गुणों के प्रिज्म में अंकित एक गोला। पॉलीहेड्रा के साथ गेंद का संयोजन। प्रिज्म में अंकित एक गोला। गोल पिंडों के साथ गेंद का संयोजन

हाई स्कूल के अनुभव ने ज्यामिति समस्याओं की बहुमुखी प्रतिभा की कमी को दर्शाया है, और इस समस्या का समाधान एक ज्यामिति समस्या पुस्तक (लगभग 4000 समस्याएं) थी, जिसमें 24 अध्याय हैं। इस लेख का उद्देश्य पुस्तक अध्यायों में से एक है: “लिखा और वर्णित है गेंद" .

किसी विषय का अध्ययन करते समय बहुविकल्पीय कार्यों की रचना करना “लिखा और वर्णित है गेंद" सामान्य रूप में हल की गई समस्याएँ:

1. गेंद को एक नियमित पिरामिड में अंकित किया गया है - विचार किया जा रहा है आर गेंद , आर - पिरामिड के आधार पर अंकित वृत्त की त्रिज्या, आर सेक – पिरामिड और गेंद की पार्श्व सतह के संपर्क वृत्त की त्रिज्या, एच - पिरामिड की ऊंचाई, ज 1 - एपोटेम, साथ- पार्श्व किनारे की लंबाई, ए - पार्श्व किनारे और पिरामिड के आधार के तल के बीच का कोण - इस बात को ध्यान में रखते हुए कि जब दो मात्राएँ ज्ञात होती हैं, तो बाकी पाई जाती हैं - कुल 15 विकल्पों पर विचार किया गया:

(आर, आर डब्ल्यू), (आर, एच 1), (आर, एच), (आर, ए), (आर, आर सेकंड), (आर डब्ल्यू, एच 1), (आर डब्ल्यू, एच), (आर डब्ल्यू, ए), (एच 1, एच), (एच 1, ए), (एच 1, आर सेकंड), (एच, ए), (एच, आर सेकंड), (ए, आर सेकंड)।

2. गेंद को एक पिरामिड में अंकित किया गया है, जिसके पार्श्व फलक पिरामिड के आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं - विकल्पों पर विचार तब किया जाता है जब आधार एक त्रिभुज, समचतुर्भुज, समलम्बाकार हो - इन मामलों में विशिष्ट डेटा की एक तालिका प्रदान की जाती है।

3. एक नियमित पिरामिड के पास एक गोले का वर्णन किया गया है - विचार किया जा रहा है, आर गोले - गोले की त्रिज्या, Rdesc.पर्यावरण -आधार के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या, ज 1 - एक नियमित पिरामिड के पार्श्व चेहरे का एपोटेम, एच - पिरामिड की ऊंचाई; साथ - पार्श्व पसली की लंबाई; a पिरामिड के पार्श्व किनारे और आधार के तल के बीच का कोण है, b पार्श्व किनारे और आधार के तल के बीच का कोण है।

4. पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया गया है जिसके पार्श्व किनारे आधार के तल के समान या समान रूप से झुके हुए हैं - डेटा की एक तालिका दी गई है आर गेंद , आर - पिरामिड के आधार के चारों ओर वर्णित वृत्त की त्रिज्या, एच - पिरामिड की ऊंचाई, ज 1 - एपोटेम, ए - पार्श्व किनारे और पिरामिड के आधार के तल के बीच का कोण।

5. एक गेंद को शंकु में अंकित किया जाता है - माना जाता है आर गेंद , आर चोर - शंकु के आधार की त्रिज्या, आर सेक – पिरामिड और गेंद की पार्श्व सतह के संपर्क वृत्त की त्रिज्या, एच - शंकु की ऊंचाई, एल - शंकु का जेनरेट्रिक्स, ए - जेनरेट्रिक्स और शंकु के आधार के तल के बीच का कोण - इस बात को ध्यान में रखते हुए कि जब दो मात्राएँ ज्ञात होती हैं, तो बाकी पाई जाती हैं - कुल 15 विकल्पों पर विचार किया गया - ( आर कोन, आर बॉल), (आर कोन, ए), (आर कोन, एल), (आर कोन, एच), (आर कोन, आर सेक्शन), (आर बॉल, ए), (आर बॉल, एल), (आर बॉल, एच), (आर बॉल, आर सेक्शन), (एल, ए), (एच, ए), (आर सेक्शन, ए), (एल, एच), (एल, आर सेक्शन), (एच, आर सेकंड).

6. शंकु गोले में अंकित है - विचार किया जा रहा है आर गेंद , आर चोर - शंकु के आधार की त्रिज्या, डी - गोले के केंद्र से शंकु के आधार के तल तक की दूरी, एच - शंकु की ऊंचाई, एल शंकु का जेनरेट्रिक्स है, ए जेनरेट्रिक्स और शंकु के आधार के तल के बीच का कोण है - इस बात को ध्यान में रखते हुए कि जब दो मात्राएँ ज्ञात होती हैं, तो बाकी पाई जाती हैं - कुल जोड़े में ( आर शंकु, आर गेंद), (आर शंकु, ए), (आर शंकु, एल), (आर शंकु, एच), (आर शंकु, डी, शंकु के सापेक्ष गेंद के केंद्र की स्थिति), (आर गेंद , ए), (आर बॉल, एल), (आर बॉल, एच), (आर बॉल, डी), (एल, ए), (एच, ए), (डी, ए), (एल, एच), ( एल, डी), ( एच, डी)।

7. एक गेंद को एक कटे हुए शंकु में अंकित किया गया है - माना जाता है आर गेंद , आर, आर - काटे गए शंकु के निचले और बड़े आधारों की त्रिज्या, एल - शंकु का जेनरेट्रिक्स, ए - जेनरेट्रिक्स और शंकु के आधार के तल के बीच का कोण, आर सेक – शंकु और गेंद की पार्श्व सतह के संपर्क वृत्त की त्रिज्या; इस बात को ध्यान में रखते हुए कि जब दो मात्राएँ ज्ञात होती हैं, तो बाकी पाई जाती हैं - कुल मिलाकर जोड़े पर विचार किया जाता है - (आर, आर), (आर बॉल, आर), (आर, एल), (आर सेक्शन, आर), (आर, ए), (आर बॉल, एल), (आर बॉल, एल), (आर बॉल, आर सेकंड), (आर बॉल, ए), (एल, आर सेकंड), (एल, ए), (आर सेकंड, ए) ; विशिष्ट संख्यात्मक डेटा की एक तालिका संकलित की गई है, जिसमें गेंद की त्रिज्या, आधारों की त्रिज्या, जेनरेट्रिक्स, जेनरेट्रिक्स और आधार के तल के बीच के कोण की ज्या, गेंद की सतह और आयतन शामिल हैं। छोटा शंकु।

8. एक कटे हुए शंकु के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया गया है - माना जाता है आर गोले , आर, आर - काटे गए शंकु के निचले और बड़े आधारों की त्रिज्या, एल शंकु का जेनरेट्रिक्स है, ए जेनरेट्रिक्स और शंकु के आधार के तल के बीच का कोण है, कुछ कार्यों में शंकु के सापेक्ष गोले के केंद्र की स्थिति दर्ज की जाती है; इस बात को ध्यान में रखते हुए कि जब तीन मात्राएँ ज्ञात हो जाती हैं, तो शेष पाई जाती हैं - कुल मिलाकर त्रिगुणों पर विचार किया जाता है - (आर, आर, एच), (आर, आर, ए), (आर, आर, एल), (आर, आर, आर गेंद, गोले के केंद्र की स्थिति), (एच, आर, आर गेंद, स्थिति) गोले के केंद्र का) , (एल, आर, आर गेंद, गोले के केंद्र की स्थिति), (ए, आर, आर गेंद, गोले की केंद्र स्थिति), (एच, आर, एल), (ए, आर, एच), (ए, आर, एल), (एल, एच, आर बॉल), (ए, एच, आर बॉल), (ए, एल, आर एसएफ) ).

प्राप्त तालिकाओं के आधार पर ज्यामिति समस्या पुस्तक का एक अध्याय संकलित किया गया, जिसे कहा जाता है: अध्याय 24. गेंद और अन्य पिंड। अध्याय में पैराग्राफ हैं, जिनमें बदले में उपपैराग्राफ भी हैं।

24.1. एक बेलन में एक गेंद अंकित है

24.1.02. एक बेलन में एक गेंद अंकित है। बेलन और गोले के आयतन का अनुपात ज्ञात कीजिए।

24.1.03. एक बेलन में एक गेंद अंकित है। बेलन की कुल सतह और गेंद की सतह का अनुपात ज्ञात कीजिये।

24.2. एक बेलन के चारों ओर एक गोला परिचालित है

24.2.01. एक मात्रा के साथ एक गेंद में वी बॉलएक सिलेंडर अंकित है, जिसका जेनरेटर गेंद के केंद्र से एक कोण पर दिखाई देता है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।

24.2.03. आयतन वाले एक सिलेंडर के चारों ओर वीगेंद का वर्णन किया गया है। बेलन की ऊंचाई और बेलन की ऊंचाई पर गेंद की त्रिज्या की निर्भरता ज्ञात कीजिए जिस पर गेंद का सतह क्षेत्र सबसे छोटा होगा।

24.3. गोला और बेलन

24.3.01. आधार व्यास वाला धातु सिलेंडर डी सिलेंडरऔर ऊंचाई एच सिलएक गेंद में पिघल गया. इस गेंद की त्रिज्या की गणना करें.

24.3.03. एक बेलनाकार बर्तन में जिसके आधार की त्रिज्या है आर सिलेंडर, त्रिज्या वाली एक गेंद रखी गई है आर गेंद. बर्तन में पानी डाला जाता है ताकि उसकी मुक्त सतह गेंद की सतह को छू ले (गेंद ऊपर न तैरे)। बर्तन से गेंद निकालने पर प्राप्त होने वाली पानी की परत की मोटाई निर्धारित करें।

24.4. एक शंकु में एक गेंद अंकित है

24.4.01. एक शंकु में एक गोला अंकित है, जिसका अक्षीय भाग एक समबाहु त्रिभुज है। यदि शंकु के आधार की त्रिज्या है तो गेंद की त्रिज्या ज्ञात कीजिए आर चोर

24.4.05. एक शंकु में एक गोला अंकित है, जिसका अक्षीय भाग एक समबाहु त्रिभुज है, जिसका आयतन बराबर है वी बॉल. शंकु की ऊँचाई ज्ञात कीजिए यदि:

24.4.07. एक शंकु में एक गोला अंकित है, जिसका अक्षीय भाग एक समबाहु त्रिभुज है। यदि गेंद का आयतन है तो शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए वी डब्ल्यू.

24.4.09 आधार त्रिज्या वाले एक सीधे गोलाकार शंकु में आर चोरत्रिज्या की एक गेंद अंकित है आर गेंद. शंकु के आयतन की गणना करें।

24.4.14. आयतन वाले शंकु में वीगेंद अंकित है. यदि शंकु के आधार की त्रिज्या बराबर है तो गोलाकार और शंक्वाकार सतह की स्पर्शरेखा की त्रिज्या ज्ञात करें आर चोर.

24.4.16. एक शंकु में एक गेंद अंकित है। किसी गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल शंकु के आधार के क्षेत्रफल से संबंधित होता है एम:एन. शंकु के शीर्ष पर कोण ज्ञात कीजिए।

24.4.24. शंकु आधार क्षेत्र एस आधार. शंकु पार्श्व सतह क्षेत्र एस ओर. शंकु में अंकित गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

24.4.25. शंकु के आधार का क्षेत्रफल बराबर है एस आधार, और इसका कुल सतह क्षेत्रफल बराबर है एस भरा हुआ. एक शंकु में अंकित गेंद की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

24.4.28. एक शंकु में एक गेंद अंकित है। यदि शंकु के आधार की त्रिज्या बराबर है तो गोलाकार और शंक्वाकार सतह के स्पर्शरेखा वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करें आर चोर, गठन - एल.

24.4.34. त्रिज्या की एक गेंद के बारे में आर गेंदएक शंकु का वर्णन करता है जिसकी ऊँचाई एच. शंकु के आधार की त्रिज्या और गोलाकार और शंक्वाकार सतह के स्पर्शरेखा वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करें।

24.4.38. एक शंकु में एक गेंद अंकित है। वृत्त की त्रिज्या जिसके अनुदिश शंकु और गेंद स्पर्श करते हैं, बराबर होती है आर सेक. यदि गेंद की त्रिज्या बराबर हो तो शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए आर गेंद.

24.4.43. एक दायीं शंकु का जेनरेट्रिक्स बराबर होता है मैं चोर, शंक्वाकार और गोलाकार सतहों के बीच स्पर्शरेखा वृत्त की त्रिज्या बराबर होती है आर सेक. शंकु का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।

24.5. एक गोला एक शंकु के चारों ओर घिरा हुआ है

24.5.02. शंकु के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया गया है। यदि शंकु के आधार की त्रिज्या ज्ञात हो तो गोले की त्रिज्या ज्ञात करें - आर चोरऔर जनरेटर और शंकु के आधार के तल के बीच का कोण a।

24.5.03. एक शंकु के चारों ओर परिचालित गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसके आधार की त्रिज्या के बराबर है आर चोर, और जनरेटर के बराबर है मैं:

24.5.04. एक शंकु के चारों ओर परिचालित गोले की सतह निर्धारित करें जिसका आधार त्रिज्या बराबर है आर चोर, और ऊंचाई है एच:

24.5.06. एक गोले में एक शंकु अंकित है, जिसका आयतन है टीगोले के आयतन से कई गुना कम. शंकु की ऊंचाई है एच. गेंद का आयतन ज्ञात कीजिए।

24.5.07. एक गोले में एक शंकु अंकित है. यदि शंकु के आधार की त्रिज्या ज्ञात हो तो शंकु की ऊंचाई और जेनरेट्रिक्स ज्ञात करें आर चोरऔर दूरी डीगोले के केंद्र से शंकु के आधार के तल तक।

24.5.12. त्रिज्या क्षेत्र आर एस एफशंकु के चारों ओर वर्णित है। यदि शंकु की ऊँचाई है तो उसका पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए एच:

24.5.16. एक गोला एक शंकु के चारों ओर घिरा हुआ है। गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए यदि शंकु के जनरेटर और उसके आधार तल के बीच का कोण a के बराबर है और गोले के केंद्र से आधार तल की दूरी बराबर है डी:

24.5.17. एक शंकु के चारों ओर एक गोला परिचालित है जिसकी ऊँचाई बराबर है एच, गठन - एल. गोले के केंद्र से आधार के तल तक की दूरी ज्ञात कीजिए।

24.5.18. एक गोला एक शंकु के चारों ओर घिरा हुआ है। यदि शंकु का जेनरेट्रिक्स बराबर है तो गोले की त्रिज्या और शंकु का आधार ज्ञात करें एलऔर गोले के केंद्र से आधार तल तक की दूरी डी, और शंकु के सापेक्ष गोले के केंद्र की स्थिति ज्ञात होती है।

24.5.19. एक गोला एक शंकु के चारों ओर घिरा हुआ है। यदि शंकु की ऊँचाई है तो शंकु के आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए एचऔर गोले के केंद्र से आधार के तल तक की दूरी है डी.

24.6. गेंद और शंकु

24.6.03. शरीर में दो शंकु होते हैं जिनका एक सामान्य आधार होता है और वे आधार तल के विपरीत किनारों पर स्थित होते हैं। यदि शंकु के आधारों की त्रिज्याएँ बराबर हैं तो किसी पिंड में अंकित गेंद की त्रिज्या ज्ञात कीजिए आर चोर, और ऊंचाई ज 1और ज 2.

24.6.04. शंकु ऊँचाई एचऔर जेनरेट्रिक्स और ऊंचाई के बीच का कोण, एक के बराबर, शंकु के शीर्ष पर केन्द्रित एक गोलाकार सतह द्वारा दो भागों में काटा जाता है। इस गोले द्वारा शंकु को दो बराबर भागों में विभाजित करने के लिए इस गोले की त्रिज्या क्या होनी चाहिए?

24.7. एक गेंद एक कटे हुए शंकु में अंकित है

24.7.02. गोला एक कटे हुए शंकु में अंकित है जिसकी आधार त्रिज्याएँ हैं आरऔर आर. गोले के क्षेत्रफल का काटे गए शंकु की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल से अनुपात ज्ञात कीजिए।

24.7.03. गेंद के चारों ओर एक कटे हुए शंकु का वर्णन किया गया है। यदि शंकु के आधार की त्रिज्या बड़ी है तो गोलाकार सतह और शंकु की पार्श्व सतह की अनुप्रस्थ काट त्रिज्या ज्ञात कीजिए आरऔर जनरेटर बराबर है एल/

24.7.05. गेंद के चारों ओर एक कटे हुए शंकु का वर्णन किया गया है। शंकु के बड़े आधार की त्रिज्या आरऔर शंकु की गोलाकार सतह और पार्श्व सतह की अनुप्रस्थ काट त्रिज्या बराबर है आर सेक. गेंद की त्रिज्या और काटे गए शंकु के ऊपरी आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

24.7.10. एक गेंद जिसकी सतह बराबर होती है एस, एक काटे गए शंकु में अंकित। शंकु के जनरेटर और उसके बड़े आधार के बीच का कोण बराबर होता है। इस शंकु की पार्श्व सतह की गणना करें।

24.7.11. गेंद के चारों ओर एक कटे हुए शंकु का वर्णन किया गया है। शंकु का जेनरेट्रिक्स बराबर होता है एलऔर शंकु की गोलाकार सतह और पार्श्व सतह की अनुप्रस्थ काट त्रिज्या बराबर है आर सेक. गेंद की त्रिज्या और काटे गए शंकु के आधारों की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

24.8. एक गोले को एक कटे हुए शंकु के चारों ओर परिचालित किया गया है

24.8.01. गेंद एक कटे हुए शंकु के चारों ओर परिचालित है। यदि शंकु के आधार की त्रिज्याएँ हैं तो गेंद का आयतन और शंकु के आधारों से घिरे संगत गोलाकार खंडों का पता लगाएं आरऔर आर, शंकु ऊंचाई - एच.

24.8.04. एक गोले को एक कटे हुए शंकु के चारों ओर परिचालित किया गया है। यदि शंकु के आधार की त्रिज्याएँ हैं तो काटे गए शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए आरऔर आर, गोले की त्रिज्या – आर सीएफ(दो मामलों पर विचार करें)।

24.8.06. यह ज्ञात है कि एक कटे हुए शंकु के चारों ओर परिचालित गोले का केंद्र शंकु के बाहर स्थित होता है। यदि शंकु के बड़े आधार की त्रिज्या है तो काटे गए शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए आर, एक शंकु बनाना एल, गोले की त्रिज्या – आर सीएफ.

24.8.07. एक कटे हुए शंकु के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया गया है। यदि शंकु के आधार की त्रिज्या बड़ी हो तो गोले के केंद्र की स्थिति निर्धारित करें आर, एक शंकु बनाना एल, शंकु ऊंचाई - एच.

24.8.08. यदि शंकु के आधार की त्रिज्या बड़ी है तो एक काटे गए शंकु के चारों ओर परिचालित गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए आर, एक शंकु बनाना एल, जेनरेट्रिक्स और आधार के तल के बीच का कोण बराबर है।

24.8.09. यदि शंकु का जनरेटर है तो काटे गए शंकु के आधारों की त्रिज्या ज्ञात कीजिए एल, ऊंचाई एच, और इस शंकु के चारों ओर वर्णित गोले की त्रिज्या बराबर है आर एस एफ.

24.8.10. यदि शंकु का जनक है तो एक गोले में अंकित काटे गए शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए एल, जेनरेट्रिक्स और आधार के तल के बीच का कोण a के बराबर है, इस शंकु के चारों ओर परिचालित गोले की त्रिज्या बराबर है आर एस एफ.

24.9. एक पिरामिड में एक गेंद अंकित है

कार्यों में 24.9.01 – 24.9.19 . उनमें से दो का पता चल जाएगा आर बॉल, ए, साथ, एच, ज 1, ए , बी , आर सेकऔर आपको बाकी (कोनों को छोड़कर) ढूंढने की जरूरत है।

24.9.01. ज्ञात आरऔर आर गेंद.

24.9.02. ज्ञात आरऔर ज 1.

24.9.03. ज्ञात आरऔर एच.

24.9.20. एक त्रिकोणीय पिरामिड में अंकित गेंद की पूरी सतह ज्ञात करें, जिसके सभी किनारे बराबर हैं ए.

24.9.22. गेंद त्रिज्या आरएक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में अंकित। पिरामिड का आयतन ज्ञात करें यदि यह ज्ञात हो कि एपोटेम एक कोण पर गेंद के केंद्र से दिखाई देता है एक।

24.10. पिरामिड के निकट गोले का वर्णन किया गया है

कार्यों में 24.10.01 – 24.10.16 . उनमें से दो का पता चल जाएगा आर गोले, ए (आर विवरण पर्यावरण), साथ, एच, ज 1, ए , बी और बाकी को ढूंढना आवश्यक है (कोनों को छोड़कर)।

24.10.01. ज्ञात Rdesc.पर्यावरणऔर आर गोले.

24.10.09. ज्ञात आर गोलेऔर एच.

24.10.14. ज्ञात ज 1और बी।

10/24/17. एक पार्श्व किनारे के साथ एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के पास साथगोले का वर्णन किया गया है। यदि आधार की भुजा बराबर है तो गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए ए. पिरामिड के संबंध में गोले के केंद्र की स्थिति ज्ञात कीजिए।

10/24/18. एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया गया है। यदि एपोटेम बराबर है तो गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए ज 1और पिरामिड की ऊंचाई है एच.

10.24.19. एक पार्श्व किनारे के साथ एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के पास साथगेंद का वर्णन किया गया है। यदि पिरामिड का पार्श्व किनारा पिरामिड के आधार के तल के साथ कोण b बनाता है तो गेंद का सतह क्षेत्र और पिरामिड का आयतन ज्ञात करें।

10/24/20. एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के चारों ओर परिचालित गोले की त्रिज्या ज्ञात करें यदि इसका आयतन बराबर है वी दावत, और ऊंचाई एच.

10.24.21. एक गोले में जिसकी त्रिज्या बराबर है आर क्षेत्र, एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड अंकित है। पिरामिड की ऊंचाई है टीआधार पक्ष से बड़ा. पिरामिड के आधार की भुजा और आयतन ज्ञात कीजिए।

22.10.45. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के चारों ओर परिचालित गोले की त्रिज्या बराबर होती है आर गोले आर गेंद. इस पिरामिड की ऊँचाई, आधार की भुजाएँ, पार्श्व किनारा और एपोथेम ज्ञात कीजिए।

10/24/46. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के चारों ओर परिचालित गोले की त्रिज्या बराबर होती है आर गोले, अंकित गेंद की त्रिज्या के बराबर है गेंद का आर. यदि गोले और गेंद का केंद्र संपाती हो तो पिरामिड की ऊंचाई, किनारे और आयतन, एपोथेम और आधार के तल के बीच का कोण ज्ञात करें।

पार्श्व पसलियाँ आधार के तल के बराबर या समान रूप से झुकी हुई होती हैं

10.24.48. एक त्रिभुजाकार पिरामिड के आधार पर पैरों वाला एक समकोण त्रिभुज स्थित है एऔर वी, और सभी पार्श्व पसलियाँ समान कोणों पर आधार तल की ओर झुकी हुई हैं। किसी दिए गए पिरामिड के चारों ओर घिरे गोले की त्रिज्या बराबर होती है आर गोले. पिरामिड की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

10.24.49. पिरामिड के आधार पर भुजा वाला एक समबाहु त्रिभुज है ए. पार्श्व फलकों में से एक समान त्रिभुज है, और यह आधार के तल के लंबवत है। पिरामिड के चारों ओर बने गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

पार्श्व किनारा आधार के तल के लंबवत

10.24.53. MABC पिरामिड का आधार एक त्रिभुज है . यदि पिरामिड के चारों ओर घिरे गोले की त्रिज्या बराबर है तो पिरामिड की ऊंचाई ज्ञात करें आर गोलेऔर एक तरफ का किनारा आधार के तल पर लंबवत है।

10.24.54. पिरामिड के आधार पर एक पैर के साथ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज स्थित है ए. पार्श्व फलकों में से एक समान त्रिभुज है, इसके अलावा, यह आधार के तल पर लंबवत है। अन्य दो फलक भी समकोण त्रिभुज हैं। पिरामिड के चारों ओर घिरे गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

10.24.56. त्रिज्या क्षेत्र के लिए आर क्षेत्रएक नियमित हेक्सागोनल छोटा पिरामिड अंकित है, जिसमें निचले आधार का तल गेंद के केंद्र से होकर गुजरता है, और पार्श्व किनारा आधार के तल के साथ 60° का कोण बनाता है। पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए

10.24.58. पिरामिड MABCD का आधार एक समलम्बाकार है . यदि पिरामिड के चारों ओर घिरे गोले की त्रिज्या बराबर है तो पिरामिड का आयतन ज्ञात करें आर गोलेऔर एक तरफ का किनारा आधार के तल पर लंबवत है।

24.11. गोला और पिरामिड (अन्य मामले)

24.11.01. गेंद एक किनारे से नियमित टेट्राहेड्रोन के दो चेहरों और एक किनारे को छूती है वी. गेंद की त्रिज्या ज्ञात कीजिये.

24.11.02. गेंद के चारों ओर एक नियमित चतुष्कोणीय काटे गए पिरामिड का वर्णन किया गया है, जिसमें आधारों की भुजाएँ इस प्रकार संबंधित हैं टी:पी . पिरामिड और गोले के आयतन का अनुपात निर्धारित करें।

या एक गोला. गेंद के केंद्र को गोलाकार सतह पर एक बिंदु से जोड़ने वाले किसी भी खंड को कहा जाता है RADIUS. गोलाकार सतह पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाला और गेंद के केंद्र से गुजरने वाला खंड कहलाता है व्यास. किसी भी व्यास के सिरे को गेंद के बिल्कुल विपरीत बिंदु कहा जाता है।हर तरह की चीजें गेंद अनुभागवहाँ एक विमान है घेरा. इस वृत्त का केंद्र केंद्र से काटने वाले तल पर खींचे गए लंबवत का आधार है।गेंद के केंद्र से गुजरने वाले तल को कहा जाता है केंद्र तल. व्यास तल द्वारा गेंद के अनुभाग को कहा जाता है दीर्घ वृत्ताकार, और गोले का खंड है बड़ा वृत्त. गेंद का कोई भी व्यासीय तल उसका होता है समरूपता का तल. गेंद का केंद्र इसका है समरूपता का केंद्र. एक गोलाकार सतह पर एक बिंदु से गुजरने वाला और इस बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत विमान को कहा जाता है स्पर्शरेखा तल. इस बिंदु को कहा जाता है संपर्क का बिंदु. स्पर्शरेखा तल में गेंद के साथ केवल एक ही उभयनिष्ठ बिंदु होता है - संपर्क बिंदु।किसी गोलाकार सतह के दिए गए बिंदु से होकर इस बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत गुजरने वाली सीधी रेखा कहलाती है स्पर्शरेखा. गोलाकार सतह पर किसी भी बिंदु से अनंत संख्या में स्पर्शरेखाएँ गुजरती हैं, और वे सभी गेंद के स्पर्शरेखा तल में स्थित होती हैं।गेंद खंडगेंद का वह भाग जो समतल से कटकर अलग हो जाता है, कहलाता है।गेंद की परतगेंद को प्रतिच्छेद करने वाले दो समानांतर तलों के बीच स्थित गेंद के भाग को कहते हैं।बॉल सेक्टरएक गोलाकार खंड और एक शंकु से प्राप्त किया गया।यदि गोलाकार खंड गोलार्ध से छोटा है, तो गोलाकार खंड एक शंकु से पूरक होता है, जिसका शीर्ष गेंद के केंद्र में होता है, और आधार खंड का आधार होता है।यदि खंड गोलार्ध से बड़ा है, तो निर्दिष्ट शंकु को इससे हटा दिया जाता है। मूल सूत्र गेंद (आर = ओबी - त्रिज्या):एस बी = 4πआर 2; वी = 4πआर 3/3.गेंद खंड (आर = ओबी - गेंद त्रिज्या, एच = एससी - खंड ऊंचाई, आर = केवी - खंड आधार त्रिज्या):वी खंड = πh 2 (आर - एच / 3)या वी सेगमेंट = πएच(एच 2 + 3आर 2) / 6; एस सेगमेंट = 2πRh.बॉल सेक्टर (आर = ओबी - बॉल त्रिज्या, एच = एसके - खंड ऊंचाई):वी = वी खंड ± वी कोन, "+"- यदि खंड छोटा है, "-" - यदि खंड गोलार्ध से बड़ा है।या वी = वी सेगमेंट + वी कॉन = πएच 2 (आर - एच / 3) + πआर 2 (आर - एच) / 3. गोलाकार परत (आर 1 और आर 2 - गोलाकार परत के आधारों की त्रिज्या; एच = एससी - गोलाकार परत की ऊंचाई या आधारों के बीच की दूरी):वी श/एसएल = πएच 3 / 6 + πएच(आर 1 2 + आर 2 2 ) / 2; S w/sl = 2πRh.उदाहरण 1।गोले का आयतन 288π सेमी 3 है। गेंद का व्यास ज्ञात कीजिये.समाधानवी = πडी 3/6288π = πd 3/6πd 3 = 1728πडी3 = 1728डी = 12 सेमी.उत्तर: 12.उदाहरण 2.त्रिज्या r के तीन समान गोले एक दूसरे और किसी तल को स्पर्श करते हैं। तीन डेटा और दिए गए विमान के स्पर्शरेखा वाले चौथे गोले की त्रिज्या निर्धारित करें।समाधान मान लीजिए O 1, O 2, O 3 इन गोलों के केंद्र हैं और O तीन डेटा और दिए गए तल को छूने वाले चौथे गोले का केंद्र है। मान लीजिए A, B, C, T किसी दिए गए तल के साथ गोले के संपर्क बिंदु हैं। इसलिए, दो क्षेत्रों के संपर्क बिंदु इन क्षेत्रों के केंद्रों की रेखा पर स्थित होते हैं ओ 1 ओ 2 = ओ 2 ओ 3 = ओ 3 ओ 1 = 2आर. इसलिए, बिंदु ABC समतल से समान दूरी पर हैं एवीओ 2 ओ 1, एवीओ 2 ओ 3, एवीओ 3 ओ 1- समान आयत, इसलिए, ∆ABC भुजा 2r के साथ समबाहु है।होने देना x चौथे गोले की वांछित त्रिज्या है। फिर ओटी = एक्स. अत:, इसी प्रकार इसका मतलब यह है कि T एक समबाहु त्रिभुज का केंद्र है। इसलिए यहाँ सेउत्तर: आर/3. पिरामिड में अंकित गोलाप्रत्येक नियमित पिरामिड में एक गोला अंकित किया जा सकता है। गोले का केंद्र पिरामिड की ऊंचाई पर पिरामिड के आधार के किनारे पर रैखिक कोण के द्विभाजक के साथ इसके चौराहे के बिंदु पर स्थित है।टिप्पणी। यदि एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है, जो जरूरी नहीं कि नियमित हो, तो इस गोले की त्रिज्या r की गणना सूत्र r = 3V / S pp का उपयोग करके की जा सकती है, जहां V पिरामिड का आयतन है, S pp इसका क्षेत्रफल है। इसकी कुल सतह.उदाहरण 3.आधार त्रिज्या R और ऊंचाई H वाला एक शंक्वाकार फ़नल पानी से भरा हुआ है। एक भारी गेंद को फ़नल में उतारा जाता है। गेंद की त्रिज्या कितनी होनी चाहिए ताकि गेंद के डूबे हुए हिस्से द्वारा कीप से विस्थापित पानी की मात्रा अधिकतम हो?समाधानआइए शंकु के केंद्र से होकर एक खंड बनाएं। यह खंड एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाता है। यदि फ़नल में कोई गेंद है, तो उसकी त्रिज्या का अधिकतम आकार परिणामी समद्विबाहु त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या के बराबर होगा।एक त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या बराबर होती है:r = S/p, जहां S त्रिभुज का क्षेत्रफल है, p इसका अर्ध-परिधि है।एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार की आधी ऊंचाई (H = SO) गुना के बराबर होता है। लेकिन चूँकि आधार शंकु की त्रिज्या का दोगुना है, तो S = RH.अर्ध-परिधि p = 1/2 (2R + 2m) = R + m है।मी एक समद्विबाहु त्रिभुज की प्रत्येक समान भुजा की लंबाई है;R उस वृत्त की त्रिज्या है जो शंकु का आधार बनाता है।आइए पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके m खोजें: , कहाँसंक्षेप में यह इस प्रकार दिखता है: उत्तर: उदाहरण 4.α के बराबर आधार पर एक डायहेड्रल कोण वाले एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में, दो गेंदें होती हैं। पहली गेंद पिरामिड के सभी चेहरों को छूती है, और दूसरी गेंद पिरामिड के सभी पार्श्व चेहरों और पहली गेंद को छूती है। यदि tgα = 24/7 है तो पहली गेंद की त्रिज्या का दूसरी गेंद की त्रिज्या से अनुपात ज्ञात कीजिए।समाधान
होने देना RABC एक नियमित पिरामिड है और बिंदु H इसके आधार ABC का केंद्र है। माना कि M किनारे BC का मध्यबिंदु है। फिर डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण है, जो शर्त के अनुसार α, और α के बराबर है< 90° . Центр первого шара, касающегося всех граней пирамиды, лежит на отрезке РН в точке его пересечения с биссектрисой . होने देना НН 1 - पहली गेंद का व्यास और सीधी रेखा РН के लंबवत बिंदु Н 1 से गुजरने वाला विमान, पार्श्व किनारों RA, РВ, РС को क्रमशः बिंदु А 1, В 1, С 1 पर काटता है। तब H 1 सही ∆A 1 B 1 C 1 का केंद्र होगा, और पिरामिड RA 1 B 1 C 1 समानता गुणांक k = PH 1 / PH के साथ पिरामिड RABC के समान होगा। ध्यान दें कि दूसरी गेंद, बिंदु O 1 पर केंद्र के साथ, पिरामिड RA 1 B 1 C 1 में अंकित है और इसलिए अंकित गेंदों की त्रिज्या का अनुपात समानता गुणांक के बराबर है: OH / OH 1 = RN / RN 1. समानता tgα = 24/7 से हम पाते हैं:होने देना एबी = एक्स. तबअत: वांछित अनुपात OH/O 1 H 1 = 16/9।उत्तर: 16/9. प्रिज्म में अंकित गोलाव्यास प्रिज्म में अंकित गोले का D, प्रिज्म की ऊंचाई H के बराबर है: D = 2R = H. RADIUS प्रिज्म में अंकित गोले का R, प्रिज्म के लंबवत खंड में अंकित वृत्त की त्रिज्या के बराबर है।यदि किसी सीधे प्रिज्म में एक गोला अंकित है तो इस प्रिज्म के आधार में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है। RADIUS एक लम्ब प्रिज्म में अंकित गोले का R, प्रिज्म के आधार में अंकित वृत्त की त्रिज्या के बराबर होता है।प्रमेय 1मान लीजिए कि एक सीधे प्रिज्म के आधार पर एक वृत्त अंकित है, और प्रिज्म की ऊंचाई H इस वृत्त के व्यास D के बराबर है। फिर व्यास D वाले एक गोले को इस प्रिज्म में अंकित किया जा सकता है। इस उत्कीर्ण गोले का केंद्र प्रिज्म के आधार पर अंकित वृत्तों के केंद्रों को जोड़ने वाले खंड के मध्य से मेल खाता है।सबूत मान लीजिए ABC...A 1 B 1 C 1... एक सीधा प्रिज्म है और O इसके आधार ABC पर अंकित वृत्त का केंद्र है। तब बिंदु O आधार ABC के सभी पक्षों से समान दूरी पर है। मान लीजिए O 1 आधार A 1 B 1 C 1 पर बिंदु O का ओर्थोगोनल प्रक्षेपण है। तब O 1 आधार A 1 B 1 C 1 और OO 1 || के सभी पक्षों से समान दूरी पर है। एए 1. यह इस प्रकार है कि सीधी रेखा OO 1 प्रिज्म के पार्श्व चेहरे के प्रत्येक तल के समानांतर है, और खंड OO 1 की लंबाई प्रिज्म की ऊंचाई के बराबर है और, परंपरा के अनुसार, आधार पर अंकित वृत्त का व्यास है प्रिज्म का. इसका मतलब यह है कि खंड OO 1 के बिंदु प्रिज्म के पार्श्व चेहरों से समान दूरी पर हैं, और खंड OO 1 का मध्य F, प्रिज्म के आधारों के विमानों से समान दूरी पर है, जो प्रिज्म के सभी चेहरों से समान दूरी पर होगा। . अर्थात्, F एक प्रिज्म में अंकित गोले का केंद्र है, और इस गोले का व्यास प्रिज्म के आधार में अंकित एक वृत्त के व्यास के बराबर है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।प्रमेय 2मान लीजिए कि एक झुके हुए प्रिज्म के लंबवत खंड में एक वृत्त अंकित है, और प्रिज्म की ऊंचाई इस वृत्त के व्यास के बराबर है। फिर इस झुके हुए प्रिज्म में एक गोला अंकित किया जा सकता है। इस गोले का केंद्र एक लंबवत खंड में अंकित वृत्त के केंद्र से गुजरने वाली ऊंचाई को आधे में विभाजित करता है।सबूत
मान लीजिए ABC...A 1 B 1 C 1... एक झुका हुआ प्रिज्म है और F एक वृत्त का केंद्र है, जिसके लंबवत खंड में त्रिज्या FK अंकित है। चूँकि किसी प्रिज्म का लंबवत खंड उसके पार्श्व फलक के प्रत्येक तल पर लंबवत होता है, इस खंड के किनारों पर खींचे गए लंबवत अनुभाग में अंकित वृत्त की त्रिज्याएँ प्रिज्म के पार्श्व फलक के लंबवत होती हैं। इसलिए, बिंदु F सभी पार्श्व फलकों से समान दूरी पर है।आइए बिंदु F से होकर प्रिज्म के आधारों के तल के लंबवत एक सीधी रेखा OO 1 खींचें, जो इन आधारों को बिंदु O और O 1 पर काटती है। तब OO 1 प्रिज्म की ऊंचाई है। चूँकि शर्त OO 1 = 2FK के अनुसार, F खंड OO 1 का मध्य है:एफके = ओओ 1/2 = एफओ = एफओ 1, यानी। बिंदु F बिना किसी अपवाद के प्रिज्म के सभी फलकों के तलों से समान दूरी पर है। इसका मतलब यह है कि एक गोले को किसी दिए गए प्रिज्म में अंकित किया जा सकता है, जिसका केंद्र बिंदु F के साथ मेल खाता है - प्रिज्म के उस लंबवत खंड में अंकित एक वृत्त का केंद्र जो बिंदु F से गुजरने वाले प्रिज्म की ऊंचाई को आधे में विभाजित करता है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।उदाहरण 5.त्रिज्या 1 का एक गोला एक आयताकार समांतर चतुर्भुज में अंकित है। समांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात कीजिए।समाधान शीर्ष दृश्य बनाएं. या ओर से. या सामने से. आपको वही चीज़ दिखाई देगी - एक आयत में खुदा हुआ एक वृत्त। जाहिर है, यह आयत एक वर्ग होगा, और समांतर चतुर्भुज एक घन होगा। इस घन की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई गेंद की त्रिज्या से दोगुनी है।AB = 2, और इसलिए घन का आयतन 8 है।उत्तर: 8.उदाहरण 6.एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म में जिसकी आधार भुजा बराबर है, दो गेंदें हैं। पहली गेंद प्रिज्म में अंकित होती है, और दूसरी गेंद प्रिज्म के एक आधार, उसके दो पार्श्व फलकों और पहली गेंद को छूती है। दूसरी गेंद की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।समाधान
मान लीजिए कि ABCA 1 B 1 C 1 एक नियमित प्रिज्म है और बिंदु P और P 1 इसके आधारों के केंद्र हैं। फिर इस प्रिज्म में अंकित गेंद O का केंद्र खंड PP 1 का मध्यबिंदु है। आइए विमान आरवीवी 1 पर विचार करें। चूंकि प्रिज्म नियमित है, तो पीबी खंड बीएन पर स्थित है, जो समद्विभाजक और ऊंचाई ΔABC है। नतीजतन, विमान पार्श्व किनारे बीबी 1 पर डायहेड्रल कोण का द्विभाजक विमान है। इसलिए, इस तल का कोई भी बिंदु पार्श्व फलकों AA 1 BB 1 और CC 1 B 1 B से समान दूरी पर है। विशेष रूप से, बिंदु O से पृष्ठ ACC 1 A 1 तक उतारा गया लंबवत OK, समतल RVV 1 में स्थित है और खंड OR के बराबर है।ध्यान दें कि केएनपीओ एक वर्ग है, जिसकी भुजा किसी दिए गए प्रिज्म में अंकित गेंद की त्रिज्या के बराबर है।होने देना ओ 1 गेंद का केंद्र है जो केंद्र ओ के साथ अंकित गेंद को छूता है और पक्ष प्रिज्म के एए 1 बीबी 1 और सीसी 1 बी 1 बी का सामना करता है। तब बिंदु O 1 समतल RVV 1 पर स्थित है, और समतल ABC पर इसका प्रक्षेपण P 2 खंड RV पर स्थित है।शर्त के अनुसार आधार की भुजा बराबर होती है

एक गेंद को एक बहुफलक में अंकित कहा जाता है, और एक बहुफलक को एक गेंद के चारों ओर परिचालित कहा जाता है यदि गेंद की सतह बहुफलक के सभी चेहरों को छूती है।

एक गेंद को प्रिज्म टी और टीटी में अंकित किया जा सकता है और प्रिज्म सीधा है, और इसकी ऊंचाई प्रिज्म के आधार में अंकित वृत्त के व्यास के बराबर है।

उपफल 1. दाएं प्रिज्म में अंकित गोले का केंद्र आधार में अंकित वृत्त के केंद्र से गुजरने वाले प्रिज्म की ऊंचाई के मध्य बिंदु पर स्थित होता है।

परिणाम 2. एक गेंद को, विशेष रूप से, सीधी रेखाओं में अंकित किया जा सकता है: त्रिकोणीय, नियमित, चतुष्कोणीय (जिसमें आधार के विपरीत पक्षों का योग एक दूसरे के बराबर होता है) स्थिति H = 2r के तहत, जहां H है प्रिज्म की ऊँचाई, r आधार में अंकित वृत्त की त्रिज्या है।

पॉलीहेड्रा के साथ गेंद का संयोजन। प्रिज्म के चारों ओर घिरा हुआ गोला।

एक गोले को एक बहुफलक के चारों ओर परिबद्ध कहा जाता है यदि बहुफलक के सभी शीर्ष गोले पर स्थित हों।

एक प्रिज्म को एक गोले में अंकित तब कहा जाता है जब उसके सभी शीर्ष गोले की सतह पर हों।

किसी प्रिज्म के चारों ओर एक गोले का वर्णन तभी किया जा सकता है जब प्रिज्म सीधा हो और उसके आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सके।

उपफल 1. एक सीधे प्रिज्म के चारों ओर परिचालित गोले का केंद्र आधार के चारों ओर परिचालित वृत्त के केंद्र के माध्यम से खींचे गए प्रिज्म की ऊंचाई के मध्य बिंदु पर स्थित होता है।

उपफल 2. विशेष रूप से एक गोले का वर्णन किया जा सकता है: एक समकोण त्रिभुजाकार प्रिज्म के पास, एक नियमित प्रिज्म के पास, एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के पास, एक समकोण चतुर्भुज प्रिज्म के पास, जिसमें आधार के विपरीत कोणों का योग 180 के बराबर होता है डिग्री.

पॉलीहेड्रा के साथ सिलेंडर, शंकु और काटे गए शंकु का संयोजन।

सिलेंडर और प्रिज्म

उत्कीर्ण और परिचालित सिलेंडर: एक प्रिज्म को सिलेंडर में अंकित कहा जाता है यदि इसका आधार सिलेंडर के आधार में अंकित समान बहुभुज है, और इसके पार्श्व किनारे सिलेंडर के जनरेटर हैं।

एक प्रिज्म को एक सिलेंडर के चारों ओर परिचालित कहा जाता है यदि इसका आधार सिलेंडर के आधार के चारों ओर परिचालित बहुभुज है, और इसके पार्श्व चेहरे सिलेंडर को छूते हैं।

एक प्रिज्म को एक सीधे गोलाकार सिलेंडर टी और टीटी में अंकित किया जा सकता है और यह सीधा है और प्रिज्म के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है।

एक प्रिज्म को एक सिलेंडर t और tt के चारों ओर वर्णित किया जा सकता है, यह सीधा है और इसके आधार पर एक वृत्त अंकित किया जा सकता है।

शंकु और पिरामिड

शंकु में अंकित पिरामिड एक पिरामिड है जिसका आधार है

एक शंकु के आधार और शीर्ष के वृत्त में अंकित एक बहुभुज है

शंकु का शीर्ष है. ऐसे पिरामिड के पार्श्व किनारे निर्माणात्मक होते हैं

एक शंकु के चारों ओर परिचालित पिरामिड एक ऐसा पिरामिड है, जिसका आधार है

जो शंकु के आधार और शीर्ष के चारों ओर परिचालित एक बहुभुज है

शंकु के शीर्ष से मेल खाता है। ऐसे पिरामिड के पार्श्व फलकों के तल

शंकु के स्पर्शरेखा तल हैं।

एक पिरामिड को एक लंब वृत्ताकार शंकु t और t में अंकित किया जा सकता है क्योंकि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त घिरा हुआ है और पिरामिड की ऊंचाई इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित है।

एक शंकु टी और टी के चारों ओर एक पिरामिड का वर्णन किया जा सकता है और आधार पर एक वृत्त अंकित है और पिरामिड की ऊंचाई इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित है।

एक उत्कीर्ण गेंद का केंद्र पिरामिड में मौजूद सभी डायहेड्रल कोणों के लिए निर्मित द्विभाजक विमानों का प्रतिच्छेदन बिंदु है; यदि इन द्विभाजक तलों में एक उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है, तो गेंद को अंकित नहीं किया जा सकता है।

एक विशेष मामला: पिरामिड के पार्श्व फलक आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं। तब:

आप गेंद को फिट कर सकते हैं;

गेंद का केंद्र O पिरामिड की ऊंचाई पर स्थित है, अधिक विशेष रूप से, यह एपोथेम और आधार के तल पर इस एपोथेम के प्रक्षेपण के बीच के कोण के द्विभाजक के साथ ऊंचाई के प्रतिच्छेदन का बिंदु है।

6.2. गोला और सीधा प्रिज्म

एक गोले को सीधे प्रिज्म में अंकित किया जा सकता है यदि और केवल यदि:

प्रिज्म के आधार पर एक वृत्त अंकित किया जा सकता है,

इस वृत्त का व्यास प्रिज्म की ऊंचाई के बराबर है।

गेंद का केंद्र आधारों में अंकित वृत्तों के केंद्रों को जोड़ने वाले खंड का मध्य है।

अंकित गोले की त्रिज्या कहाँ है; - आधार पर अंकित वृत्त की त्रिज्या; H प्रिज्म की ऊँचाई है।

6.3. गेंद और बेलन

एक गोले को सिलेंडर में अंकित किया जा सकता है यदि और केवल यदि सिलेंडर का अक्षीय क्रॉस-सेक्शन एक वर्ग है (ऐसे सिलेंडर को कभी-कभी समबाहु कहा जाता है)। गेंद का केंद्र सिलेंडर के अक्षीय खंड की समरूपता का केंद्र है।

6.4. गेंद और शंकु

आप हमेशा एक गेंद को शंकु में फिट कर सकते हैं। गेंद का केंद्र शंकु के अक्षीय खंड में अंकित वृत्त का केंद्र है।

6.5. गोला और कटा हुआ शंकु

एक गेंद को काटे गए शंकु में अंकित किया जा सकता है यदि और केवल यदि

पिरामिड में अंकित गेंद से संबंधित समस्याओं को आसानी से हल करने के लिए, थोड़ी सैद्धांतिक सामग्री की समीक्षा करना उपयोगी है।

एक गेंद पिरामिड में खुदी हुई है (या एक गोला पिरामिड में खुदा हुआ है) - इसका मतलब है कि गेंद (गोला) पिरामिड के प्रत्येक चेहरे को छूती है। पिरामिड के चेहरों वाले तल गेंद के स्पर्शरेखा तल हैं। गेंद के केंद्र को संपर्क बिंदुओं से जोड़ने वाले खंड स्पर्शरेखा तलों के लंबवत हैं। उनकी लंबाई गेंद की त्रिज्या के बराबर होती है। पिरामिड में अंकित गेंद का केंद्र आधार पर द्विफलकीय कोणों के द्विभाजक तलों का प्रतिच्छेदन बिंदु है (अर्थात, इन कोणों को आधे में विभाजित करने वाले तल)।

अक्सर, समस्याओं में एक नियमित पिरामिड में अंकित गेंद शामिल होती है। गेंद को किसी भी नियमित पिरामिड में फिट किया जा सकता है। इस मामले में गेंद का केंद्र पिरामिड की ऊंचाई पर स्थित है। समस्या को हल करते समय, पिरामिड और गेंद को एपोथेम और पिरामिड की ऊंचाई से गुजरने वाले विमान से काटना सुविधाजनक होता है।

यदि पिरामिड चतुर्भुज या षट्कोणीय है, तो क्रॉस-सेक्शन एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसकी भुजाएँ एपोथेम हैं, और आधार आधार में अंकित वृत्त का व्यास है।

यदि पिरामिड त्रिकोणीय या पंचकोणीय है, तो इस खंड के केवल भाग पर विचार करना पर्याप्त है - एक समकोण त्रिभुज, जिसके पैर पिरामिड की ऊंचाई और पिरामिड के आधार पर अंकित वृत्त की त्रिज्या और कर्ण हैं। एपोटेम है.

किसी भी स्थिति में, हम संगत समकोण त्रिभुज और अन्य संबंधित त्रिभुजों को देखते हैं।

तो, एक समकोण त्रिभुज SOF में, पाद SO=H पिरामिड की ऊंचाई है, पाद OF=r पिरामिड के आधार पर अंकित वृत्त की त्रिज्या है, कर्ण SF=l पिरामिड का एपोथेम है। O1 गेंद का केंद्र है और, तदनुसार, अनुभाग में प्राप्त त्रिभुज में अंकित वृत्त (हम इसके भाग पर विचार कर रहे हैं)। कोण एसएफओ बेस प्लेन और साइड फेस प्लेन एसबीसी के बीच का रैखिक डायहेड्रल कोण है। बिंदु K और O स्पर्शरेखा बिंदु हैं, इसलिए O1K SF पर लंबवत है। OO1=O1K=R - गेंद की त्रिज्या।