ( R kúp, R golyó), (R kúp, a), (R kúp, l), (R kúp, h), (R kúp, d, a golyó középpontjának helyzete a kúphoz képest), (R golyó , a), (R golyó, l), (R golyó, h), (R golyó, d), (l, a), (h, a), (d, a), (l, h), ( l, d), ( h, d).
7. Csonkakúpba golyó van beírva – úgy R labda , R, r – a csonkakúp alsó és nagyobb alapjainak sugarai, l – a kúp generatrixa, a generatrix és a kúp alapsíkja közötti szög, r mp – a kúp és a golyó oldalfelülete érintkezési körének sugara; figyelembe véve, ha két mennyiség ismert, a többi megtalálható - összesen párban - (r, R), (R golyó, R), (R, l), (r szakasz, R), (R, a), (R golyó, l), (R golyó, l), (R labda, r mp), (R golyó, a), (l, r mp), (l, a), (r mp, a) ; konkrét számadatokat tartalmazó táblázat készült, mely tartalmazza a golyó sugarát, az alapok sugarait, a generatrixot, a generatrix és az alap síkja közötti szög szinuszát, a golyó felületét és térfogatát, ill. csonka kúp.
8. Egy csonka kúp körül gömböt írnak le - figyelembe véve R gömbök , R, r – a csonkakúp alsó és nagyobb alapjainak sugarai, l a kúp generatrixa, a a generatrix és a kúp alapjának síkja közötti szög, egyes feladatokban a gömb középpontjának a kúphoz viszonyított helyzetét kell megadni; figyelembe véve, ha három mennyiség ismert, a többi megtalálható - összesen hármasokat kell figyelembe venni - (r,R,h), (R, r, a), (r, R, l), (r, R, R golyó, a gömb középpontjának helyzete), (h, R, R golyó, pozíció a gömb középpontja) , (l, R, R golyó, a gömb középpontjának helyzete), (a , R, R golyó, gömb középső helyzete), (h, R, l), (a , R, h), (a , R, l), (l, h, R ball), (a , h, R ball), (a , l, R sf ).
A kapott táblázatok alapján összeállították a geometriai feladatfüzet egyik fejezetét, melynek neve: Fejezet 24. Labda és egyéb testek. A fejezet bekezdésekből áll, amelyekben albekezdések vannak.
24.1. A hengerbe egy golyó van beírva
24.1.02. A hengerbe egy golyó van beírva. Határozza meg a henger és a gömb térfogatának arányát!
24.1.03. A hengerbe egy golyó van beírva. Határozza meg a henger teljes felületének és a golyó felületének arányát!
24.2. A gömb egy henger körül van körülírva
24.2.01. Egy hangerővel rendelkező labdába V labda egy henger van felírva, amelynek generatrixa a golyó középpontjából a szögben látható. Keresse meg a henger térfogatát.
24.2.03. Egy térfogatú henger körül V a labdát leírják. Határozza meg a golyó sugarának függését a henger magasságától és annak a hengernek a magasságától, amelynél a golyó felülete a legkisebb lesz.
24.3. Gömb és henger
24.3.01. Fém henger alapátmérővel D cylés magasság h cyl golyóvá olvadt. Számítsa ki ennek a golyónak a sugarát!
24.3.03. Hengeres edényben, amelynek alapsugara a R cyl, egy sugarú golyót helyezünk el R labda. Vizet öntünk az edénybe úgy, hogy annak szabad felülete érintse a labda felületét (a labda nem úszik fel). Határozza meg annak a vízrétegnek a vastagságát, amelyet akkor kapunk, ha a golyót eltávolítjuk az edényből.
24.4. Kúpba egy golyó van beírva
24.4.01. A kúpba egy gömb van beírva, amelynek tengelymetszete egyenlő oldalú háromszög. Határozza meg a golyó sugarát, ha a kúp alapjának sugara az R con
24.4.05. Egy gömböt írunk egy kúpba, amelynek tengelymetszete egy egyenlő oldalú háromszög, amelynek térfogata egyenlő V labda. Keresse meg a kúp magasságát, ha:
24.4.07. A kúpba egy gömb van beírva, amelynek tengelymetszete egyenlő oldalú háromszög. Határozza meg a kúp térfogatát, ha a golyó térfogata V w.
24.4.09 Egyenes körkúpban, alapsugárral R con sugarú gömb van felírva R labda. Számítsa ki a kúp térfogatát!
24.4.14. Kúpban egy térfogattal V a labda fel van írva. Határozza meg a gömb és kúpos felület érintőkörének sugarát, ha a kúp alapjának sugara egyenlő R con.
24.4.16. Kúpba egy golyó van beírva. A gömb felülete összefügg a kúp alapterületével, mint m:n. Keresse meg a szöget a kúp csúcsánál!
24.4.24. Kúp alapterület S alap. Kúp oldalfelülete S oldal. Határozza meg a kúpba írt gömb sugarát!
24.4.25. A kúp alapterülete egyenlő S alap, teljes felülete pedig egyenlő S tele. Határozzuk meg a kúpba írt golyó sugarát!
24.4.28. Kúpba egy golyó van beírva. Határozza meg a gömb és kúpos felület érintőkörének sugarát, ha a kúp alapjának sugara egyenlő R con, alakítás - l.
24.4.34. Egy sugarú golyóról R labda egy kúpot ír le, amelynek magassága h. Határozza meg a kúp alapjának sugarát és a gömb- és kúpos felület érintőkörének sugarát!
24.4.38. Kúpba egy golyó van beírva. Annak a körnek a sugara, amely mentén a kúp és a labda érintése megegyezik r mp. Határozza meg a kúp térfogatát, ha a golyó sugara egyenlő R labda.
24.4.43. Egy derékszögű kúp generatrixa egyenlő l con, a kúpos és gömbfelület közötti érintőkör sugara egyenlő r mp. Keresse meg a kúp oldalfelületét.
24.5. A gömb egy kúp körül van körülírva
24.5.02. A kúp körül egy gömböt írnak le. Ha ismert a kúp alapjának sugara, keresse meg a gömb sugarát - R con valamint a generatrix és a kúp alapsíkja közötti a szög.
24.5.03. Határozzuk meg egy olyan kúp köré körülírt gömb sugarát, amelynek alapsugara egyenlő R con, és a generátor egyenlő l:
24.5.04. Határozzuk meg egy olyan kúp körül körülírt gömb felületét, amelynek alapsugara egyenlő R con, a magasság pedig az h:
24.5.06. Egy gömbbe egy kúp van beírva, melynek térfogata t szor kisebb, mint a gömb térfogata. A kúp magassága az h. Keresse meg a labda térfogatát.
24.5.07. Egy gömbbe kúp van beírva. Adja meg a kúp magasságát és generatrixát, ha ismert a kúp alapjának sugara R conés távolság d a gömb középpontjától a kúp alapjának síkjáig.
24.5.12. Sugár gömb R sf a kúp körül leírták. Határozza meg a kúp oldalfelületét, ha a magassága az h:
24.5.16. A gömb egy kúp körül van körülírva. Határozza meg a gömb sugarát, ha a kúp generatrixa és az alapsíkja közötti szög egyenlő a-val, és a gömb középpontja és az alapsík távolsága egyenlő d:
24.5.17. Egy gömb körül olyan kúp van körülírva, amelynek magassága egyenlő h, alakítás - l. Határozza meg a gömb középpontja és az alap síkja közötti távolságot.
24.5.18. A gömb egy kúp körül van körülírva. Határozza meg a gömb sugarát és a kúp alapját, ha a kúp generatrixa egyenlő l valamint a gömb középpontja és az alapsík távolsága d, és ismert a gömb középpontjának helyzete a kúphoz képest.
24.5.19. A gömb egy kúp körül van körülírva. Határozza meg a kúp alapjának sugarát, ha a kúp magassága az h a gömb középpontja és az alap síkja közötti távolság pedig az d.
24.6. Golyó és kúp
24.6.03. A test két kúpból áll, amelyek közös alappal rendelkeznek, és az alapsík ellentétes oldalán helyezkednek el. Határozzuk meg egy testbe írt golyó sugarát, ha a kúpok alapjainak sugarai egyenlőek! R con, és magasságok h 1És h 2.
24.6.04. Kúp magassága h a generatrix és a magasság közötti, a-val egyenlő szöget pedig a kúp csúcsa középpontjában lévő gömbfelület két részre vágja. Mekkora legyen ennek a gömbnek a sugara, hogy a kúpot ez a gömb két egyenlő részre osztja?
24.7. Egy csonka kúpba egy golyó van beírva
24.7.02. A gömb csonka kúpba van írva, amelynek alapsugarai: RÉs r. Határozza meg a gömb területének és a csonkakúp oldalfelületének arányát.
24.7.03. A labda körül egy csonka kúpot írnak le. Határozza meg a kúp gömbfelületének és oldalfelületének keresztmetszeti sugarát, ha a kúp nagyobb alapjának sugara Rés a generátor egyenlő l/
24.7.05. A labda körül egy csonka kúpot írnak le. A kúp nagyobb alapjának sugara Rés a kúp gömbfelületének és oldalfelületének keresztmetszeti sugara egyenlő r mp. Határozzuk meg a golyó sugarát és a csonka kúp felső bázisának sugarát!
24.7.10. Egy labda, amelynek felülete egyenlő S, csonkakúpba írva. A kúp generatrixa és a nagy alapja közötti szög egyenlő a. Számítsa ki ennek a kúpnak az oldalfelületét!
24.7.11. A labda körül egy csonka kúpot írnak le. A kúp generatrixa egyenlő lés a kúp gömbfelületének és oldalfelületének keresztmetszeti sugara egyenlő r mp. Határozza meg a golyó sugarát és a csonkakúp alapjainak sugarait!
24.8. Egy csonka kúp körül egy gömb van körülírva
24.8.01. A golyó egy csonka kúp körül van körülírva. Határozza meg a golyó térfogatát és a megfelelő gömbszelvényeket, amelyeket a kúp alapjai határolnak, ha a kúp alapjának sugarai RÉs r, kúp magasság - h.
24.8.04. Egy csonka kúp körül egy gömb van körülírva. Határozza meg a csonkakúp térfogatát, ha a kúp alapjának sugarai RÉs r, gömb sugara – R vö(gondoljunk két esetet).
24.8.06. Ismeretes, hogy a csonkakúp körül körülírt gömb középpontja a kúpon kívül található. Határozza meg a csonkakúp térfogatát, ha a kúp nagyobb alapjának sugara az R, kúpot képezve l, gömb sugara – R vö.
24.8.07. A gömböt egy csonka kúp körül írják le. Határozza meg a gömb középpontjának helyzetét, ha a kúp nagyobb alapjának sugara! R, kúpot képezve l, kúp magassága – h.
24.8.08. Határozza meg a csonka kúp köré körülírt gömb sugarát, ha a kúp nagyobb alapjának sugara R, kúpot képezve l, a generatrix és az alap síkja közötti szög egyenlő a.
24.8.09. Határozzuk meg egy csonka kúp alapjainak sugarait, ha a kúp generatrixa! l, magasság h, és a kúp körül leírt gömb sugara egyenlő R sf.
24.8.10. Határozza meg a gömbbe írt csonka kúp térfogatát, ha a kúp generatrixa l, a generatrix és az alap síkja közötti szög egyenlő a-val, az e kúp körül leírt gömb sugara egyenlő R sf.
24.9. A golyó a piramisba van írva
A feladatokban 24.9.01 – 24.9.19 . közülük kettő lesz ismert R labda, A, Val vel, h, h 1, a , b , r mp a többit pedig meg kell találnod (kivéve a sarkokat).
24.9.01. Ismert rÉs R labda.
24.9.02. Ismert rÉs h 1.
24.9.03. Ismert rÉs h.
24.9.20. Határozzuk meg egy háromszög alakú gúlába írt golyó teljes felületét, amelynek minden éle egyenlő! A.
24.9.22. A labda sugara R szabályos háromszög alakú gúlába írva. Határozza meg a piramis térfogatát, ha ismert, hogy az apotém a golyó középpontjából szögben látható a.
24.10. A gömb leírása a piramis közelében található
A feladatokban 24.10.01 – 24.10.16 . közülük kettő lesz ismert R gömbök, a (R desc.environment), Val vel, h, h 1, a , b és meg kell találni a többit (a sarkok kivételével).
24.10.01. Ismert Rdesc.environmentÉs R gömbök.
24.10.09. Ismert R gömbökÉs h.
24.10.14. Ismert h 1és b.
10.24.17. Közel egy szabályos háromszög alakú piramis oldaléllel Val vel a gömb le van írva. Határozza meg a gömb sugarát, ha az alap oldala A. Határozza meg a gömb középpontjának helyzetét a piramishoz képest!
10/24/18. Egy szabályos háromszög alakú piramis körül egy gömböt írnak le. Határozzuk meg a gömb sugarát, ha az apotém egyenlő: h 1 a piramis magassága pedig az h.
10/24/19. Közel egy szabályos háromszög alakú piramis oldaléllel Val vel a labdát leírják. Határozza meg a golyó felületét és a gúla térfogatát, ha a gúla oldaléle b szöget zár be a gúla alapjának síkjával.
10/24/20. Határozza meg a szabályos háromszög alakú gúlára körülírt gömb sugarát, ha térfogata egyenlő V lakoma, és a magasság h.
10.24.21. Egy gömbbe, amelynek sugara egyenlő R gömb, szabályos háromszög alakú piramis van felírva. A piramis magassága a t nagyobb, mint az alapoldal. Keresse meg a gúla alapjának oldalát és térfogatát!
22.10.45. A szabályos négyszög gúlára körülírt gömb sugara egyenlő R gömbök r labdát. Keresse meg ennek a piramisnak a magasságát, alapjának oldalait, oldaléleit és apotémjét.
24.10.46. A szabályos négyszög gúlára körülírt gömb sugara egyenlő R gömbök, a beírt golyó sugara egyenlő r a labda. Határozza meg a gúla magasságát, éleit és térfogatát, az apotém és az alap síkja közötti szöget, ha a gömb és a golyó középpontja egybeesik!
Az oldalsó bordák az alap síkjával egyenlőek vagy egyenlően dőlnek
24.10.48. Egy háromszög alakú piramis alján egy derékszögű háromszög található lábakkal AÉs V, és minden oldalborda egyenlő szögben dől az alapsíkhoz képest. Egy adott gúla köré körülírt gömb sugara egyenlő R gömbök. Keresse meg a piramis magasságát.
10/24/49. A piramis alján egy egyenlő oldalú háromszög van, amelynek oldala van A. Az egyik oldallap ugyanaz a háromszög, és merőleges az alap síkjára. Határozzuk meg a piramis köré körülírt gömb sugarát!
Az alap síkjára merőleges oldalél
10.24.53. A MABC piramis alapja egy háromszög . Határozza meg a gúla magasságát, ha a gúla köré körülírt gömb sugara egyenlő R gömbökés az egyik oldalél merőleges az alap síkjára.
10.24.54. A piramis alján egy egyenlő szárú derékszögű háromszög található, amelynek lába van A. Az egyik oldallap ugyanaz a háromszög, ráadásul merőleges az alap síkjára. A másik két lap szintén derékszögű háromszög. Határozzuk meg a piramis köré körülírt gömb sugarát!
10.24.56. A sugaras gömbhöz R gömb szabályos hatszögletű csonka gúla van beírva, amelybe az alsó alap síkja átmegy a golyó középpontján, és az oldalél 60°-os szöget zár be az alap síkjával. Határozza meg a piramis térfogatát!
10/24/58. A MABCD piramis alapja egy trapéz . Határozza meg a gúla térfogatát, ha a gúla köré körülírt gömb sugara egyenlő R gömbökés az egyik oldalél merőleges az alap síkjára.
24.11. Gömb és piramis (más esetek)
24.11.01. A labda egy éllel rendelkező szabályos tetraéder két lapját és egyik szélét érinti V. Keresse meg a labda sugarát.
24.11.02. A golyó körül szabályos négyszögletű csonka gúlát írnak le, amelyben az alapok oldalai összefüggenek t:p . Határozza meg a gúla és a gömb térfogatának arányát!
Vagy egy gömb. Minden olyan szakaszt, amely egy golyó középpontját a gömbfelület egy pontjával köti össze, nevezzük sugár.
Egy gömbfelület két pontját összekötő és a labda középpontján átmenő szakaszt nevezzük átmérő.
Bármilyen átmérőjű végeit a golyó átmérőjűen ellentétes pontjainak nevezzük.Mindenfélét labda szakasz van egy repülő kör. Ennek a körnek a középpontja a középpontból a vágási síkra húzott merőleges alapja.A labda középpontján áthaladó síkot ún középsík. A golyó átmérősík szerinti metszetét ún nagy kör, és a gömb szakasza az nagy kör.
A labda bármely átmérős síkja az szimmetriasík. A labda közepe az övé szimmetria középpontja.
Egy gömbfelület egy pontján átmenő és az erre a pontra húzott sugárra merőleges síkot ún. érintő sík. Ezt a pontot hívják kapcsolattartási pont.
Az érintősíknak csak egy közös pontja van a labdával - az érintkezési pont.Egy gömbfelület adott pontján átmenő egyenest, amely merőleges az erre a pontra húzott sugárra, ún. tangens.
A gömbfelület bármely pontján végtelen számú érintő halad át, és mindegyik a golyó érintősíkjában fekszik.Labdaszegmens A golyónak a sík által róla levágott részét ún.Golyós réteg a labdának azt a részét, amely a labdát metsző két párhuzamos sík között helyezkedik el.Labda szektor gömbszelvényből és kúpból nyerjük.Ha egy gömbszakasz kisebb, mint egy félgömb, akkor a gömbszelvényt egy kúp egészíti ki, amelynek csúcsa a golyó közepén van, az alap pedig a szakasz alapja.Ha a szegmens nagyobb, mint egy félgömb, akkor a megadott kúpot eltávolítják róla. Alapképletek 
Golyó (R = OB - sugár):Sb = 4πR2; V = 4πR 3/3.Golyószegmens (R = OB - golyó sugara, h = SC - szegmens magassága, r = KV - szegmens alapsugár):V szegm = πh 2 (R - h / 3)vagy V szegm = πh(h 2 + 3r 2) / 6;
S szegm = 2πRh.Labdaszektor (R = OB - labda sugara, h = SK - szegmens magasság):V = V szegmens ± V con, „+”- ha a szegmens kisebb, "-" - ha a szakasz nagyobb, mint egy félgömb.vagy V = V szegm + V con = πh 2 (R - h / 3) + πr 2 (R - h) / 3.
Gömb alakú réteg (R 1 és R 2 - a gömb alakú réteg alapjainak sugarai; h = SC - a gömb alakú réteg magassága vagy az alapok közötti távolság):V sh/sl = πh 3/6 + πh(R 1 2 + R 2 2 ) / 2;
S w/sl = 2πRh.1. példaA gömb térfogata 288π cm 3. Keresse meg a labda átmérőjét.MegoldásV = πd 3/6288π = πd 3/6πd 3 = 1728πd3 = 1728d = 12 cm.Válasz: 12.2. példaHárom egyenlő r sugarú gömb érinti egymást és valamilyen síkot. Határozza meg a három adatot és az adott síkot érintő negyedik gömb sugarát!Megoldás 
Legyen O 1, O 2, O 3 ezeknek a gömböknek a középpontja, O pedig a három adatot és az adott síkot érintő negyedik gömb középpontja. Legyen A, B, C, T a gömbök érintkezési pontjai adott síkkal. Két gömb érintkezési pontja tehát e gömbök középpontjainak vonalán fekszik O 1 O 2 = O 2 O 3 = O 3 O 1 = 2r. A pontok tehát egyenlő távolságra vannak az ABC síktól AVO 2 O 1, AVO 2 O 3, AVO 3 O 1- egyenlő téglalapok, ezért ∆ABC egyenlő oldalú a 2r oldallal. Hadd x a negyedik gömb kívánt sugara. Ekkor OT = x. Ezért Hasonlóan 
Ez azt jelenti, hogy T egy egyenlő oldalú háromszög középpontja. Ezért innenVálasz: r/3. Piramisba írt gömbMinden szabályos piramisba beírható egy gömb. A gömb középpontja a gúla magasságában van, annak metszéspontjában a gúla alapjának szélén lévő lineáris szög felezőjével.Megjegyzés. Ha egy gúlába beírható egy gömb, ami nem feltétlenül szabályos, akkor ennek a gömbnek az r sugara az r = 3V / S pp képlettel számítható ki, ahol V a gúla térfogata, S pp a terület teljes felületéből.3. példaEgy R alapsugárral és H magasságú kúpos tölcsért vízzel töltenek meg. Egy nehéz golyót leeresztenek a tölcsérbe. Mekkora legyen a golyó sugara, hogy a golyó bemerült része által a tölcsérből kiszorított víz térfogata maximális legyen?MegoldásRajzoljunk egy metszetet a kúp közepén keresztül. Ez a szakasz egyenlő szárú háromszöget alkot. 
Ha van egy golyó a tölcsérben, akkor a sugarának maximális mérete megegyezik a kapott egyenlő szárú háromszögbe írt kör sugarával.A háromszögbe írt kör sugara egyenlő:r = S / p, ahol S a háromszög területe, p a fél kerülete.Egy egyenlő szárú háromszög területe egyenlő az alap magasságának (H = SO) felével. De mivel az alap kétszerese a kúp sugarának, akkor S = RH.A fél kerület p = 1/2 (2R + 2m) = R + m.m egy egyenlő szárú háromszög egyenlő oldalainak hossza;R a kúp alapját alkotó kör sugara.Keressük m-t a Pitagorasz-tétel segítségével: 
, aholRöviden így néz ki: 
Válasz: 4. példaEgy szabályos háromszög alakú piramisban, amelynek alapszöge egyenlő α-val, két golyó van. Az első golyó érinti a piramis összes lapját, a második pedig a piramis és az első golyó összes oldallapját. Határozzuk meg az első golyó és a második golyó sugarának arányát, ha tgα = 24/7!Megoldás 
Hadd A RABC egy szabályos piramis, és a H pont az alap-ABC középpontja. Legyen M a BC él felezőpontja. Ekkor a diéderszög lineáris szöge, amely feltétel szerint egyenlő α-val és α-val< 90°
. Центр первого шара, касающегося всех граней пирамиды, лежит на отрезке РН
в точке его пересечения с биссектрисой .
Hadd НН 1 - az első golyó átmérője és az РН egyenesre merőleges Н 1 ponton áthaladó sík, metszi az RA, РВ, РС oldaléleket az А 1, В 1, С 1 pontokban. Ekkor H 1 lesz a helyes ∆A 1 B 1 C 1 középpontja, és az RA 1 B 1 C 1 piramis hasonló lesz a RABC piramishoz, hasonlósági együtthatóval k = PH 1 / PH. Figyeljük meg, hogy a második golyó, amelynek középpontja az O 1 pontban van, az RA 1 B 1 C 1 gúlába van beírva, ezért a beírt golyók sugarainak aránya megegyezik a hasonlósági együtthatóval: OH / OH 1 = RN / RN 1. A tgα = 24/7 egyenlőségből a következőket kapjuk: Hadd AB = x. AkkorEzért a kívánt arány OH / O 1 H 1 = 16/9.Válasz: 16/9. Prizmába írt gömbÁtmérő A prizmába írt gömb D értéke egyenlő a prizma H magasságával: D = 2R = H. Sugár A prizmába írt gömb R értéke egyenlő a prizma merőleges metszetébe írt kör sugarával.Ha egy gömb egy egyenes prizmába van írva, akkor ennek a prizmának az alapjába kör írható. Sugár A derékszögű prizmába írt gömb R értéke egyenlő a prizma alapjába írt kör sugarával.1. tételLegyen egy kör egy egyenes prizma alapjába írva, és a prizma H magassága egyenlő ennek a körnek a D átmérőjével. Ekkor egy D átmérőjű gömböt írhatunk ebbe a prizmába. Ennek a beírt gömbnek a középpontja egybeesik a prizma alapjaira írt körök középpontját összekötő szakasz közepével.Bizonyíték 
Legyen ABC...A 1 B 1 C 1... egyenes prizma, O pedig az ABC alapjába írt kör középpontja. Ekkor az O pont egyenlő távolságra van az ABC alap minden oldalától. Legyen O 1 az O pont ortogonális vetülete az A 1 B 1 C 1 alapra. Ekkor O 1 egyenlő távolságra van az A 1 B 1 C 1 alap minden oldalától, és OO 1 || AA 1. Ebből következik, hogy az OO 1 egyenes párhuzamos a prizma oldallapjának minden síkjával, és az OO 1 szakasz hossza megegyezik a prizma magasságával és megegyezés szerint az alapra írt kör átmérőjével. a prizmából. Ez azt jelenti, hogy az OO 1 szakasz pontjai egyenlő távolságra vannak a prizma oldallapjaitól, és az OO 1 szakasz F közepe, amely egyenlő távolságra van a prizma alapjainak síkjaitól, egyenlő távolságra lesz a prizma összes lapjától . Vagyis F egy prizmába írt gömb középpontja, és ennek a gömbnek az átmérője megegyezik a prizma alapjába írt kör átmérőjével. A tétel bizonyítást nyert.2. tételLegyen egy kör beírva egy ferde prizma merőleges metszetébe, és a prizma magassága egyenlő ennek a körnek az átmérőjével. Ekkor ebbe a ferde prizmába beírható egy gömb. Ennek a gömbnek a középpontja a merőleges metszetbe írt kör középpontján áthaladó magasságot kettéosztja.Bizonyíték 
Legyen ABC...A 1 B 1 C 1... egy ferde prizma, F pedig egy FK sugarú kör középpontja a merőleges metszetébe. Mivel a prizma merőleges szakasza merőleges az oldallapjának minden síkjára, a metszet oldalaira húzott merőleges metszetbe írt kör sugarai merőlegesek a prizma oldallapjaira. Ezért az F pont egyenlő távolságra van minden oldallaptól.Rajzoljunk az F ponton keresztül a prizma alapjainak síkjára merőleges OO 1 egyenest, amely ezeket az alapokat az O és O 1 pontokban metszi. Ekkor OO 1 a prizma magassága. Mivel az OO 1 = 2FK feltétel szerint F az OO 1 szakasz közepe:FK = OO 1 / 2 = FO = FO 1, azaz. Az F pont kivétel nélkül egyenlő távolságra van a prizma összes lapjának síkjától. Ez azt jelenti, hogy egy gömböt írhatunk egy adott prizmába, amelynek középpontja egybeesik az F ponttal - a prizma azon merőleges szakaszába írt kör középpontjával, amely kettéosztja az F ponton áthaladó prizma magasságát. A tétel bizonyítást nyert.5. példaEgy téglalap alakú paralelepipedonba 1 sugarú gömb van beírva.. Határozza meg a paralelepipedon térfogatát!Megoldás 
Rajzolja meg a felülnézetet. Vagy oldalról. Vagy elölről. Ugyanezt fogod látni – egy téglalapba írt kört. Nyilvánvaló, hogy ez a téglalap négyzet, a paralelepipedon pedig egy kocka. Ennek a kockának a hossza, szélessége és magassága kétszerese a labda sugarának.AB = 2, ezért a kocka térfogata 8.Válasz: 8.6. példa.Egy szabályos háromszög alakú prizmában, amelynek alapoldala egyenlő, két golyó van. Az első golyó a prizmába van írva, a második pedig érinti a prizma egyik alapját, annak két oldallapját és az első golyót. Keresse meg a második golyó sugarát.Megoldás 
Legyen ABCA 1 B 1 C 1 egy szabályos prizma, a P és P 1 pontok pedig az alapjainak középpontjai. Ekkor az ebbe a prizmába írt O golyó középpontja a PP 1 szakasz felezőpontja. Tekintsük az RVV 1 repülőgépet. Mivel a prizma szabályos, ezért PB a BN szakaszon fekszik, amely a felező és ΔABC magasság. Következésképpen a sík a BB 1 oldalélnél lévő diéderszög felezősíkja. Ezért ennek a síknak bármely pontja egyenlő távolságra van az AA 1 BB 1 és CC 1 B 1 B oldallapoktól. Konkrétan, az O pontból az ACC 1 A 1 felületre leengedett OK merőleges az RVV 1 síkban van, és egyenlő az OR szakaszsal.Figyeljük meg, hogy a KNPO egy négyzet, amelynek oldala megegyezik az adott prizmába írt golyó sugarával. Hadd O 1 annak a golyónak a középpontja, amely érinti a beírt golyót O középponttal és a prizma AA 1 BB 1 és CC 1 B 1 B oldallapjait. Ekkor az O 1 pont az RVV 1 síkon, a P 2 vetülete az ABC síkon pedig az RV szakaszon fekszik.A feltétel szerint az alap oldala egyenlő
A golyót poliéderbe írtnak, a poliédert pedig körülírtnak nevezzük, ha a golyó felülete a poliéder minden lapját érinti.
Egy golyó beírható t és tt prizmába, és a prizma egyenes, magassága megegyezik a prizma alapjába írt kör átmérőjével.
Következmény 1. A derékszögű prizmába írt gömb középpontja az alapba írt kör középpontján átmenő prizma magasságának felezőpontjában van.
Következmény 2. Egy golyót különösen egyenes vonalakban írhatjuk fel: háromszög alakú, szabályos, négyszög alakú (amelyben az alap ellentétes oldalainak összegei egyenlők egymással) H = 2r feltétel mellett, ahol H a a prizma magassága, r az alapba írt kör sugara.
Golyó kombinációi poliéderekkel. Egy prizma körül körülírt gömb.
Egy gömbről azt mondjuk, hogy körülírt egy poliéder, ha a poliéder összes csúcsa a gömbön fekszik.
A prizmát akkor mondjuk beírtnak egy gömbbe, ha minden csúcsa a gömb felületén fekszik.
Egy gömb akkor és csak akkor írható le a prizma körül, ha a prizma egyenes, és egy kör írható le az alapja körül.
Következmény 1. Egy egyenes prizmára körülírt gömb középpontja az alapja körül körülírt kör középpontján áthúzott prizma magasságának felezőpontjában van.
Következmény 2. Egy gömb különösen leírható: derékszögű háromszög prizma közelében, szabályos prizma közelében, téglalap alakú paralelepipedon közelében, derékszögű négyszög prizma közelében, amelyben az alap ellentétes szögeinek összege 180 fokon.
Henger, kúp és csonka kúp kombinációi poliéderekkel.
Henger és prizma
Beírt és körülírt henger: A prizmát hengerbe írtnak nevezzük, ha az alapja a henger alapjába írt sokszögek egyenlő, oldalélei pedig a henger generatricái.
A prizmát egy henger körül körülírtnak nevezzük, ha az alapja a henger alapja körül körülírt sokszögek, és oldalfelületei érintik a hengert.
Egy prizma beírható egy t és mt jobb oldali körhengerbe, amely egyenes, és egy kör írható le a prizma alapja körül.
A prizma leírható egy t és tt henger körül, egyenes és az aljába kör írható.
Kúp és piramis
A kúpba írt piramis olyan piramis, amelynek az alapja
egy sokszög, amely egy kúp alapjának körébe és a csúcsába van írva
a kúp csúcsa. Egy ilyen piramis oldalsó élei formatívak
A kúp köré körülírt piramis ilyen piramis, az alap
amely a kúp alapja és a csúcsa körül körülírt sokszög
egybeesik a kúp tetejével. Egy ilyen piramis oldallapjainak síkjai
a kúp érintősíkjai.
Egy gúla beírható egy t és t derékszögű körkúpba, mivel a gúla alapja körül egy kör van körülírva, és a gúla magassága ennek a körnek a középpontjába vetül.
Egy gúla írható le egy t és t kúp köré, amelynek alapjába egy kör van beírva, és a gúla magassága ennek a körnek a középpontjába van vetítve.
A beírt golyó középpontja a piramisban jelenlévő összes diéderszögre szerkesztett felezősíkok metszéspontja; ha ezeknek a felezősíkoknak nincs közös pontjuk, akkor a golyót nem lehet beírni.
Speciális eset: a piramis oldallapjai egyformán dőlnek az alap síkjához. Akkor:
belefér a labda;
a golyó O középpontja a gúla magasságában van, pontosabban a magasság metszéspontja az apotéma és ennek az apotémnak az alap síkjára való vetülete közötti szög felezőpontjával.
6.2. Gömb és egyenes prizma
Egy gömb akkor és csak akkor írható be egyenes prizmába, ha:
a prizma alapjába kör írható,
ennek a körnek az átmérője megegyezik a prizma magasságával.
A golyó középpontja az alapokba írt körök középpontját összekötő szakasz közepe.
hol a beírt gömb sugara; - az alapra írt kör sugara; H a prizma magassága.
6.3. Golyó és henger
Egy gömb akkor és csak akkor írható a hengerbe, ha a henger tengelyirányú keresztmetszete négyzet (az ilyen hengert néha egyenlő oldalúnak nevezik). A golyó középpontja a henger tengelyirányú metszetének szimmetriaközéppontja.
6.4. Golyó és kúp
Kúpba mindig beleilleszthetsz egy labdát. A golyó középpontja a kúp tengelyirányú szakaszába írt kör középpontja.
6.5. Gömb és csonkakúp
A csonka kúpba akkor és csak akkor lehet golyót írni
A piramisba írt labdával kapcsolatos problémák egyszerű megoldásához hasznos áttekinteni egy kis elméleti anyagot.
Egy golyó van beírva a piramisba (vagy egy gömb van beleírva a piramisba) - ez azt jelenti, hogy a golyó (gömb) érinti a piramis minden lapját. A piramis lapjait tartalmazó síkok a labda érintősíkjai. A golyó középpontját az érintkezési pontokkal összekötő szakaszok merőlegesek az érintősíkra. Hosszúságuk megegyezik a labda sugarával. A piramisba írt golyó középpontja a kétszögek (azaz ezeket a szögeket kettéosztó) síkjainak metszéspontja az alapnál.
Leggyakrabban a problémák egy szabályos piramisba írt labdával járnak. A labda bármilyen szabályos piramisba beilleszthető. A golyó közepe ebben az esetben a piramis magasságában van. A feladat megoldása során célszerű a piramist és a golyót az apotémen és a piramis magasságán átmenő síkkal levágni.
Ha a gúla négy- vagy hatszögletű, akkor a keresztmetszete egy egyenlő szárú háromszög, melynek oldalai apotémek, alapja pedig az alapba írt kör átmérője.
Ha a piramis háromszög vagy ötszögletű, akkor elegendő ennek a szakasznak csak egy részét figyelembe venni - egy derékszögű háromszöget, amelynek lábai a gúla magassága és a piramis alapjába írt kör sugara, valamint a hipotenusz az apotéma.
Mindenesetre végül megnézzük a megfelelő derékszögű háromszöget és más kapcsolódó háromszögeket.
Tehát egy SOF derékszögű háromszögben az SO=H láb a gúla magassága, az OF=r szár a piramis alapjába írt kör sugara, az SF=l hipotenusz a piramis apotémje . O1 a golyó középpontja, és ennek megfelelően a metszetben kapott háromszögbe írt kör (ennek egy részét tekintjük). Az SFO szög az alapsík és az SBC oldalsík közötti lineáris diéderszög. A K és O pontok érintőpontok, ezért O1K merőleges az SF-re. OO1=O1K=R - a labda sugara.
Az OO1F és KO1F derékszögű háromszögek egyenlőek (a lábak és az alsó rész mentén). Ezért KF=OF=r.
Az SKO1 és SOF derékszögű háromszögek hasonlóak (S hegyesszög), ami azt jelenti
Az SOF háromszögben alkalmazzuk a háromszög felező tulajdonságot:
Az OO1F derékszögű háromszögből
A szabályos piramisba írt labdával kapcsolatos feladatok megoldásakor még egy érvelés hasznos lesz.
Most nézzük meg a piramis térfogatának és felületének arányát.
