كرة منقوشة في منظور الخصائص. مجموعات من الكرة مع متعددات الوجوه. مجال منقوش في المنشور. مزيج من الكرة مع الأجسام المستديرة

لقد أظهرت التجربة في المرحلة الثانوية عدم تنوع المسائل الهندسية، وكان حل هذه المشكلة هو كتاب المسائل الهندسية (حوالي 4000 مسألة) الذي يتكون من 24 فصلاً. والغرض من هذا المقال هو أحد فصول الكتاب: "المدرجة والموصوفة كرة" .

لتأليف مهام متعددة الاختيار عند دراسة الموضوع "المدرجة والموصوفة كرة" المشاكل التي تم حلها بشكل عام:

1. الكرة منقوشة في هرم منتظم - يجري النظر فيها كرة R , ص - نصف قطر الدائرة المرسومة عند قاعدة الهرم، ص ثانية - نصف قطر دائرة التلامس بين السطح الجانبي للهرم والكرة، ح - ارتفاع الهرم، ح 1 - أبوثيم، مع– طول الحافة الجانبية أ – الزاوية بين الحافة الجانبية ومستوى قاعدة الهرم – مع الأخذ في الاعتبار عند معرفة كميتين يتم العثور على الباقي – تم النظر في إجمالي 15 خيارًا:

(ص، ص ث)، (ص، ح 1)، (ص، ح)، (ص، أ)، (ص، ص ثانية)، (ر ث، ح 1)، (ر ث، ح)، (ر) ث، أ)، (ح 1، ح)، (ح 1، أ)، (ح 1، ص ثانية)، (ح، أ)، (ح، ص ثانية)، (أ، ص ثانية).

2. الكرة محفورة في شكل هرم تكون جوانبه الجانبية مائلة بشكل متساوٍ على مستوى قاعدة الهرم - يتم أخذ الخيارات في الاعتبار عندما تكون القاعدة عبارة عن مثلث، معين، شبه منحرف - في هذه الحالات يتم توفير جدول بيانات محددة.

3. يتم وصف الكرة بالقرب من الهرم العادي - قيد النظر، مجالات R - نصف قطر الكرة، Rdesc.environment - نصف قطر الدائرة المحيطة بالقاعدة، ح 1 - قياس الوجه الجانبي للهرم المنتظم، ح - ارتفاع الهرم؛ مع - طول الضلع الجانبي؛ أ هي الزاوية بين الحافة الجانبية ومستوى قاعدة الهرم، ب هي الزاوية بين الحافة الجانبية ومستوى القاعدة.

4. يتم وصف الكرة حول الهرم الذي تكون حوافه الجانبية متساوية أو مائلة بشكل متساوٍ لمستوى القاعدة - ويرد جدول البيانات على كرة R , ر - نصف قطر الدائرة الموصوفة حول قاعدة الهرم، ح - ارتفاع الهرم، ح 1 – الارتفاع أ – الزاوية بين الحافة الجانبية ومستوى قاعدة الهرم.

5. الكرة منقوشة في المخروط - تعتبر كرة R , ر يخدع - نصف قطر قاعدة المخروط، ص ثانية - نصف قطر دائرة التلامس بين السطح الجانبي للهرم والكرة، ح - ارتفاع المخروط، ل - المولد للمخروط أ - الزاوية بين المولد ومستوى قاعدة المخروط - مع الأخذ في الاعتبار عند معرفة كميتين يتم العثور على الباقي - تم النظر في إجمالي 15 خيار - ( R con، R ball)، (R con، a)، (R con، l)، (R con، h)، (R con، r section)، (R ball، a)، (R ball، l)، (R الكرة، ح)، (R الكرة، قسم ص)، (ل، أ)، (ح، أ)، (ص القسم، أ)، (ل، ح)، (ل، قسم ص)، (ح، ص ثانية).

6. المخروط منقوش في المجال - يجري النظر فيها كرة R , ر يخدع - نصف قطر قاعدة المخروط، د - المسافة من مركز الكرة إلى مستوى قاعدة المخروط، ح - ارتفاع المخروط، ل هي المولد للمخروط، a هي الزاوية بين المولد ومستوى قاعدة المخروط - مع الأخذ في الاعتبار عند معرفة كميتين يتم العثور على الباقي - في مجموع الأزواج ( مخروط R، كرة R)، (مخروط R، أ)، (مخروط R، ل)، (مخروط R، ح)، (مخروط R، د، موضع مركز الكرة بالنسبة للمخروط)، (كرة R ، أ)، (ص الكرة، ل)، (ص الكرة، ح)، (ص الكرة، د)، (ل، أ)، (ح، أ)، (د، أ)، (ل، ح)، ( ل، د)، ( ح، د).

7. كرة منقوشة في مخروط مقطوع - تعتبر كرة R , ر، ص - أنصاف أقطار القواعد السفلية والأكبر للمخروط المقطوع، ل - المولد للمخروط، أ - الزاوية بين المولد ومستوى قاعدة المخروط، ص ثانية - نصف قطر دائرة التلامس بين السطح الجانبي للمخروط والكرة؛ مع الأخذ بعين الاعتبار أنه عند معرفة كميتين يتم العثور على الباقي - في مجموع الأزواج المعتبرة - (ص، ص)، (ص الكرة، ص)، (ص، ل)، (ص القسم، ص)، (ص، أ)، (ص الكرة، ل)، (ص الكرة، ل)، (ص الكرة، ص ثانية)، (ص الكرة، أ)، (ل، ص ثانية)، (ل، أ)، (ص ثانية، أ) ; تم تجميع جدول للبيانات الرقمية المحددة، والذي يتضمن نصف قطر الكرة، ونصف قطر القواعد، والمولد، وجيب الزاوية بين المولد ومستوى القاعدة، وسطح وحجم الكرة و المخروطي.

8. تم وصف الكرة حول مخروط مقطوع - يعتبر مجالات R , ر، ص - أنصاف أقطار القواعد السفلية والأكبر للمخروط المقطوع، ل هي المولد للمخروط، وهي الزاوية بين المولد ومستوى قاعدة المخروط، وفي بعض المهام، يتم إدخال موضع مركز الكرة بالنسبة للمخروط؛ مع الأخذ في الاعتبار عند معرفة ثلاث كميات، يتم العثور على الباقي - في مجموع الثلاثيات المعتبرة - (r،R،h)، (R، r، a)، (r، R، l)، (r، R، R الكرة، موضع مركز الكرة)، (h، R، R، الكرة، الموضع من مركز الكرة) , (l، R، R الكرة، موضع مركز الكرة)، (a، R، R ball, موضع مركز الكرة), (ح، ص، ل)، (أ، ص، ح)، (أ، ص، ل)، (ل، ح، ص الكرة)، (أ، ح، ص الكرة)، (أ، ل، ر سادس ).

وبناء على الجداول التي تم الحصول عليها تم تجميع فصل من فصول كتاب مسائل الهندسة وهو ما يسمى: الفصل 24. الكرة والأجسام الأخرى. يتكون الفصل من فقرات، والتي بدورها تحتوي على فقرات فرعية.

24.1. الكرة مكتوبة في الاسطوانة

24.1.02. الكرة مكتوبة في الاسطوانة. أوجد النسبة بين حجمي الأسطوانة والكرة.

24.1.03. الكرة مكتوبة في الاسطوانة. أوجد النسبة بين إجمالي سطح الأسطوانة وسطح الكرة.

24.2. الكرة محاطة بأسطوانة

24.2.01. في كرة ذات حجم الكرة Vتم نقش أسطوانة يمكن رؤية مولدها من مركز الكرة بزاوية أ. أوجد حجم الاسطوانة.

24.2.03. حول اسطوانة ذات حجم الخامستم وصف الكرة. أوجد مدى اعتماد نصف قطر الكرة على ارتفاع الأسطوانة وارتفاع الأسطوانة حيث تكون مساحة سطح الكرة أصغر.

24.3. المجال والاسطوانة

24.3.01. اسطوانة معدنية بقطر القاعدة د اسطوانةوالارتفاع ح اسطوانةذابت في الكرة. احسب نصف قطر هذه الكرة.

24.3.03. في وعاء أسطواني نصف قطر قاعدته R سيل، يتم وضع كرة ذات نصف قطر كرة R. يُسكب الماء في الوعاء بحيث يلامس سطحه الحر سطح الكرة (لا تطفو الكرة للأعلى). تحديد سمك طبقة الماء التي سيتم الحصول عليها إذا تم إخراج الكرة من الوعاء.

24.4. الكرة منقوشة في المخروط

24.4.01. الكرة محفورة في مخروط، القسم المحوري منه عبارة عن مثلث متساوي الأضلاع. أوجد نصف قطر الكرة إذا كان نصف قطر قاعدة المخروط ر يخدع

24.4.05. كرة محفورة في مخروط مقطعه المحوري مثلث متساوي الأضلاع حجمه يساوي الكرة V. أوجد ارتفاع المخروط إذا:

24.4.07. الكرة محفورة في مخروط، القسم المحوري منه عبارة عن مثلث متساوي الأضلاع. أوجد حجم المخروط إذا كان حجم الكرة كذلك الخامس ث.

24.4.09 في مخروط دائري مستقيم نصف قطر قاعدته ر يخدعتم نقش كرة نصف قطرها كرة R. احسب حجم المخروط .

24.4.14. في مخروط مع حجم الخامسالكرة مكتوبة. أوجد نصف قطر دائرة مماس السطح الكروي والمخروطي إذا كان نصف قطر قاعدة المخروط يساوي ر يخدع.

24.4.16. الكرة منقوشة في المخروط. ترتبط مساحة سطح الكرة بمساحة قاعدة المخروط م: ن. أوجد الزاوية عند قمة المخروط.

24.4.24. منطقة القاعدة المخروطية قاعدة S. مساحة السطح الجانبية المخروطية الجانب S. أوجد نصف قطر الكرة الموضحة في المخروط.

24.4.25. مساحة قاعدة المخروط تساوي قاعدة S، ومساحة سطحه الإجمالية تساوي س كامل. أوجد نصف قطر الكرة المحفورة في المخروط.

24.4.28. الكرة منقوشة في المخروط. أوجد نصف قطر دائرة مماس السطح الكروي والمخروطي إذا كان نصف قطر قاعدة المخروط يساوي ر يخدعتشكيل - ل.

24.4.34. حول كرة نصف قطرها كرة Rيصف المخروط الذي ارتفاعه ح. أوجد نصف قطر قاعدة المخروط ونصف قطر دائرة مماس السطح الكروي والمخروطي.

24.4.38. الكرة منقوشة في المخروط. نصف قطر الدائرة التي يتساوى على طولها تلامس المخروط والكرة ص ثانية. أوجد حجم المخروط إذا كان نصف قطر الكرة يساوي كرة R.

24.4.43. مولد المخروط الأيمن يساوي ل يخدع، نصف قطر دائرة التماس بين الأسطح المخروطية والكروية يساوي ص ثانية. أوجد مساحة السطح الجانبية للمخروط.

24.5. الكرة محاطة بالمخروط

24.5.02. يتم وصف الكرة حول المخروط. أوجد نصف قطر الكرة إذا كان نصف قطر قاعدة المخروط معروفًا - ر يخدعوالزاوية a بين المولد ومستوى قاعدة المخروط.

24.5.03. تحديد نصف قطر الكرة المحصورة حول مخروط نصف قطر قاعدته يساوي ر يخدع، والمولد يساوي ل:

24.5.04. تحديد سطح الكرة المحصورة حول مخروط نصف قطر قاعدته يساوي ر يخدع، والارتفاع هو ح:

24.5.06. مخروط منقوش في كرة حجمها رمرات أقل من حجم الكرة. ارتفاع المخروط هو ح. أوجد حجم الكرة.

24.5.07. مخروط منقوش في المجال. أوجد ارتفاع المخروط ومصفوفته إذا كان نصف قطر قاعدة المخروط معروفًا ر يخدعوالمسافة دمن مركز الكرة إلى مستوى قاعدة المخروط.

24.5.12. نصف القطر المجال ر سادسوصفها حول المخروط. أوجد مساحة السطح الجانبية للمخروط إذا كان ارتفاعه ح:

24.5.16. الكرة محاطة بالمخروط. أوجد نصف قطر الكرة إذا كانت الزاوية بين مولد المخروط ومستوى قاعدته تساوي a والمسافة من مركز الكرة إلى مستوى القاعدة تساوي د:

24.5.17. الكرة محاطة بمخروط ارتفاعه يساوي حتشكيل - ل. أوجد المسافة من مركز الكرة إلى مستوى القاعدة.

24.5.18. الكرة محاطة بالمخروط. أوجد نصف قطر الكرة وقاعدة المخروط إذا كان المولد للمخروط يساوي لوالمسافة من مركز الكرة إلى المستوى الأساسي دوموضع مركز الكرة بالنسبة للمخروط معروف.

24.5.19. الكرة محاطة بالمخروط. أوجد نصف قطر قاعدة المخروط إذا كان ارتفاع المخروط حوالمسافة من مركز الكرة إلى مستوى القاعدة هي د.

24.6. الكرة والمخروط

24.6.03. يتكون الجسم من مخروطين لهما قاعدة مشتركة ويقعان على جانبي المستوى الأساسي. أوجد نصف قطر الكرة المحصورة في جسم إذا كانت أنصاف أقطار قاعدتي المخاريط متساوية ر يخدع، والمرتفعات ح 1و ح 2.

24.6.04. ارتفاع المخروط حوالزاوية بين المولد والارتفاع، التي تساوي a، يتم تقطيعها إلى قسمين بواسطة سطح كروي متمركز في قمة المخروط. ما هو نصف قطر هذه الكرة حتى ينقسم المخروط بواسطة هذه الكرة إلى جزأين متساويين؟

24.7. تم نقش الكرة في مخروط مقطوع

24.7.02. الكرة منقوشة في مخروط مقطوع نصف قطر قاعدته رو ص. أوجد نسبة مساحة الكرة إلى مساحة السطح الجانبي للمخروط المقطوع.

24.7.03. يتم رسم مخروط مقطوع حول الكرة. أوجد نصف قطر المقطع العرضي للسطح الكروي والسطح الجانبي للمخروط إذا كان نصف قطر القاعدة الأكبر للمخروط روالمولد متساوي ل/

24.7.05. يتم رسم مخروط مقطوع حول الكرة. نصف قطر القاعدة الأكبر للمخروط رونصف قطر المقطع العرضي للسطح الكروي والسطح الجانبي للمخروط يساوي ص ثانية. أوجد نصف قطر الكرة ونصف قطر القاعدة العلوية للمخروط المقطوع.

24.7.10. كرة سطحها يساوي س، منقوشة في مخروط مقطوع. الزاوية بين مولد المخروط وقاعدته الكبيرة تساوي أ. احسب السطح الجانبي لهذا المخروط.

24.7.11. يتم رسم مخروط مقطوع حول الكرة. مولد المخروط يساوي لونصف قطر المقطع العرضي للسطح الكروي والسطح الجانبي للمخروط يساوي ص ثانية. أوجد نصف قطر الكرة ونصف قطر قاعدتي المخروط المقطوع.

24.8. يتم تحديد الكرة حول مخروط مقطوع

24.8.01. الكرة محاطة بمخروط مقطوع. أوجد حجم الكرة والأجزاء الكروية المقابلة لها والمحدودة بقاعدتي المخروط إذا كان نصف قطر قاعدة المخروط رو صارتفاع المخروط - ح.

24.8.04. يتم تحديد الكرة حول مخروط مقطوع. أوجد حجم المخروط المقطوع إذا كان نصف قطر قاعدة المخروط رو ص، نصف قطر المجال – ر راجع(النظر في حالتين).

24.8.06. ومن المعلوم أن مركز الكرة المحاطة بمخروط مقطوع يقع خارج المخروط. أوجد حجم المخروط المقطوع إذا كان نصف قطر القاعدة الأكبر للمخروط رتشكيل مخروط ل، نصف قطر المجال – ر راجع.

24.8.07. يتم وصف الكرة حول مخروط مقطوع. حدد موضع مركز الكرة إذا كان نصف قطر القاعدة الأكبر للمخروط رتشكيل مخروط لارتفاع المخروط – ح.

24.8.08. أوجد نصف قطر الكرة المحصورة حول المخروط المقطوع إذا كان نصف قطر القاعدة الأكبر للمخروط رتشكيل مخروط ل، الزاوية بين المولد ومستوى القاعدة تساوي أ.

24.8.09. أوجد أنصاف أقطار قواعد المخروط المقطوع إذا كانت المصفوفة المولدة للمخروط ل، ارتفاع ح، ونصف قطر الكرة الموصوفة حول هذا المخروط يساوي ر سادس.

24.8.10. أوجد حجم المخروط المقطوع المدرج في الكرة إذا كان المولد للمخروط ل، الزاوية بين المولد ومستوى القاعدة تساوي أ، نصف قطر الكرة الموصوفة حول هذا المخروط يساوي ر سادس.

24.9. الكرة مكتوبة في الهرم

في المهام 24.9.01 – 24.9.19 . وسوف يعرف اثنان منهم الكرة آر, أ, مع, ح, ح 1، أ ، ب ، ص ثانيةوتحتاج إلى العثور على الباقي (باستثناء الزوايا).

24.9.01. معروف صو كرة R.

24.9.02. معروف صو ح 1.

24.9.03. معروف صو ح.

24.9.20. أوجد السطح الكلي للكرة المحفورة في هرم ثلاثي، جميع أحرفه متساوية أ.

24.9.22. نصف قطر الكرة رمنقوشة في هرم مثلثي منتظم. أوجد حجم الهرم إذا كان معروفًا أن الارتفاع يمكن رؤيته من مركز الكرة بزاوية أ.

24.10. تم وصف الكرة بالقرب من الهرم

في المهام 24.10.01 – 24.10.16 . وسوف يعرف اثنان منهم مجالات R, أ (وصف البيئة), مع, ح, ح 1, a , b ومن الضروري العثور على الباقي (باستثناء الزوايا).

24.10.01. معروف Rdesc.environmentو مجالات R.

24.10.09. معروف مجالات Rو ح.

24.10.14. معروف ح 1وب.

10.24.17. بالقرب من هرم مثلث منتظم ذو حافة جانبية معتم وصف المجال. أوجد نصف قطر الكرة إذا كان ضلع القاعدة كذلك أ. اكتشف موضع مركز الكرة بالنسبة للهرم.

10/24/18. يتم وصف الكرة حول هرم ثلاثي منتظم. أوجد نصف قطر الكرة إذا كان القياس يساوي ح 1وارتفاع الهرم هو ح.

24/10/19. بالقرب من هرم مثلث منتظم ذو حافة جانبية معتم وصف الكرة. أوجد مساحة سطح الكرة وحجم الهرم إذا كانت الحافة الجانبية للهرم تشكل زاوية ب مع مستوى قاعدة الهرم.

24/10/20. أوجد نصف قطر الكرة المحصورة حول هرم ثلاثي منتظم إذا كان حجمها يساوي وليمة V، والارتفاع ح.

10.24.21. في مجال نصف قطره يساوي مجال R، تم نقش هرم مثلثي منتظم. ارتفاع الهرم هو رأكبر من الجانب الأساسي. أوجد جانب القاعدة وحجم الهرم.

22.10.45. نصف قطر الكرة المحصورة حول هرم رباعي الزوايا منتظم يساوي مجالات R ص الكرة. أوجد الارتفاع وأضلاع القاعدة والحافة الجانبية والارتفاع لهذا الهرم.

24.10.46. نصف قطر الكرة المحصورة حول هرم رباعي الزوايا منتظم يساوي مجالات R، نصف قطر الكرة المنقوشة يساوي ص من الكرة. أوجد ارتفاع الهرم وحوافه وحجمه، والزاوية بين الارتفاع ومستوى القاعدة، إذا كان مركز الكرة والكرة متطابقين.

الأضلاع الجانبية متساوية أو مائلة بشكل متساوٍ لمستوى القاعدة

24.10.48. عند قاعدة الهرم الثلاثي يوجد مثلث قائم الزاوية ذو أرجل أو الخامس، وجميع الأضلاع الجانبية مائلة إلى المستوى الأساسي بزوايا متساوية. نصف قطر الكرة المحصورة حول هرم معين يساوي مجالات R. أوجد ارتفاع الهرم.

24/10/49. وفي قاعدة الهرم يوجد مثلث متساوي الأضلاع له ضلع أ. أحد الأوجه الجانبية هو نفس المثلث، وهو متعامد على مستوى القاعدة. أوجد نصف قطر الكرة المحيطة بالهرم.

الحافة الجانبية متعامدة مع مستوى القاعدة

10.24.53. قاعدة هرم MABC عبارة عن مثلث . أوجد ارتفاع الهرم إذا كان نصف قطر الكرة المحيطة بالهرم يساوي مجالات Rوحافة جانبية واحدة متعامدة مع مستوى القاعدة.

10.24.54. في قاعدة الهرم يوجد مثلث متساوي الساقين قائم الزاوية ذو ساق أ. أحد الوجوه الجانبية هو نفس المثلث، علاوة على ذلك، فهو عمودي على مستوى القاعدة. الوجهان الآخران هما أيضًا مثلثات قائمة الزاوية. أوجد نصف قطر الكرة المحيطة بالهرم.

10.24.56. إلى مجال نصف القطر مجال Rتم نقش هرم مقطوع سداسي منتظم، يمر فيه مستوى القاعدة السفلية بمركز الكرة، وتشكل الحافة الجانبية زاوية مقدارها 60 درجة مع مستوى القاعدة. تحديد حجم الهرم

24/10/58. قاعدة الهرم MABCD هي شبه منحرف . أوجد حجم الهرم إذا كان نصف قطر الكرة المحيطة بالهرم يساوي مجالات Rوحافة جانبية واحدة متعامدة مع مستوى القاعدة.

24.11. الكرة والهرم (حالات أخرى)

24.11.01. تلامس الكرة وجهين وحافة واحدة من شكل رباعي منتظم ذو حافة الخامس. أوجد نصف قطر الكرة.

24.11.02. يوصف حول الكرة هرم رباعي الزوايا منتظم، ترتبط فيه جوانب القواعد ر:ص . تحديد النسبة بين حجمي الهرم والكرة.

أو المجال. يسمى أي قطعة تصل مركز الكرة بنقطة على السطح الكروي نصف القطر. يسمى الجزء الذي يربط بين نقطتين على سطح كروي ويمر بمركز الكرة قطر الدائرة. تسمى نهايات أي قطر نقاطًا متقابلة تمامًا للكرة.كل أنواع الأشياء قسم الكرةهناك طائرة دائرة. مركز هذه الدائرة هو قاعدة العمود المرسوم من المركز على مستوى القطع.تسمى الطائرة التي تمر عبر مركز الكرة الطائرة المركزية. يُسمى الجزء الذي يقع على مستوى قطر الكرة دائرة كبيرة، وقسم الكرة هو دائرة كبيرة. أي مستوى قطري للكرة هو مستوى التماثل. مركز الكرة لها مركز التماثل. يسمى المستوى الذي يمر بنقطة على سطح كروي وعمودي على نصف القطر المرسوم على هذه النقطة طائرة تماسية. هذه النقطة تسمى نقطة الاتصال. المستوى المماس له نقطة مشتركة واحدة فقط مع الكرة - نقطة الاتصال.يسمى الخط المستقيم الذي يمر بنقطة معينة من سطح كروي عمودي على نصف القطر المرسوم على هذه النقطة الظل. يمر عدد لا نهائي من المماسات عبر أي نقطة على السطح الكروي، وتقع جميعها في مستوى مماس الكرة.شريحة الكرةيسمى الجزء الذي تقطعه الطائرة منها من الكرة.طبقة الكرةيسمى الجزء من الكرة الواقع بين مستويين متوازيين يتقاطعان مع الكرة.قطاع الكرةتم الحصول عليها من قطعة كروية ومخروط.إذا كان الجزء الكروي أصغر من نصف الكرة الأرضية، فإن الجزء الكروي يُستكمل بمخروط، رأسه في وسط الكرة، والقاعدة هي قاعدة القطعة.إذا كان الجزء أكبر من نصف الكرة الأرضية، فسيتم إزالة المخروط المحدد منه. الصيغ الأساسية الكرة (R = OB - نصف القطر):S ب = 4πR 2; V = 4πR 3 / 3.قطعة الكرة (R = OB - نصف قطر الكرة، h = SC - ارتفاع القطعة، r = KV - نصف قطر قاعدة القطعة):مقطع V = πh 2 (R - h / 3)أو مقطع V = πh(ح 2 + 3ص 2) / 6; مقطع S = 2πRh.قطاع الكرة (R = OB - نصف قطر الكرة، h = SK - ارتفاع القطعة):V = الجزء V ± V يخدع، "+"- إذا كان الجزء أصغر، "-" - إذا كان الجزء أكبر من نصف الكرة الأرضية.أو V = V segm + V con = πh 2 (R - h / 3) + πr 2 (R - h) / 3. الطبقة الكروية (R 1 و R 2 - نصف قطر قواعد الطبقة الكروية؛ h = SC - ارتفاع الطبقة الكروية أو المسافة بين القواعد):V sh/sl = πh 3 / 6 + πh(R 1 2 + R 2 2 ) / 2; S ث / sl = 2πRh.مثال 1.حجم الكرة هو 288π سم3. أوجد قطر الكرة.حلالخامس = ط 3 / 6288ط = ط 3 / 6πd 3 = 1728πد3 = 1728د = 12 سم.الجواب: 12.مثال 2.ثلاث مجالات متساوية نصف قطرها r تلمس بعضها البعض وبعض المستوى. حدد نصف قطر الكرة الرابعة المماس للبيانات الثلاثة والمستوى المحدد.حل دع O 1، O 2، O 3 يكون مراكز هذه المجالات و O يكون مركز المجال الرابع الذي يلامس البيانات الثلاثة والمستوى المحدد. لتكن A، B، C، T هي نقاط اتصال الكرات بمستوى معين. وبالتالي فإن نقاط الاتصال بين المجالين تقع على خط مراكز هذه المجالات O 1 O 2 = O 2 O 3 = O 3 O 1 = 2r. وبالتالي فإن النقاط متساوية البعد عن المستوى ABC أفو 2 أو 1، أفو 2 أو 3، أفو 3 أو 1- مستطيلات متساوية، وبالتالي فإن ∆ABC متساوي الأضلاع مع الضلع 2r.يترك x هو نصف القطر المطلوب للكرة الرابعة. ثم أوت = س. لذلك، بالمثل وهذا يعني أن T هو مركز مثلث متساوي الأضلاع. ولذلك من هناالجواب: ص/3. المجال المدرج في الهرميمكن كتابة كرة في كل هرم منتظم. ويقع مركز الكرة عند ارتفاع الهرم عند نقطة تقاطعه مع منصف الزاوية الخطية عند حافة قاعدة الهرم.تعليق. إذا كان من الممكن إدراج كرة في هرم، وهو ليس بالضرورة منتظمًا، فيمكن حساب نصف القطر r لهذه الكرة باستخدام الصيغة r = 3V / S pp، حيث V هو حجم الهرم، وS pp هي المساحة من سطحه الإجمالي.مثال 3.قمع مخروطي الشكل نصف قطر قاعدته R وارتفاعه H مملوء بالماء. يتم إنزال كرة ثقيلة في القمع. ما هو نصف قطر الكرة بحيث يصل حجم الماء المزاح من القمع بواسطة الجزء المغمور من الكرة إلى الحد الأقصى؟حللنرسم مقطعًا عبر مركز المخروط. يشكل هذا القسم مثلثًا متساوي الساقين. إذا كانت هناك كرة في القمع، فإن الحد الأقصى لحجم نصف قطرها سيكون مساويا لنصف قطر الدائرة المدرج في المثلث متساوي الساقين الناتج.نصف قطر الدائرة المرسومة في المثلث يساوي:r = S / p، حيث S هي مساحة المثلث، p هو نصف محيطه.مساحة المثلث متساوي الساقين تساوي نصف الارتفاع (H = SO) ضرب القاعدة. ولكن بما أن القاعدة هي ضعف نصف قطر المخروط، فإن S = RH.نصف المحيط هو p = 1/2 (2R + 2m) = R + m.m هو طول كل ضلع من الأضلاع المتساوية في مثلث متساوي الساقين؛R هو نصف قطر الدائرة التي تشكل قاعدة المخروط.لنجد m باستخدام نظرية فيثاغورس: ، أينباختصار يبدو مثل هذا: إجابة: مثال 4.في الهرم الثلاثي المنتظم الذي تكون قاعدته زاوية ثنائية السطوح تساوي α، توجد كرتان. تلامس الكرة الأولى جميع أوجه الهرم، وتلامس الكرة الثانية جميع أوجه الهرم الجانبية والكرة الأولى. أوجد نسبة نصف قطر الكرة الأولى إلى نصف قطر الكرة الثانية إذا كانت tgα = 24/7.حل
يترك RABC هو هرم منتظم والنقطة H هي مركز قاعدته ABC. دع M تكون نقطة منتصف الحافة BC. ثم هي الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح، والتي حسب الشرط تساوي α و α< 90° . Центр первого шара, касающегося всех граней пирамиды, лежит на отрезке РН в точке его пересечения с биссектрисой . يترك НН 1 - قطر الكرة الأولى والمستوى الذي يمر عبر النقطة Н 1 المتعامدة مع الخط المستقيم РН، يتقاطع مع الحواف الجانبية RA، РВ، РС على التوالي عند النقاط А 1، B 1، С 1. ثم H 1 سيكون مركز الصحيح ∆A 1 B 1 C 1، وسيكون الهرم RA 1 B 1 C 1 مشابهًا للهرم RABC مع معامل تشابه k = PH 1 / PH. لاحظ أن الكرة الثانية التي مركزها النقطة O 1 مدرجة في الهرم RA 1 B 1 C 1 وبالتالي فإن نسبة نصف أقطار الكرات المنقوشة تساوي معامل التشابه: OH / OH 1 = RN / RN 1. من المساواة tgα = 24/7 نجد:يترك أ ب = س. ثمومن هنا النسبة المطلوبة OH / O 1 H 1 = 16/9.الجواب: 16/9. المجال المدرج في المنشورقطر الدائرة D للكرة المدرج في المنشور يساوي ارتفاع H للمنشور: D = 2R = H.نصف القطر R للكرة المدرج في المنشور يساوي نصف قطر الدائرة المدرج في مقطع عمودي من المنشور.إذا تم رسم كرة في منشور مستقيم، فيمكن كتابة دائرة في قاعدة هذا المنشور.نصف القطر R للكرة المدرج في المنشور القائم يساوي نصف قطر الدائرة المدرج في قاعدة المنشور.النظرية 1لنرسم دائرة عند قاعدة منشور مستقيم، ويكون ارتفاع المنشور H مساويًا لقطر D لهذه الدائرة. ثم يمكن كتابة كرة بقطر D في هذا المنشور. يتطابق مركز هذه الكرة المنقوشة مع منتصف القطعة التي تربط بين مراكز الدوائر المنقوشة عند قواعد المنشور.دليل ليكن ABC...A 1 B 1 C 1... منشورًا مستقيمًا وO يكون مركز دائرة منقوشة في قاعدتها ABC. إذن النقطة O تكون على مسافة متساوية من جميع جوانب القاعدة ABC. دع O 1 هو الإسقاط المتعامد للنقطة O على القاعدة A 1 B 1 C 1. ثم O 1 متساوي البعد من جميع جوانب القاعدة A 1 B 1 C 1 و OO 1 || أأ 1. ويترتب على ذلك أن الخط المستقيم OO 1 يوازي كل مستوى من الوجه الجانبي للمنشور، وطول القطعة OO 1 يساوي ارتفاع المنشور، وقطر الدائرة المنقوشة عند القاعدة. من المنشور. وهذا يعني أن نقاط القطعة OO 1 متساوية البعد عن الوجوه الجانبية للمنشور، والوسط F للقطعة OO 1، المتساوية البعد عن مستويات قواعد المنشور، ستكون متساوية البعد عن جميع وجوه المنشور . أي أن F هو مركز الكرة المنقوشة في المنشور، وقطر هذه الكرة يساوي قطر الدائرة المنقوشة في قاعدة المنشور. لقد تم إثبات النظرية.النظرية 2لنرسم دائرة في القسم العمودي للمنشور المائل، ويكون ارتفاع المنشور مساويًا لقطر هذه الدائرة. ومن ثم يمكن نقش كرة في هذا المنشور المائل. يقسم مركز هذه الكرة الارتفاع المار بمركز الدائرة المرسومة في مقطع متعامد إلى النصف.دليل
دع ABC...A 1 B 1 C 1... يكون منشورًا مائلًا وF مركز دائرة نصف قطرها FK منقوش في قسمها المتعامد. بما أن القسم العمودي للمنشور متعامد على كل مستوى من سطح وجهه الجانبي، فإن نصف قطر الدائرة المدرجة في القسم العمودي المرسوم على جوانب هذا القسم يكون متعامدًا على الوجوه الجانبية للمنشور. ولذلك، فإن النقطة F تكون على مسافة متساوية من جميع الوجوه الجانبية.لنرسم عبر النقطة F خطًا مستقيمًا OO 1، متعامدًا مع مستوى قواعد المنشور، يتقاطع مع هذه القواعد عند النقطتين O وO 1. ثم OO 1 هو ارتفاع المنشور. نظرًا لأنه حسب الشرط OO 1 = 2FK، فإن F هو منتصف المقطع OO 1:FK = OO 1 / 2 = FO = FO 1، أي. النقطة F متساوية البعد عن مستويات جميع وجوه المنشور دون استثناء. هذا يعني أنه يمكن إدراج كرة في منشور معين، يتطابق مركزه مع النقطة F - مركز الدائرة المدرج في ذلك القسم العمودي من المنشور الذي يقسم ارتفاع المنشور الذي يمر عبر النقطة F إلى النصف. لقد تم إثبات النظرية.مثال 5.كرة نصف قطرها 1 محصورة في متوازي سطوح مستطيل، أوجد حجم متوازي السطوح.حل ارسم المنظر العلوي. أو من الجانب. أو من الأمام. سترى نفس الشيء - دائرة مدرجة في مستطيل. من الواضح أن هذا المستطيل سيكون مربعًا، ومتوازي السطوح سيكون مكعبًا. طول هذا المكعب وعرضه وارتفاعه يساوي ضعف نصف قطر الكرة.AB = 2، وبالتالي فإن حجم المكعب هو 8.الجواب: 8.مثال 6.في منشور مثلث منتظم ضلع قاعدته يساوي , توجد كرتان. الكرة الأولى محفورة في المنشور، والكرة الثانية تمس إحدى قواعد المنشور ووجهيه الجانبيين والكرة الأولى. أوجد نصف قطر الكرة الثانية.حل
ليكن ABCA 1 B 1 C 1 منشورًا منتظمًا والنقطتان P وP 1 هما مركزا قاعدتيه. ثم مركز الكرة O المدرج في هذا المنشور هو منتصف القطعة PP 1. دعونا نفكر في الطائرة RVV 1. وبما أن المنشور منتظم، فإن PB يقع على القطعة BN، وهي المنصف وارتفاعه ΔABC. وبالتالي، فإن المستوى هو المستوى المنصف للزاوية ثنائية السطوح عند الحافة الجانبية BB 1. ولذلك، فإن أي نقطة من هذا المستوى تكون على مسافة متساوية من الوجهين الجانبيين AA 1 BB 1 وCC 1 B 1 B. على وجه الخصوص، فإن العمود OK، الذي تم تخفيضه من النقطة O إلى الوجه ACC 1 A 1، يقع في المستوى RVV 1 ويساوي القطعة OR.لاحظ أن KNPO عبارة عن مربع، ضلعه يساوي نصف قطر الكرة المنقوشة في منشور معين.يترك O 1 هو مركز الكرة الذي يلامس الكرة المنقوشة ذات المركز O والجوانب الجانبية AA 1 BB 1 وCC 1 B 1 B للمنشور. ثم تقع النقطة O 1 على المستوى RVV 1، وإسقاطها P 2 على المستوى ABC يقع على الجزء RV.وفقا للشرط، فإن جانب القاعدة يساوي

تسمى الكرة منقوشة في متعدد السطوح، ويسمى متعدد السطوح محصورًا حول الكرة إذا كان سطح الكرة يمس جميع وجوه متعدد السطوح.

يمكن أن تكون الكرة منقوشة في منشور t و tt ويكون المنشور مستقيما، وارتفاعها يساوي قطر الدائرة المنقوشة في قاعدة المنشور.

النتيجة الطبيعية 1. يقع مركز الكرة المنقوشة في المنشور القائم عند منتصف ارتفاع المنشور المار بمركز الدائرة المنقوشة في القاعدة.

نتيجة طبيعية 2. يمكن رسم الكرة، على وجه الخصوص، في خطوط مستقيمة: مثلثة، منتظمة، رباعية الزوايا (حيث يكون مجموع الأضلاع المتقابلة للقاعدة متساويًا مع بعضها البعض) تحت الشرط H = 2r، حيث H هو ارتفاع المنشور، r هو نصف قطر الدائرة المدرجة في القاعدة.

مجموعات من الكرة مع متعددات الوجوه. كرة محاطة بمنشور.

يقال إن الكرة محصورة حول متعدد السطوح إذا كانت جميع رؤوس متعدد السطوح تقع على الكرة.

يقال إن المنشور محفور في كرة إذا كانت جميع رؤوسه تقع على سطح الكرة.

يمكن وصف الكرة حول منشور إذا وفقط إذا كان المنشور مستقيمًا ويمكن وصف دائرة حول قاعدته.

النتيجة الطبيعية 1. يقع مركز الكرة المحصورة حول منشور مستقيم عند منتصف ارتفاع المنشور المرسوم عبر مركز دائرة محيطة بالقاعدة.

النتيجة الطبيعية 2. يمكن وصف الكرة، على وجه الخصوص،: بالقرب من المنشور الثلاثي الأيمن، بالقرب من المنشور العادي، بالقرب من متوازي المستطيلات، بالقرب من المنشور رباعي الزوايا الأيمن، حيث يكون مجموع الزوايا المتقابلة للقاعدة يساوي 180 درجات.

مجموعات من الاسطوانة والمخروط والمخروط المقطوع مع متعددات الوجوه.

الاسطوانة والمنشور

الاسطوانة المنقوشة والمحاطة: يسمى المنشور المنقوش في الاسطوانة إذا كانت قاعدته عبارة عن مضلعات متساوية منقوشة في قاعدة الاسطوانة، وكانت حوافه الجانبية من تولدات الاسطوانة.

يسمى المنشور محصورا حول الاسطوانة إذا كانت قاعدته عبارة عن مضلعات محاطة بقاعدة الاسطوانة، وكانت جوانبه تلامس الاسطوانة.

يمكن كتابة المنشور في أسطوانة دائرية قائمة t وmt وهي مستقيمة ويمكن وصف دائرة حول قاعدة المنشور.

يمكن وصف المنشور حول أسطوانة t و tt، وهو مستقيم ويمكن كتابة دائرة في قاعدته.

المخروط والهرم

الهرم المدرج في المخروط هو هرم قاعدته

هو مضلع منقوش في دائرة قاعدة المخروط ورأسه

هو قمة المخروط. الحواف الجانبية لهذا الهرم تكونية

الهرم المُحاط بمخروط هو هرم، القاعدة

وهو مضلع محدد حول قاعدة المخروط، ورأسه

يتزامن مع الجزء العلوي من المخروط. طائرات الوجوه الجانبية لهذا الهرم

هي طائرات الظل للمخروط.

يمكن كتابة الهرم في مخروط دائري قائم t وt نظرًا لوجود دائرة محيطة بقاعدة الهرم وارتفاع الهرم يقع في وسط هذه الدائرة.

يمكن وصف الهرم حول مخروط t وt وهناك دائرة منقوشة في القاعدة ويسقط ارتفاع الهرم في وسط هذه الدائرة.

مركز الكرة المنقوشة هو نقطة تقاطع المستويات المنصّفة التي تم إنشاؤها لجميع الزوايا ثنائية السطوح الموجودة في الهرم. إذا لم يكن لهذه الطائرات المنصفه نقطة مشتركة، فلا يمكن تسجيل الكرة.

حالة خاصة: الوجوه الجانبية للهرم مائلة بالتساوي على مستوى القاعدة. ثم:

يمكنك احتواء الكرة.

يقع مركز الكرة عند ارتفاع الهرم، وبشكل أكثر تحديدًا، فهي نقطة تقاطع الارتفاع مع منصف الزاوية بين الارتفاع وسقوط هذا الارتفاع على مستوى القاعدة.

6.2. المجال والمنشور المستقيم

يمكن كتابة الكرة في منشور مستقيم إذا وفقط إذا:

يمكن كتابة دائرة في قاعدة المنشور،

قطر هذه الدائرة يساوي ارتفاع المنشور.

مركز الكرة هو منتصف القطعة الواصلة بين مراكز الدوائر المدرجة في القواعد.

أين هو نصف قطر الكرة المنقوشة؟ - نصف قطر الدائرة المدرج في القاعدة؛ H هو ارتفاع المنشور.

6.3. الكرة والأسطوانة

يمكن كتابة الكرة في الأسطوانة إذا وفقط إذا كان المقطع العرضي المحوري للأسطوانة مربعًا (تسمى هذه الأسطوانة أحيانًا متساوية الأضلاع). مركز الكرة هو مركز تناظر القسم المحوري للأسطوانة.

6.4. الكرة والمخروط

يمكنك دائمًا وضع الكرة في المخروط. مركز الكرة هو مركز الدائرة المدرجة في القسم المحوري للمخروط.

6.5. المجال والمخروط المقطوع

يمكن نقش الكرة في المخروط المقطوع إذا وفقط

للتعامل بسهولة مع حل المشكلات التي تتضمن كرة منقوشة في الهرم، من المفيد مراجعة القليل من المواد النظرية.

كرة منقوشة في الهرم (أو كرة منقوشة في الهرم) - وهذا يعني أن الكرة (الكرة) تلامس كل وجه من وجوه الهرم. المستويات التي تحتوي على وجوه الهرم هي المستويات المماسية للكرة. تكون الأجزاء التي تربط مركز الكرة بنقاط الاتصال متعامدة مع مستويات الظل. أطوالها تساوي نصف قطر الكرة. مركز الكرة المنقوشة في الهرم هو نقطة تقاطع المستويات المنصفية للزوايا ثنائية السطوح عند القاعدة (أي المستويات التي تقسم هذه الزوايا إلى النصف).

في أغلب الأحيان، تتضمن المشكلات كرة منقوشة في هرم منتظم. يمكن أن تتناسب الكرة مع أي هرم عادي. يقع مركز الكرة في هذه الحالة على ارتفاع الهرم. عند حل المشكلة، من المناسب قطع الهرم والكرة بطائرة تمر عبر الفتحة وارتفاع الهرم.

وإذا كان الهرم رباعي الزوايا أو سداسي الزوايا، فإن مقطعه مثلث متساوي الساقين، أضلاعه قياسات، والقاعدة هي قطر الدائرة المنقوشة في القاعدة.

إذا كان الهرم مثلثيًا أو خماسيًا، فيكفي النظر فقط إلى جزء من هذا القسم - مثلث قائم الزاوية، أرجله هي ارتفاع الهرم ونصف قطر الدائرة المدرج في قاعدة الهرم، والوتر هو apothem.

على أية حال، سينتهي بنا الأمر بالنظر إلى المثلث القائم الزاوية المقابل والمثلثات الأخرى ذات الصلة.

لذا، في المثلث القائم SOF، الضلع SO=H هو ارتفاع الهرم، والضلع OF=r هو نصف قطر الدائرة المرسومة عند قاعدة الهرم، والوتر SF=l هو قياس الهرم . O1 هو مركز الكرة، وبالتالي الدائرة المدرج في المثلث الذي تم الحصول عليه في القسم (نحن نعتبر جزءًا منه). الزاوية SFO هي الزاوية الخطية ثنائية السطوح بين المستوى الأساسي ومستوى الوجه الجانبي SBC. النقطتان K وO هما نقطتان مماسيتان، وبالتالي فإن O1K متعامد مع SF. OO1=O1K=R - نصف قطر الكرة.