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क्षेत्र का निर्धारण
क्षेत्र क्या है? अजीब सवाल - है ना? सामान्य जीवन में, हम इस तथ्य के आदी हैं कि सभी सपाट आंकड़े (जैसे कि एक मेज, कुर्सी, हमारे अपार्टमेंट का फर्श, आदि) की न केवल लंबाई और चौड़ाई होती है, बल्कि कुछ अन्य विशेषताएँ भी होती हैं, जिनके बिना हम झिझक, क्षेत्र कहा जाता है। अब इसके बारे में सोचते हैं: आखिर एक क्षेत्र क्या है?
आइए सबसे सरल से शुरू करें। यह इस तथ्य पर आधारित है कि:
दूसरे शब्दों में, हम एक मीटर की भुजा वाले वर्ग के क्षेत्रफल को एक "वर्ग मीटर" मानते हैं।
चित्र को ध्यान से देखें और सुनिश्चित करें कि वास्तव में खींचा गया है - "वर्ग मीटर"! और पदनाम याद रखें।
और अब एक मुश्किल सवाल: यह क्या है? एक भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल? लेकिन नहीं!
देखो: भुजा के साथ चौकोर।
और वर्ग मीटर (अर्थात,) प्राप्त करने के लिए, हमें उदाहरण के लिए, इस तरह से आकर्षित करना होगा:
और कैसे प्राप्त करें, कहें,? खैर, इस तरह:
वैसे भी, अगर हम एक आयत लें जिसकी भुजाएँ मीटर और मीटर के बराबर हों, तो इस आयत में:
बिल्कुल फिट बैठता है वर्ग मीटर... ध्यान से देखें: हमारे पास "परतें" हैं, जिनमें से प्रत्येक बिल्कुल वर्ग मीटर है।
इसका मतलब है कि x आकार के आयत में केवल वर्ग मीटर फिट बैठता है। यह संख्या, एक आयत में कितने वर्ग मीटर फिट होते हैं, है? वर्ग.
और अगर आकृति बिल्कुल भी आयत नहीं है, लेकिन किसी प्रकार की अस्पष्टता है?
मैं आपको आश्चर्यचकित करूंगा - ऐसे भयानक शब्द हैं, जिनके लिए यह स्थापित करना बिल्कुल असंभव है कि कितने वर्ग मीटर हैं। यहां तक कि लगभग! दुर्भाग्य से, ऐसे आंकड़े खींचना असंभव है।
किंतु वे! वे समान हैं, उदाहरण के लिए, बहुत महीन दांतों वाले ऐसे "कंघी" के लिए।
और इसलिए, सामान्य आंकड़ों के लिए, आप सहज रूप से (अर्थात, अपने लिए) मान सकते हैं कि एक आकृति का क्षेत्रफल एक ऐसी संख्या है, इस आकृति में कितने वर्ग इकाइयाँ (मीटर, सेंटीमीटर, आदि) "फिट" होंगी? एक अधिक सख्त, "वास्तविक" परिभाषा क्षेत्र, सिद्धांत के निम्नलिखित स्तरों को देखें।
और कल्पना कीजिए, कई आंकड़ों के गणितज्ञों ने कुछ रैखिक (जिन्हें एक शासक के साथ मापा जा सकता है) के रूप में क्षेत्रों को व्यक्त करना सीख लिया है। इन अभिव्यक्तियों को "क्षेत्र सूत्र" कहा जाता है। इनमें से बहुत सारे सूत्र हैं - गणितज्ञों ने लंबे समय से कोशिश की है। आप पहले सबसे सरल और सबसे बुनियादी फ़ार्मुलों को याद करने की कोशिश करते हैं, और फिर वे जो अधिक कठिन होते हैं।
क्षेत्र सूत्र
वर्ग
आयत
सही त्रिकोण
त्रिभुज (मनमाना)
त्रिभुज के लिए कई क्षेत्रफल सूत्र होते हैं।
मूल सूत्र
दूसरा मूल सूत्र
तीसरा सूत्र
अपनी समस्या के लिए आपको कौन सा सूत्र चुनना चाहिए? मुख्य सूत्र 1 और 2 हैं। तीसरा सूत्र लागू किया जाना चाहिए यदि आपको सब कुछ दिया गया हो: दोनों तीन भुजाएँ और उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या। लेकिन यह उस तरह काम नहीं करता है, है ना? इसीलिए सूत्र 3 हम उपयोग करते हैंबल्कि इसके विपरीत, खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करने के लिए... फिर आपको फॉर्मूला 1, 2 या 4 में से किसी एक का उपयोग करके क्षेत्र को खोजने की जरूरत है, और फिर त्रिज्या:।
खैर, सूत्र 4 आपको लंबे अंकगणित का उपयोग करके पक्षों पर क्षेत्र खोजने की अनुमति देता है। और जब आप हीरोन के सूत्र को लागू करते हैं तो अंकगणित में गलती न करें!
मनमाना चतुर्भुज
एक मनमाना चतुर्भुज के लिए और कुछ नहीं है, लेकिन "अच्छे" चतुर्भुज के लिए अन्य सूत्र हैं।
चतुर्भुज
मूल सूत्र
दूसरा सूत्र
विषमकोण
समचतुर्भुज के विकर्ण लंबवत होते हैं, इसलिए बुनियादीउसके लिए यह बन जाता है सूत्र:
दूसरा सूत्र
और एक अतिरिक्त सूत्र बन जाता है
चतुर्भुज
मूल सूत्र
दूसरा सूत्र
"क्षेत्र के बारे में मुश्किल सवाल"
उन पहेलियों के अलावा जिनमें वे केवल क्षेत्र खोजने के लिए कहते हैं, सभी प्रकार के प्रश्न भी होते हैं। खैर, उदाहरण के लिए:
आइए इस प्रश्न का उत्तर दो तरह से दें। पहला तरीका औपचारिक है: हम एक वर्ग के क्षेत्रफल के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं। तो, यह था, इसका मतलब है - समय के साथ क्षेत्र में वृद्धि हुई है!
वर्गों के मामले में, इस नंबर को सीधे "स्पर्श" करने और सत्यापित करने का दूसरा तरीका है।
हम चित्र बनाते हैं:
यदि आपके पास एक वर्ग नहीं है, तो जो कुछ बचा है वह सूत्रों में नए मूल्यों को प्रतिस्थापित करना है - और अगर संख्या अचानक काफी बड़ी हो जाए तो आश्चर्यचकित न हों।
त्रिभुज और चतुर्भुज का क्षेत्रफल। संक्षेप में मुख्य के बारे में
सही त्रिकोण
खैर, विषय समाप्त हो गया है। अगर आप इन पंक्तियों को पढ़ रहे हैं, तो आप बहुत मस्त हैं।
क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज में महारत हासिल कर पाते हैं। और अगर आप अंत तक पढ़ते हैं, तो आप उस 5% में हैं!
अब सबसे महत्वपूर्ण बात आती है।
आपने इस विषय पर सिद्धांत का पता लगाया। और, फिर से, यह है... यह सिर्फ सुपर है! आप अपने साथियों के पूर्ण बहुमत से पहले से ही बेहतर हैं।
समस्या यह है कि यह पर्याप्त नहीं हो सकता है ...
किस लिए?
परीक्षा को सफलतापूर्वक पास करने के लिए, एक बजट पर संस्थान में प्रवेश करने के लिए और सबसे महत्वपूर्ण, जीवन भर के लिए।
मैं तुम्हें किसी बात के लिए नहीं मनाऊँगा, बस एक बात कहूँगा...
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लेकिन यह भी मुख्य बात नहीं है।
मुख्य बात यह है कि वे अधिक खुश हैं (ऐसे अध्ययन हैं)। शायद इसलिए अधिक संभावनाएंऔर जीवन उज्जवल हो जाता है? मालूम नहीं...
लेकिन आप खुद सोचिए...
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I. प्राक्कथन
यह दुर्भाग्य है: दो सप्ताह की बीमारी के बाद, आप स्कूल आए और पता चला कि आप एक बहुत ही महत्वपूर्ण विषय से चूक गए हैं, जिन कार्यों पर 9 वीं कक्षा में परीक्षा होगी - "त्रिकोण, चतुर्भुज और उनका क्षेत्र"। यहाँ मैं ज्यामिति शिक्षक के पास प्रश्नों के साथ दौड़ता हूँ: "चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?" लेकिन आधे छात्र शिक्षकों से संपर्क करने से डरते हैं ताकि उन्हें पिछड़ा हुआ न माना जाए, और दूसरे आधे को शिक्षकों से "सहायता" मिलती है, जैसे "पाठ्यपुस्तक में देखें, वहां सब कुछ लिखा है!" या "आपको सबक छूटना नहीं चाहिए था!" लेकिन पाठ्यपुस्तक में त्रिभुजों और चतुर्भुजों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के नियमों के बारे में बिल्कुल भी जानकारी नहीं है। और सबक छूट गए अच्छा कारण, एक डॉक्टर का नोट है। लेकिन कई शिक्षक इन तर्कों को ही छोड़ देंगे। बेशक, उन्हें समझा जा सकता है: उन्हें उन छात्रों के सिर में पाठ सामग्री के अतिरिक्त हथौड़ा मारने के लिए भुगतान नहीं किया जाता है जो कुछ भी नहीं समझते हैं। कई छात्र इस बेकार काम को छोड़ देते हैं और एक साल बाद परीक्षा में असफल हो जाते हैं, त्रिकोण और चतुर्भुज के क्षेत्र को खोजने की समस्या के लिए एक दर्जन अंक प्राप्त करने में असफल होते हैं। और केवल कुछ ही पुस्तकालयों और दोस्तों के पास इस सवाल के साथ जाते हैं: "चतुर्भुज का क्षेत्र कैसे खोजें?" ए अलग तरह के लोगऔर किताबें अलग-अलग जवाब देती हैं और नियमों को लेकर बहुत भ्रम होता है। नीचे मैं त्रिभुजों और चतुर्भुजों के क्षेत्रफल ज्ञात करने की मुख्य विधियों के नाम बताऊँगा।
द्वितीय. चतुर्भुजों
आइए चतुर्भुज से शुरू करते हैं। स्कूलों और परीक्षाओं में केवल उत्तल चतुर्भुजों को ही माना जाता है, तो आइए उनके बारे में बात करते हैं। माध्यमिक स्तर की शिक्षा में, समांतर चतुर्भुज और समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रों का अध्ययन किया जाता है। समांतर चतुर्भुज कई प्रकार के होते हैं: एक आयत, एक वर्ग, एक समचतुर्भुज और एक मनमाना समांतर चतुर्भुज, जिसमें केवल इसकी मुख्य विशेषताएं देखी जाती हैं: भुजाएँ जोड़ीदार समानांतर और समान होती हैं, आसन्न कोणों का योग 180 ° होता है। लेकिन इन सभी आँकड़ों के लिए क्षेत्रफल ज्ञात करने के तरीके अलग-अलग हैं। आइए प्रत्येक पर अलग से विचार करें।
1. आयत
आयत का S सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है: एस = ए * बी, जहांए- क्षैतिज पक्ष, बी- लंबवत पक्ष। *
2. वर्गों का क्षेत्रफल
वर्ग का S सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है: एस = ए * ए, जहांए- एक वर्ग के किनारे।
3. समचतुर्भुज का क्षेत्रफल
समचतुर्भुज का S सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है: एस = 0.5 * (डी 1 * डी 2), जहांघ 1- बड़ा विकर्ण, ** घ 2- छोटा विकर्ण।
4. एक मनमाना समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
एक स्वेच्छ समांतर चतुर्भुज का S सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है: एस = ए * एच ए, ए- समांतर चतुर्भुज की भुजा, एच ए
सभी नहीं?
हम समांतर चतुर्भुज के साथ कर रहे हैं। "आपको बस यही सीखना है?" - आप राहत के साथ पूछेंगे। उत्तर है: समांतर चतुर्भुज से - हाँ, बस। लेकिन अभी भी ट्रेपेज़ियम और त्रिकोण हैं। तो चलिए जारी रखते हैं।
III. ट्रैप सीऔर मैं
समलंब क्षेत्र
एस ट्रेपेज़ॉइड एक सूत्र में पाया जा सकता है, चाहे वह साधारण हो या समद्विबाहु: एस = ((ए + बी): 2) * एच, जहांए, बी- इसके आधार, एच- इसकी ऊंचाई। यह सब ट्रेपोजॉइड के बारे में है। अब प्रश्न पर आते हैं: "चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?" - आप न केवल खुद को जवाब दे सकते हैं, बल्कि दूसरों को भी समझा सकते हैं। अब त्रिकोण पर चलते हैं।
चतुर्थ। त्रिकोण
ज्यामिति में, उनका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, तीन सूत्रों की पहचान की गई: आयताकार, समबाहु और मनमाने त्रिभुजों के लिए।
1. त्रिभुज का क्षेत्रफल
एक मनमाना त्रिभुज के S की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: एस = 0.5 ए * एच ए, ए- त्रिभुज की भुजा, एच एइस तरफ खींची गई ऊंचाई है।
2. समबाहु त्रिभुजों का क्षेत्रफल
एक समबाहु त्रिभुज का S सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है: एस = 0.5 ए * एच, जहांए- त्रिभुज का आधार, एचइस त्रिभुज की ऊँचाई है।
3. क्षेत्र समकोण त्रिभुज
समकोण त्रिभुजों का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है: एस = (ए * बी): 2, जहांए- पहला पैर, बी- दूसरा पैर।
निष्कर्ष
खैर, मेरी राय में बस इतना ही। आपको त्रिभुजों के बारे में भी थोड़ा सीखने की जरूरत है, है ना? अब मैंने यहां जो कुछ भी लिखा है, उसकी समीक्षा करें। "क्रिसमस ट्री, लाठी, इसे सीखने में एक महीना लगेगा!" - आप शायद चिल्लाएं। और किसने कहा कि सब कुछ जल्दी सीख जाता है? लेकिन दूसरी ओर, जब आपने यह सब सीख लिया है, तो आप 9वीं कक्षा में "चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें" या "एक मनमाना त्रिभुज का क्षेत्रफल" विषय पर प्रश्नों से नहीं डरेंगे। अनुप्रमाणन तो अगर आप कहीं भी जाना चाहते हैं तो पढ़ाइए, पढ़िए और वैज्ञानिक बनिए!
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ध्यान दें
* - एतथा बीमेरे द्वारा निर्धारित स्थानों में होने की आवश्यकता नहीं है। समस्याओं को हल करते समय, ऊर्ध्वाधर पक्ष को कहा जा सकता है ए, और क्षैतिज - बी;
** - विकर्णों की अदला-बदली की जा सकती है और उनके नाम उसी तरह बदले जा सकते हैं जैसे नोट में। *
वर्ग ज्यामितीय आकार - इस आकृति के आकार को दर्शाने वाली ज्यामितीय आकृति की एक संख्यात्मक विशेषता (इस आकृति के बंद समोच्च से घिरा सतह का हिस्सा)। क्षेत्रफल का आकार इसमें निहित वर्ग इकाइयों की संख्या से व्यक्त किया जाता है।
त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र
- त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र द्वारा भुजा और ऊँचाई
त्रिभुज का क्षेत्रफलत्रिभुज की भुजा की लंबाई के गुणनफल के आधे गुणनफल के बराबर इस भुजा पर खींची गई ऊँचाई की लंबाई के बराबर - तीन भुजाओं पर त्रिभुज के क्षेत्रफल और परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या का सूत्र
- तीन भुजाओं पर बने त्रिभुज के क्षेत्रफल और खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या का सूत्र
त्रिभुज का क्षेत्रफलत्रिभुज के अर्ध-परिधि और उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या के गुणनफल के बराबर है। जहाँ S त्रिभुज का क्षेत्रफल है,
- त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई,
- त्रिभुज की ऊँचाई,
- पक्षों के बीच का कोण और,
- खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या,
R परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है,
एक वर्ग सूत्र का क्षेत्रफल
- एक भुजा की लंबाई से एक वर्ग के क्षेत्रफल के लिए सूत्र
वर्गाकार क्षेत्रइसकी भुजा की लंबाई के वर्ग के बराबर है। - विकर्ण की लंबाई से एक वर्ग के क्षेत्रफल के लिए सूत्र
वर्गाकार क्षेत्रइसके विकर्ण की लंबाई के आधे वर्ग के बराबर है।एस = 1 2 2 जहाँ S वर्ग का क्षेत्रफल है,
- वर्ग की भुजा की लंबाई,
- वर्ग के विकर्ण की लंबाई।
आयत के क्षेत्रफल का सूत्र
- आयत क्षेत्रइसकी दो आसन्न भुजाओं की लंबाई के गुणनफल के बराबर
जहाँ S आयत का क्षेत्रफल है,
- आयत की भुजाओं की लंबाई।
समांतर चतुर्भुज क्षेत्र सूत्र
- भुजा की लंबाई और ऊंचाई के संदर्भ में समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र
समांतर चतुर्भुज क्षेत्र - दो पक्षों पर एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल और उनके बीच के कोण के लिए सूत्र
समांतर चतुर्भुज क्षेत्रइसकी भुजाओं की लंबाई के गुणनफल के बराबर उनके बीच के कोण की ज्या से गुणा किया जाता है।ए बी पाप α
जहाँ S समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है,
- समांतर चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई,
- समांतर चतुर्भुज ऊंचाई की लंबाई,
- समांतर चतुर्भुज की भुजाओं के बीच का कोण।
समचतुर्भुज क्षेत्र सूत्र
- एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए भुजा की लंबाई और ऊँचाई का सूत्र
समचतुर्भुज क्षेत्रइसकी भुजा की लंबाई और इस तरफ की ऊंचाई की लंबाई के गुणनफल के बराबर है। - भुजा की लंबाई और कोण द्वारा समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र
समचतुर्भुज क्षेत्रइसकी भुजा की लंबाई के वर्ग और समचतुर्भुज की भुजाओं के बीच के कोण की ज्या के गुणनफल के बराबर है। - किसी समचतुर्भुज के विकर्णों की लंबाई से क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र
समचतुर्भुज क्षेत्रइसके विकर्णों की लंबाई के आधे उत्पाद के बराबर है। जहाँ S समचतुर्भुज का क्षेत्रफल है,
- समचतुर्भुज पक्ष की लंबाई,
- समचतुर्भुज की ऊंचाई की लंबाई,
- समचतुर्भुज की भुजाओं के बीच का कोण,
1, 2 - विकर्णों की लंबाई।
समलम्ब चतुर्भुज के लिए क्षेत्रफल सूत्र
- समलम्ब चतुर्भुज के लिए बगुला का सूत्र
जहाँ S समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल है,
- समलम्ब चतुर्भुज के आधारों की लंबाई,
- ट्रेपोजॉइड के पार्श्व पक्षों की लंबाई,
ज्यामिति पाठ्यक्रम के प्लैनिमेट्रिक कार्यों को हल करते समय, अक्सर 4 पक्षों वाली एक आकृति का सामना करना पड़ता है। हां, वह आता हैएक चतुर्भुज के बारे में। चार कोनों वाला एक मनमाना बहुभुज अपने विशेष मामलों की तुलना में कम आम है - ट्रेपेज़ियम, डेल्टोइड्स, समांतर चतुर्भुज। अंतिम "समूह" में समचतुर्भुज, आयत, वर्ग भी शामिल हैं।
विचार करें कि आकृति के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए आपको किस आंकड़े का पता होना चाहिए।
चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें
मनमाना बहुभुज
इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको आकृति के विकर्णों की आवश्यकता है, साथ ही उनके प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप प्राप्त कोण भी।
- एस = (डी 1 * डी 2 * पाप α) / 2,
- d1, d2 - विकर्ण,
- α उन्हें प्रतिच्छेद करने पर प्राप्त कोण है।
एक वृत्त में बहुभुज
यदि किसी दिए गए चतुर्भुज को एक वृत्त में रखा जाए, आकृति की भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो, तो अनुपात बहुभुज के क्षेत्रफल को निर्धारित करने में मदद करेगा:
एस = √ (पी - एम) (पी - के) (पी - एल) (पी - ई), पी = (एम + के + एल + ई) / 2।
मी, के, एल, ई - इसके किनारे।
चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें - समलम्बाकार
यह आंकड़ा समानांतर 2 पक्षों की उपस्थिति से अलग है। ऐसे बहुभुज का क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए, निम्नलिखित मापदंडों का उपयोग करें:
- यदि समांतर भुजाओं के मान और उनसे खींची गई लंबवत-ऊंचाई ज्ञात हो, तो क्षेत्रफल की गणना व्यंजक S = ((a + b) * h) / 2 का उपयोग करके की जाती है,
ए और बी - आधार,
एच - लंबवत-ऊंचाई। - मध्य रेखा (k = (a + b) / 2) की परिभाषा के आधार पर, पिछला सूत्र प्राप्त करेगा अगला दृश्य: एस = के * एच,
k मध्य रेखा है।
प्रसिद्ध ट्रैपेज़ॉइड विकर्ण और उनके चौराहे के परिणामस्वरूप बनने वाले कोण की डिग्री माप भी आकृति के क्षेत्र को निर्धारित करने में मदद करेगी: S = (d1 * d2 * sinβ) / 2,
d1, d2 - विकर्ण,
β उन्हें प्रतिच्छेद करने पर प्राप्त कोण है। - 4 भुजाएँ दी गई हैं: S = ((m + l) k 2 - ((m - l) 2 + k 2 - d 2) 2 / (4 (m - l) 2)) / 2,
मी, एल - भुजाएँ समानांतर हैं,
के, डी - पार्श्व पक्ष।
चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें - deltoid
एक त्रिभुजाकार बहुभुज को समान भुजाओं के 2 जोड़े की उपस्थिति की विशेषता है। इस तरह के एक चतुर्भुज के क्षेत्र की गणना निम्नानुसार की जाती है:
- आकृति की भुजाएँ और विभिन्न लंबाई की भुजाओं से बनने वाले कोण ज्ञात हैं:
एस = एम * एल * पापϕ,
मी, एल - डेल्टॉइड के किनारे,
उनके बीच का कोण है। - आकृति की भुजाएँ और समान लंबाई की भुजाओं से बनने वाले कोण ज्ञात हैं:
एस = एम 2 * सिनα / 2 + एल 2 * सिनβ / 2,
मी, एल - डेल्टॉइड के किनारे,
α, β - के बीच के कोण बराबर पक्ष. - ज्ञात विकर्णों की उपस्थिति हमें आकृति के क्षेत्र को निर्धारित करने की भी अनुमति देती है:
एस = d1 * d2 / 2,
d1, d2 - डेल्टॉइड विकर्ण। - यदि आकृति में एक वृत्त खुदा हुआ है, तो इसकी त्रिज्या जानने से आप डेल्टॉइड के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं: S = (m + l) * r,
मी, एल - डेल्टॉइड के किनारे,
r एक उत्कीर्ण वृत्त की स्थिति में त्रिज्या है।
चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें - समांतर चतुर्भुज
यदि एक उत्तल बहुभुज में अप्रतिच्छेदी भुजाओं के 2 जोड़े हैं, तो आपके सामने एक समांतर चतुर्भुज है।
सामान्य अभिव्यक्ति
इस प्रकार की आकृति का क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए, आपको आवश्यकता होगी:
- चतुर्भुज की भुजा और उससे नीचे की ऊँचाई: S = k * h (k),
k - आकृति का पक्ष,
एच (के) - इसकी ऊंचाई। - एक शीर्ष के साथ दो भुजाओं की लंबाई, और किसी दिए गए शीर्ष पर कोण की डिग्री माप:
एस = एल * के * पापϕ,
k, l - बहुभुज की भुजाएँ,
उनके बीच का कोण है। - उनके प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप प्राप्त आकृति और कोण के विकर्ण: S = d1 * d2 * sinβ / 2,
d1, d2 - विकर्ण,
β - कोण - उनके प्रतिच्छेदन का परिणाम।
विषमकोण
यह चतुर्भुज - विशेष मामला 4 समान भुजाओं वाला समांतर चतुर्भुज। इसलिए, एक समांतर चतुर्भुज के लिए मान्य व्यंजक भी इसके लिए मान्य होते हैं। फिर
- एस = के * एच (के),
k आकृति की भुजा है, h (k) इसकी ऊँचाई है। - एस = के 2 * पाप,
k चतुर्भुज की भुजा है, भुजाओं के बीच का कोण है। - S = d1 * d2 / 2 (आकृति के विकर्णों को पार करते समय, एक समकोण बनाते हैं, और sin90 ° = 1),
d1, d2 - बहुभुज के विकर्ण।
आयत
इस तरह के बहुभुज में समान पक्षों के 2 जोड़े होते हैं, और इसके कोणों की डिग्री माप 90 ° होती है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, निम्नलिखित व्यंजक मान्य हैं:
- एस = के * एल,
के, एल - आकृति के किनारे। - एस = डी 2 * पापβ / 2,
d - चतुर्भुज के विकर्ण, β - कोण - उनके प्रतिच्छेदन का परिणाम। - एस = 2R 2 * sinβ,
R एक परिबद्ध वृत्त की स्थिति में त्रिज्या है।
वर्ग
वी इस मामले मेंपिछले चरण में प्राप्त अनुपात निम्नलिखित रूप लेगा (चूंकि इस प्रकार के आयत के पक्ष बराबर हैं):
- S = k 2, k आकृति की भुजा है।
- S = d 2/2, d वर्ग का विकर्ण है।
- S = 2R 2, R एक परिबद्ध वृत्त की स्थिति में त्रिज्या है।
- S = 4r 4, r एक खुदे हुए वृत्त की स्थिति में त्रिज्या है।
यदि आप विमान पर क्रमिक रूप से कई खंड खींचते हैं ताकि प्रत्येक अगला उस स्थान पर शुरू हो जहां पिछला समाप्त हुआ था, तो आपको एक टूटी हुई रेखा मिलती है। इन खंडों को कड़ियाँ कहा जाता है, और वे स्थान जहाँ वे प्रतिच्छेद करते हैं, शीर्ष कहलाते हैं। जब अंतिम खंड का अंत पहले के शुरुआती बिंदु के साथ प्रतिच्छेद करता है, तो आपको विमान को दो भागों में विभाजित करने वाली एक बंद पॉलीलाइन मिलती है। उनमें से एक परिमित है, और दूसरा अनंत है।
एक साधारण बंद रेखा जिसमें समतल का वह भाग जो उसमें परिबद्ध हो (वह जो परिमित हो) के साथ मिलकर बहुभुज कहलाता है। रेखा खंड भुजाएँ हैं, और उनके द्वारा बनाए गए कोने शीर्ष हैं। किसी भी बहुभुज की भुजाओं की संख्या उसके शीर्षों की संख्या के बराबर होती है। जिस आकृति की तीन भुजाएँ होती हैं उसे त्रिभुज तथा चार भुजाओं को चतुर्भुज कहते हैं। एक बहुभुज को संख्यात्मक रूप से एक क्षेत्र के रूप में इस तरह के मान से चिह्नित किया जाता है, जो एक आकार के आकार को इंगित करता है। आप एक चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करते हैं? यह गणित की शाखा - ज्यामिति द्वारा पढ़ाया जाता है।
एक चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको यह जानना होगा कि यह किस प्रकार का है - उत्तल या गैर-उत्तल? पूरा एक तरफ अपेक्षाकृत सीधा होता है (और इसमें आवश्यक रूप से इसकी कोई भी भुजा होती है)। इसके अलावा, समांतर चतुर्भुज के रूप में इस तरह के चतुर्भुज समान और समानांतर विपरीत पक्षों के साथ होते हैं (इसकी किस्में: समकोण के साथ एक आयत, समान भुजाओं वाला एक समचतुर्भुज, सभी समकोणों वाला एक वर्ग और चार समान भुजाएँ), एक समलम्ब चतुर्भुज के साथ दो समानांतर विपरीत भुजाएँ, और समान भुजाओं के दो जोड़े के साथ डेल्टॉइड।
किसी भी बहुभुज का क्षेत्रफल लगाने से ज्ञात होता है सामान्य विधि, जिसमें इसे त्रिकोणों में तोड़ना शामिल है, प्रत्येक के लिए एक मनमाना त्रिभुज के क्षेत्र की गणना करें और परिणाम जोड़ें। किसी भी उत्तल चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में विभाजित किया जाता है, एक गैर-उत्तल एक - दो या तीन में; इस मामले में, यह परिणामों का योग और अंतर हो सकता है। किसी भी त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना आधार (ए) के उत्पाद के आधे और आधार पर खींची गई ऊंचाई (ħ) के रूप में की जाती है। इस मामले में गणना के लिए उपयोग किया जाने वाला सूत्र इस प्रकार लिखा गया है: एस = ½। ए। एच।
आप एक समांतर चतुर्भुज जैसे चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करते हैं? आपको आधार की लंबाई (ए), पक्ष की लंबाई (ƀ) जानने की जरूरत है और आधार और पक्ष (sinα) द्वारा गठित कोण α की साइन का पता लगाएं, गणना के लिए सूत्र इस तरह दिखेगा: एस = ए. . पाप चूँकि कोण की ज्या α समांतर चतुर्भुज के आधार और उसकी ऊँचाई (ħ = ) का गुणनफल है - आधार के लंबवत रेखा, इसके क्षेत्रफल की गणना इसके आधार की ऊँचाई को गुणा करके की जाती है: S = a। एच। यह सूत्र एक समचतुर्भुज और एक आयत के क्षेत्रफल की गणना के लिए भी उपयुक्त है। चूँकि आयत की भुजा ऊँचाई के साथ मेल खाती है, इसका क्षेत्रफल सूत्र S = a द्वारा परिकलित किया जाता है। . क्योंकि a = , इसकी भुजा के वर्ग के बराबर होगा: S = a. ए = ए²। इसकी गणना इसकी भुजाओं के योग के आधे के रूप में की जाती है, जिसे ऊँचाई से गुणा किया जाता है (इसे लंबवत रूप से समलम्ब के आधार पर खींचा जाता है): S = ½। (ए + )। एच।
एक चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें यदि इसकी भुजाओं की लंबाई अज्ञात है, लेकिन इसके विकर्ण (ई) और (एफ), साथ ही कोण α की साइन ज्ञात हैं? इस मामले में, क्षेत्र की गणना उसके विकर्णों (बहुभुज के कोने को जोड़ने वाली रेखाएं) के आधे उत्पाद के रूप में की जाती है, कोण α की साइन से गुणा किया जाता है। सूत्र इस प्रकार लिखा जा सकता है: एस = ½। (ई. एफ)। पाप विशेष रूप से, इस मामले में यह विकर्णों के उत्पाद के आधे के बराबर होगा (रोम्बस के विपरीत कोनों को जोड़ने वाली रेखाएं): एस = ½। (ई. एफ)।
एक चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें जो समांतर चतुर्भुज या समलम्बाकार नहीं है, इसे आमतौर पर कहा जाता है मनमाना चतुर्भुज... इस तरह के एक आंकड़े का क्षेत्र इसकी अर्ध-परिधि (Ρ एक सामान्य शीर्ष के साथ दो पक्षों का योग है), पक्षों ए, ƀ, सी, डी और दो विपरीत कोणों (α + β) के योग के रूप में व्यक्त किया जाता है। ): एस = [(Ρ - ए)। (Ρ - )। (Ρ - सी)। (Ρ - डी) - ए। . सी। डी। cos² ½ (α + β)]।
यदि = 180° है, तो ब्रह्मगुप्त सूत्र (एक भारतीय खगोलशास्त्री और गणितज्ञ, जो 6-7 शताब्दी ई. (Ρ - )। (Ρ - सी)। (Ρ - डी)]। यदि एक चतुर्भुज एक वृत्त द्वारा परिबद्ध है, तो (a + c = + d), और उसके क्षेत्रफल की गणना की जाती है: S = [a. . सी। डी]। पाप ½ (α + β)। यदि एक चतुर्भुज को एक साथ एक वृत्त द्वारा परिबद्ध किया जाता है और दूसरे वृत्त में अंकित किया जाता है, तो क्षेत्रफल की गणना के लिए निम्न सूत्र का उपयोग किया जाता है: S = .
